Системы линейных уравнений

Общий вид системы

 

, i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n, - коэффициенты системы; - свободные члены; - переменные;

Если все = 0, система называется однородной.

А) Пусть detA≠0, тогда для существует единственная обратная матрица A^-1. Решение системы уравнений, записанной в матричной форме AX=B можно найти по следующей формуле X=A^-1 · B

Пример 2.

Решить систему уравнений матричным методом:

имеем:

обратная матрица

Находим:
,
т.е. x=2; y=0; z=-1 - решение данной системы.

б)

 

В) Процесс решения системы линейных уравнений

(2)

по методу Гаусса состоит из 2х этапов:

§ Прямой ход

Система (2) приводится к треугольному виду

1. Предполагаем, что . Тогда первое уравнение системы (2) делим на коэффициент , в результате получаем уравнение

.

Затем из каждого из оставшихся уравнений вычитается первое, умноженное на соответствующий коэффициент . В результате система преобразуются к виду:

 

2. В предположении, что , делим второе уравнение на коэффициент и исключаем неизвестное из всех последующих уравнений и т.д.

3. Получаем систему уравнений с треугольной матрицей:

(3)

 

§ Обратный ход

Непосредственное определение неизвестных

1. Из го уравнения системы (3) определяем

2. Из го - определяем и т.д.

Однородные системы линейных уравнений

 

Однородная система линейных уравнений AX = 0 всегда совместна. Она имеет нетривиальные (ненулевые) решения, если r = rank A < n.

Для однородных систем базисные переменные (коэффициенты при которых образуют базисный минор) выражаются через свободные переменные соотношениями вида:

Тогда n - r линейно независимыми вектор-решениями будут:

а любое другое решение является их линейной комбинацией. Вектор-решения образуют нормированную фундаментальную систему.

В линейном пространстве множество решений однородной системы линейных уравнений образует подпространство размерности n - r; - базис этого подпространства.

Матрица как запись коэффициентов системы линейных уравнений

Систему из m уравнений с n неизвестными

можно представить в матричном виде

и тогда всю систему можно записать так:

AX = B,

где A имеет смысл таблицы коэффициентов a_ij системы уравнений.

Если m = n и матрица A невырожденная, то решение этого уравнения состоит в нахождении обратной матрицы A ^{− 1}, поскольку умножив обе части уравнения на эту матрицу слева

A ^{− 1} AX = A ^{− 1} B

A ^{− 1} A — превращается в E (единичную матрицу). И это даёт возможность получить столбец корней уравнений

X = A ^{− 1} B.

Все правила, по которым проводятся операции над матрицами, выводятся из операций над системами уравнений.