где обозначает определитель.

Свойства обратной матрицы

для любых двух обратимых матриц A и B.

где * T обозначает транспонированную матрицу.

для любого коэффициента

Если необходимо решить систему линейных уравнений Ax = b, (b — ненулевой вектор) где x — искомый вектор, и если A − 1 существует, то x = A − 1b. В противном случае либо размерность пространства решений больше нуля, либо их нет вовсе.

Для того, чтобы матрица А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля.

Матрица, обратная матрице А, обозначается через А-1, так что В = А-1. Обратная матрица вычисляется по формуле

, где А i j - алгебраические дополнения элементов a i j.

 

5.2

 

6.1

 

6.2

 

7.1

Совокупность уравнений

относительна неизвестных x1, x2,..., xn-1, xn называется системой линейных алгебраических уравнений.

Числа aij — коэффициенты системы, bi— правые части системы i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n.

Совокупность значений неизвестных, удовлетворяющая всем уравнениям системы, называется решением системы.

Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной. Система, у которой нет решений, называется несовместной.

Каждое решение совместной системы называется частным решением. Совокупность всех решений совместной системы называется общим решением.

Если среди правых частей bi системы есть хоть одна, отличная от нуля, то система называется неоднородной системой линейных уравнений.

Если все правые части системы равны нулю, то система называется однородной.

Система линейных уравнений может быть записана в матричной форме A·x = b:

Здесь A — матрица системы, b — правая часть системы, x— искомое решение системы.

Иногда удобно записывать систему линейных уравнений в другой матричной форме:

Матрица Ap называется расширенной матрицей системы.

Если исследуется неоднородная система A·x = b, b ≠ 0, то система A·x =0 называется приведенной однородной системой для системы A·x = b.

 

 

7.2

Если каждому значению n из натурального ряда чисел 1,2,...,n,... ставится в соответствие по определенному закону некоторое вещественное число xn, то множество занумерованных вещественных чисел x1,x2,...,xn,... мы и будем называть числовой последовательностью или просто последовательностью.

 

 

Определение. Последовательность {xn} называют ограниченной сверху (снизу), если существует вещественное число М (вещественное число m) такое, что каждой элемент этой последовательности xn удовлетворяет неравенству xn<М (xn>m).

При этом число М (число m) называют верхней гранью (нижней гранью) последовательности {xn}, а неравенство xn<М(xn>m) называют условным ограничением этой последовательности сверху (снизу).

Определение. Последовательность {xn} называется ограниченной с обеих сторон (или просто ограниченной), если она ограничена и сверху, и снизу, т.е. если существуют два вещественных числа M и m такие, что каждый элемент этой последовательности xn удовлетворяет неравенствам m<xn<М.

При этом числа m и М называют соответственно нижней и верхней гранями последовательности {xn}, а неравенства называют условно ограниченной последовательностью.

Последовательность {xn} является ограниченной тогда и только тогда, когда существует положительное вещественное число А такое, что каждый элемент последовательности xn удовлетворяет неравенству: ∣ xn∣≤ А.

Последовательность {xn} называет неограниченной, если для любого положительного вещественного числа А* найдется хотя бы один элемент последовательности xn, удовлетворяющий неравенству ∣ xn∣> А*.

 

 

8.1

Понятие дифференциала функции

Пусть функция у=ƒ(х) имеет в точке х отличную от нуля производную.

Тогда, по теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции, можно записать D у/D х=ƒ'(х)+α, где α→0 при ∆х→0, или ∆у=ƒ'(х)•∆х+α•∆х.

 

Таким образом, приращение функции ∆у представляет собой сумму двух слагаемых ƒ'(х)•∆х и а•∆х, являющихся бесконечно малыми при ∆x→0. При этом первое слагаемое есть бесконечно малая функция одного порядка с ∆х, так как а второе слагаемое есть бесконечно малая функция более высокого порядка, чем ∆х:

Поэтому первое слагаемое ƒ'(х)· ∆х называют главной частью приращения функции ∆у.

Дифференциалом функции у=ƒ(х) в точке х называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается dу (или dƒ(х)):

dy=ƒ'(х)•∆х. (1)

Геометрический смысл дифференциала функции

Выясним геометрический смысл дифференциала.

Для этого проведем к графику функции у=ƒ(х) в точке М(х; у) касательную МТ и рассмотрим ординату этой касательной для точки х+∆х (см. рис. 138). На рисунке ½ АМ½ =∆х, |AM1|=∆у. Из прямоугольного треугольника МАВ имеем:

Но, согласно геометрическому смыслу производной, tga=ƒ'(х). Поэтому АВ=ƒ'(х)•∆х.

 

Сравнивая полученный результат с формулой (1), получаем dy=АВ, т. е. дифференциал функции у=ƒ(х) в точке х равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда х получит приращение ∆х.

Основные теоремы о дифференциалах

Основные теоремы о дифференциалах легко получить, используя связь дифференциала и производной функции (dy=f'(x)dx) и соответствующие теоремы о производных.

Например, так как производная функции у=с равна нулю, то дифференциал постоянной величины равен нулю: dy=с'dx=0•dx=0.

Теорема 24.1. Дифференциал суммы, произведения и частного двух дифференцируемых функций определяются следующими формулами:

Теорема 24.2. Дифференциал сложной функции равен произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на дифференциал этого промежуточного аргумента.

Пусть у=ƒ(u) и u=φ(х) две дифференцируемые функции, образующие сложную функцию у=ƒ(φ(х)). По теореме о производной сложной функции можно написать

у'х=у'u•u'x.

Умножив обе части этого равенства на dx, поучаем у'хdx=у'u•u'хdx. Но у'хdx=dy и u'хdx=du. Следовательно, последнее равенство можно переписать так:

dy=у'udu.

Сравнивая формулы dy=у'х•dx и dy=у'u•du, видим, что первый дифференциал функции у=ƒ(х) определяется одной и той же формулой независимо от того, является ли ее аргумент независимой переменной или является функцией другого аргумента.

Это свойство дифференциала называют инвариантностью (неизменностью) формы первого дифференциала.

Формула dy=у'х•dx по внешнему виду совпадает с формулой dy=у'u•du, но между ними есть принципиальное отличие: в первой формуле х — независимая переменная, следовательно, dx=∆х, во второй формуле и есть функция от х, поэтому, вообще говоря, du≠∆u.

С помощью определения дифференциала и основных теорем о дифференциалах легко преобразовать таблицу производных в таблицу дифференциалов.

Например: d(cosu)=(cosu)'udu=-sinu•du

 

 

8.2

СВОЙСТВО 1. Величина определителя не изменится, если все его строки заменить столбцами, причем каждую строку заменить столбцом с тем же номером, то есть

СВОЙСТВО 2. Перестановка двух столбцов или двух строк определителя равносильна умножению его на -1. Например,

СВОЙСТВО 3. Если определитель имеет два одинаковых столбца или две одинаковые строки, то он равен нулю.

СВОЙСТВО 4. Умножение всех элементов одного столбца или одной строки определителя на любое число k равносильно умножению определителя на это число k. Например,

СВОЙСТВО 5. Если все элементы некоторого столбца или некоторой строки равны нулю, то сам определитель равен нулю. Это свойство есть частный случае предыдущего (при k=0).

СВОЙСТВО 6. Если соответствующие элементы двух столбцов или двух строк определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

СВОЙСТВО 7. Если каждый элемент n-го столбца или n-й строки определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей, из которых один в n-м столбце или соответственно в n-й строке имеет первые из упомянутых слагаемых, а другой - вторые; элементы, стоящие на остальных местах, у вех трех определителей одни и те же. Например,

СВОЙСТВО 8. Если к элементам некоторого столбца (или некоторой строки) прибавить соответствующие элементы другого столбца (или другой строки), умноженные на любой общий множитель, то величина определителя при этом не изменится. Например,

СВОЙСТВО 9. Определитель

равен сумме произведений элементов какого-либо столбца (или строки) на их алгебраические дополнения.

 

 

9.1

 

 

 

9.2

Производная суммы (разности) функций

Производная алгебраической суммы функций выражается следующей теоремой.

Производная суммы (разности) двух дифференцируемых функций равна сумме (разности) производных этих функций:

Производная конечной алгебраической суммы дифференцируемых функций равна такой же алгебраической сумме производных слагаемых. Например,

Производная произведения функций.

Пусть u(x) и u(x) - дифференцируемые функции. Тогда произведение функций u(x)v(x) также дифференцируемо и

Производная произведения двух функций не равана произведению производных этих функций.

 

Производная частного функций.

Пусть u(x) и u(x) - дифференцируемые функции. Тогда, если v(x) ≠ 0, то производная частного этих функций вычисляется по формуле

 

 

10.1

 

10.2

 

 

11.1

Одним из наиболее универсальных и эффективных методов решений линейных алгебраических систем является метод Гаусса, состоящий в последовательном исключении неизвестных.

Пусть дана система уравнений

Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов. На первом этапе (прямой ход) система приводится к ступенчатому (в частности, треугольному) виду.

Приведенная ниже система имеет ступенчатый вид

где

Коэффициенты aii называются главными элементами системы.

На втором этапе (обратный ход) идет последовательное определение неизвестных из этой ступенчатой системы.

 

 

11.2

 

 

12.1

Однородная система линейных уравнений AX = 0 всегда совместна. Она имеет нетривиальные (ненулевые) решения, если r = rank A < n.

Для однородных систем базисные переменные (коэффициенты при которых образуют базисный минор) выражаются через свободные переменные соотношениями вида:

Тогда n - r линейно независимыми вектор-решениями будут:

а любое другое решение является их линейной комбинацией. Вектор-решения образуют нормированную фундаментальную систему.

В линейном пространстве множество решений однородной системы линейных уравнений образует подпространство размерности n - r; - базис этого подпространства.

 

12.2

Необходимое условие экстремума

Функция g(x) в точке имеет экстремум(максимум или минимум), если функция определена в двухсторонней окрестности точки и для всех точек x некоторой области:

, выполнено соответственно неравенство

(в случае максимума) или (в случае минимума).

Экстремум функции находиться из условия: , если производная существует, т.е. приравниваем первую производную функции к нулю.

Достаточное условие экстремума

1) Первое достаточное условие:

Если:

а) f(x) непрерывная функция и определена в некоторой окрестности точки такой, что первая производная в данной точке равна нулю или не существует.

б) f(x) имеет конечную производную в окрестности задания и непрерывности функции

в) производная сохраняет определенный знак справа от точки и слева от этой же точки, тогда точку можно охарактеризовать следующим образом

Это условие не очень удобное, так как нужно проверять множество условий и запоминать таблицу, однако если ничего не сказано о производных высших порядках, то это единственный способ найти экстремум функции.

2) Второе достаточное условие

Если функция g(x) обладает второй производной причем в некоторой точке первая производная равна нулю, а вторая производная отлично от нуля. Тогда точка экстремум функции g(x), причем если , то точка является максимумом; если , то точка является минимумом.

3) Третье достаточное условие

Пусть функция g(x) имеет в некоторой окрестности точки N производных, причем значение первых (N - 1)- ой и самой функции в этой точке равно нулю, а значение N-ой производной отлично от нуля. В таком случае:

а) Если N - четно, то точка экстремум функции: у функции точка максимума, у функции точка минимума.

б) Если N - нечетно, то в точке у функции g(x) экстремума нет.

 

13.1

Три некомпланарных вектора a, b и с, взятые в указанном порядке, образуют правую тройку, если с конца третьего вектора с кратчайший поворот от первого вектора а ко второму вектору b виден совершающимся против часовой стрелки, и левую, если по часовой (см. рис. 16).

Векторным произведением вектора а на вектор b называется вектор с, который:

1. Перпендикулярен векторам a и b, т. е. с^а и с^b;

2. Имеет длину, численно равную площади параллелограмма, построенного на векторах а и b как на сторонах (см. рис. 17), т. е.

3.Векторы a, b и с образуют правую тройку.

Векторное произведение обозначается а х b или [а,b]. Из определения векторного произведения непосредственно вытекают следующие соотношения между ортами i, j и k (см. рис. 18):

i х j = k, j х k = i, k х i = j.

Докажем, например, что iхj=k.

1) k^i, k^j;

2) |k|=1, но | i x j| = |i| • |J| • sin(90°)=1;

3) векторы i, j и k образуют правую тройку (см. рис. 16).

Свойства векторного произведения

1. При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак, т.е. а хb =(b хa) (см. рис. 19).

Векторы ахb и b ха коллинеарны, имеют одинаковые модули (площадь параллелограмма остается неизменной), но противоположно направлены (тройки а, b, а хb и a, b, bxa противоположной ориентации). Стало быть axb = -(bxa).

2. Векторное произведение обладает сочетательным свойством относительно скалярного множителя, т. е. l(а хb) = (lа) х b = а х (lb).

Пусть l>0. Вектор l(ахb) перпендикулярен векторам а и b. Вектор (lа)хb также перпендикулярен векторам а и b (векторы а, lа лежат в одной плоскости). Значит, векторы l(ахb) и (lа)хb коллинеарны. Очевидно, что и направления их совпадают. Имеют одинаковую длину:

Поэтому l(a хb)= lахb. Аналогично доказывается при l<0.

3. Два ненулевых вектора а и b коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору, т. е. а||b <=>ахb =0.

В частности, i *i =j *j =k *k =0.

4. Векторное произведение обладает распределительным свойством:

(a+b) хс= ахс+b хс.

Примем без доказательства.

 

13.2

Если каждому значению n из натурального ряда чисел 1,2,...,n,... ставится в соответствие по определенному закону некоторое вещественное число xn, то множество занумерованных вещественных чисел x1,x2,...,xn,... мы и будем называть числовой последовательностью или просто последовательностью.

Определение. Последовательность {xn} называют ограниченной сверху (снизу), если существует вещественное число М (вещественное число m) такое, что каждой элемент этой последовательности xn удовлетворяет неравенству xn<М (xn>m).

При этом число М (число m) называют верхней гранью (нижней гранью) последовательности {xn}, а неравенство xn<М(xn>m) называют условным ограничением этой последовательности сверху (снизу).

Определение. Последовательность {xn} называется ограниченной с обеих сторон (или просто ограниченной), если она ограничена и сверху, и снизу, т.е. если существуют два вещественных числа M и m такие, что каждый элемент этой последовательности xn удовлетворяет неравенствам m<xn<М.

При этом числа m и М называют соответственно нижней и верхней гранями последовательности {xn}, а неравенства называют условно ограниченной последовательностью.

Последовательность {xn} является ограниченной тогда и только тогда, когда существует положительное вещественное число А такое, что каждый элемент последовательности xn удовлетворяет неравенству: ∣ xn∣≤ А.

Последовательность {xn} называет неограниченной, если для любого положительного вещественного числа А* найдется хотя бы один элемент последовательности xn, удовлетворяющий неравенству ∣ xn∣> А*.

 

 

14.1

Рассмотрим произведение векторов а, b и с, составленное следующим образом: (ахb)•с. Здесь первые два вектора перемножаются векторно, а их результат скалярно на третий вектор. Такое произведение называется векторноскалярным, или смешанным, произведением трех векторов. Смешанное произведение представляет собой некоторое число.

Выясним геометрический смысл выражения (ахb)*с. Построим параллелепипед, ребрами которого являются векторы а, b, с и вектор d =ахb (см. рис. 22).

Имеем: (а х b) • с = d • с = |d| • прdс, |d|=|а х b| =S, где S — площадь параллелограмма, построенного на векторах а и b, прdс = Н Для правой тройки векторов и прdс = - Н для левой, где Н— высота параллелепипеда. Получаем: (axb)*c =S *(±H), т. е. (axb)*c =±V, где V — объем параллелепипеда, образованного векторами а, b и с.

Таким образом, смешанное произведение трех векторов равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, взятому со знаком «плюс», если эти векторы образуют правую тройку, и со знаком «минус», если они образуют левую тройку.

Свойства смешанного произведения

1. Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке его сомножителей, т. е. (а х b)•с=(b х с)•а=(с х а)•b.

Действительно, в этом случае не изменяется ни объем параллелепипеда, ни ориентация его ребер

2. Смешанное произведение не меняется при перемене местами знаков вкторного и скалярного умножения, т. е. (ахb)•с=а*(bx с).

Действительно, (ахb)•с=±V и а•(b хс)=(b хс)•а=±V. Знак в правой части этих равенств берем один и тот же, так как тройки векторов а, b, с и b, с, а — одной ориентации.

Следовательно, (a хb)•с=a (b хс). Это позволяет записывать смешанное произведение векторов (а х b)с в виде abc без знаков векторного, скалярного умножения.

3. Смешанное произведение меняет свой знак при перемене мест любых вух векторов-сомножителей, т. е. abc =-acb, abc =-bac, abc =-cba.

Действительно, такая перестановка равносильна перестановке сомножителей в векторном произведении, меняющей у произведения знак.

4.Смешанное произведение ненулевых векторов а, b и с равно нулю огда и только тогда, когда они компланарны.

Если abc =0, то а, b и с— компланарны.

Допустим, что это не так. Можно было бы построить параллелепипед с объемом V¹ 0. Но так как abc =±V, то получили бы, что abc¹0. Это противоречит условию: abc =0.

Обратно, пусть векторы а, b, с — компланарны. Тогда вектор d =ахb будет перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы а, b,с, и следовательно, d ^с. Поэтому d •с=0, т. е. abc =0.

 

 

14.2

 

15.1

Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка

Ах + Ву + С = 0,

причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой.

В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи:

• C = 0, А ≠0, В ≠ 0 – прямая проходит через начало координат

• А = 0, В ≠0, С ≠0 { By + C = 0}- прямая параллельна оси Ох

• В = 0, А ≠0, С ≠ 0 { Ax + C = 0} – прямая параллельна оси Оу

• В = С = 0, А ≠0 – прямая совпадает с осью Оу

• А = С = 0, В ≠0 – прямая совпадает с осью Ох

Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту

Если общее уравнение прямой Ах + Ву + С = 0 привести к виду:

и обозначить
, то полученное уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом k.

Уравнение прямой в отрезках

Если в общем уравнении прямой Ах + Ву + С = 0 С≠0, то, разделив на –С, получим или , где

Геометрический смысл коэффициентов в том, что коэффициент а является координатой точки пересечения прямой с осью Ох, а b – координатой точки пересечения прямой с осью Оу.

 

 

15.2

Функция f (x) называется выпуклой на интервале (a, b), если её график на этом интервале лежит ниже касательной, проведенной к кривой y = f (x) в любой точке (x0, f (x0)), x0 (a, b).

Функция f (x) называется вогнутой на интервале (a, b), если её график на этом интервале лежит выше касательной, проведенной к кривой y = f (x) в любой точке (x0, f (x0)), x0 (a, b).

Достаточное условие вогнутости (выпуклости) функции.

Пусть функция f (x) дважды дифференцируема (имеет вторую производную) на интервале (a, b), тогда:

если f '' (x) > 0 для любого x (a, b), то функция f (x) является вогнутой на интервале (a, b);

если f '' (x) < 0 для любого x (a, b), то функция f (x) является выпуклой на интервале (a, b).

Точка, при переходе через которую функция меняет выпуклость на вогнутость или наоборот, называется точкой перегиба. Отсюда следует, что если в точке перегиба x0 существует вторая производная f '' (x0), то f '' (x0) = 0.