IV. Свойство монотонности.

7) Если подинтегральная функция опред. интеграла непрерывна и неотрицательна, а верхний предел интеграла больше нижнего или равен ему, то опред. интеграл также неотрицателен

f(x)≥0 b≥a ^b_a∫ f(x)dx≥0

8) Неравенство между непрерывными функциями можно проинтегрировать почленно при условии, что верхний предел интегрирования больше нижнего

b≥a f(x)≤g(x) ^b_a∫f(x)dx≤ ^b_a∫g(x)dx

35.Применение интеграла для вычисления площадей и объемов фигур:

Площадь фигуры, ограниченной двумя непрерывными линиями:

y1 = f1(x) y2 = f2(x)

и двумя линиями x = a x = b

S = ^b_a∫(f1(x) –f2(x))dx = ^b_a∫f(x)dx= ^b_a∫f1(x1)dx - ^b_a∫f2(x2)dx

Объем тела, образованного вращением вокруг Ох криволинейной трапеции аАВb ограниченной непрерывной функцией y=f(x) (f(x)≥0), отрезком оси Ох (а,b) и линиями x=a, x=b:

V = π ^b_a∫f² (x)dx - объем.

Применение в экономике: Дневная выработка, выпуск оборудования при постоянном темпе роста.

75. Оптимизация - целенаправленная деятельность, заключающаяся в получении наилучших результатов при соответствующих условиях.

При постановке задачи оптимизации необходимо:

1. Наличие объекта оптимизации и цели оптимизации. При этом формулировка каждой задачи оптимизации должна требовать экстремального значения лишь одной величины, т.е. одновременно системе не должно приписываться два и более критериев оптимизации, т.к. практически всегда экстремум одного критерия не соответствует экстремуму другого.

2. Наличие ресурсов оптимизации, под которыми понимают возможность выбора значений некоторых параметров оптимизируемого объекта. Объект должен обладать определенными степенями свободы - управляющими воздействиями.

3. Возможность количественной оценки оптимизируемой величины, поскольку только в этом случае можно сравнивать эффекты от выбора тех или иных управляющих воздействий.

4. Учет ограничений.

76. Классическая задача на условный экстремум - задача условной оптимизации, допустимая множество X которой имеет вид:

тогда, классическую задачу на условный экстремум можно записать так

77. Метод множителей Лагранжа, метод нахождения условного экстремума функции f(x), где , относительно m ограничений , где меняется от единицы до m

Составим функцию Лагранжа в виде линейной комбинации функции f и функций , взятых с коэффициентами, называемыми множителями Лагранжа — где.

Составим систему из n+m уравнений, приравняв к нулю частные производные функции Лагранжа по и .

Если полученная система имеет решение относительно параметров и , тогда точка может быть условным экстремумом, то есть решением исходной задачи. Заметим, что это условие носит необходимый, но не достаточный характер.

Тема 11:

78.

Общей задачей линейного программирования называется задача, которая состоит в определении максимального (минимального) значения функции

при условиях

где - заданные постоянные величины и .

Геометрическая интерпретация задач линейного программирования:

 

Для понимания всего дальнейшего полезно знать и представлять себе геометрическую интерпретацию задач линейного программирования, которую можно дать для случаев n =2 и n =3.

 

Наиболее наглядна эта интерпретация для случая n =2, т.е. для случая двух переменных x1 и x2. Пусть нам задана задача линейного программирования в стандартной форме

Возьмём на плоскости декартову систему координат и каждой паре чисел (x1,x2) поставим в соответствие точку на этой плоскости.

Обратим прежде всего внимание на ограничения и Они из всей плоскости вырезают лишь её первую четверть (см. рис. 1). Рассмотрим теперь, какие области соответствуют неравенствам вида . Сначала рассмотрим область, соответствующую равенству . Как Вы, конечно, знаете, это прямая линия. Строить её проще всего по двум точкам.

 

Пусть , если взять x1 = 0, то получится . Если взять x2=0, то получится . Таким образом, на прямой лежат две точки и . Дальше через эти две точки можно по линейке провести прямую линию.

 

Если же b=0, то на прямой лежит точка (0,0). Чтобы найти другую точку, можно взять любое отличное от нуля значение x1 и вычислить соответствующее ему значение x2.

 

Эта построенная прямая разбивает всю плоскость на две полуплоскости. В одной её части , а в другой наоборот . Узнать, в какой полуплоскости какой знак имеет место проще всего посмотрев, какому неравенству удовлетворяет какая-то точка плоскости, например, начало координат, т.е. точка (0,0).

. Этапы решения графического метода задач линейного программирования

Графический метод основан на геометрической интерпретации задачи линейного программирования и применяется в основном при решении задач двумерного пространства и только некоторых задач трехмерного пространства, так как довольно трудно построить многогранник решений, который образуется в результате пересечения полупространств. Задачу пространства размерности больше трех изобразить графически вообще невозможно.

Пусть задача линейного программирования задана в двумерном пространстве, т. е. ограничения содержат две переменные.

Если в ЗЛП ограничения заданы в виде неравенств с двумя переменными, она может быть решена графически. Графический метод решения ЗЛП состоит из следующих этапов.

Этап 1.

Сначала на координатной плоскости

x1Ox2 строится допустимая многоугольная область (область допустимых решений, область определения), соответствующая ограничениям:

Не приводя строгих доказательств, укажем те случаи, которые тут могут получится.

Основной случай - получающаяся область имеет вид ограниченного выпуклого многоугольника (рис. 3а)).

Неосновной случай - получается неограниченный выпуклый многоугольник, имеющий вид, подобный изображенному на рис. 3.б. Подобная ситуация, например, получится, если в рассмотренном выше примере убрать ограничение. Оставшаяся часть будет неограниченным выпуклым многоугольником.

Наконец, возможен случай, когда неравенства (1.31) противоречат друг другу, и допустимая область вообще пуста.

Этап 2

Увеличивая L мы начнем двигать нашу прямую и её пересечение с допустимой областью будет изменяться (см. рис. 7). В конце концов эта прямая выйдет на границу допустимой области - как правило, это будет одна из вершин многоугольника. Дальнейшее увеличение L приведёт к тому, что пересечение прямой с допустимой областью будет пустым. Поэтому то положение прямой, при котором она вышла на граничную точку допустимой области, и даст решение задачи, а соответствующее значение L и будет оптимальным значением целевой функции.

Тема 12

87.

Случайное событие – это явление, которое при одних и тех же условиях может или произойти, или не произойти.

Испытание – это создание и осуществление этих неопределенных условий. Любое испытание приводит к результату или исходу, который заранее невозможно точно предсказать. Случайные события происходят повсеместно – в природе, науке, технике, экономике, военном деле и т.д.

Отношения числа m наступлений данного случайного события A в данной серии испытаний к общему

числу n испытаний этой серии называется частотой появления события A в данной серии испытаний (или просто частотой события А) и обозначается Р*(А).Относительной частотой появления события А в N испытаниях называется число

Вероятность – это отношение числа благоприятных событию исходов m к общему числу всех равновозможных исходов n

Обычно вероятность обозначают буквой P. Вероятность в данном случае понимается как количественная мера объективной возможности появления случайного события А и определяется формулой:

88.

Совместные (совместимые) события – это события, для которых наступление одного из них не исключает возможности наступления других в данном испытании, т.е. они могут появиться вместе.

Несовместные (несовместимые) события - это события, для которых наступления одного из них исключает наступление других в одном и том же испытании, т.е. они не могут появиться вместе.

Например, получение студентом на экзамене по одной дисциплине оценок “отлично”, “хорошо”, “удовлетворительно” – события несовместные, а получение этих же оценок на экзамене по трем дисциплинам – события совместные.

По́лной гру́ппой собы́тий в теории вероятностей называется система случайных событий такая, что в результате произведенного случайного эксперимента непременно произойдет одно из них. Сумма вероятностей всех событий в группе всегда равна 1.

Событие А называется благоприятствующим событию В, если всякий раз, когда наступает событие А, наступает и событие В.

Равновозможные события - это события, для которых ни одно из них не является более возможным, чем другие, в данном испытании.

Совокупность всех элементарных исходов Ω можно представить в виде таблицы, у которой n столбцов и количество строк равно количеству частных элементарных исходов.

89. Вероятностью события A называется отношение числа исходов m, благоприятствующих его наступлению к числу всех исходов n (несовместных, единственно возможных и равновозможных):.

Будем различать достоверные и невозможные события. По определению, их вероятности соответственно равны 1 и 0.

1. Р(А)+Р()=1

 

2. Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ) при сложении А и В их пересечение (то есть произведение) складывается дважды => его надо вычесть. Сумма событий – это их объединение (когда происходит только А, только В, А и В происходят вместе)

3. Определим условную вероятность события А относительно события В, как вероятность события А в новом комплексе условий, который получается из данного, когда В произошло. , P(B)≠0

Отсюда несложно увидеть, что P(AB)=P(B)*P_b (A)

4. Если А и В независимые события (то есть наступление или ненаступление одного из них не влияет на вероятность другого), то P(AB)= P(A)*P(B)

96. Формула Бейеса (Байеса)

Предположим, что событие A может наступить лишь при появлении одного из несовместных событий (гипотез) H1, H2,..., Hn, образующих полную группу. Событие A уже произошло. Требуется вычислить условные вероятности гипотез (при условии, что событие А произошло).

97. Формула Бернулли

Пусть проводятся независимые испытания (такие, при которых вероятность появления события в каждом испытании не зависит от результатов предыдущих испытаний). Далее, вероятность наступления интересующего нас события в каждом испытании постоянна и равна p. Тогда вероятность того, что рассматриваемое событие появится ровно k раз при n испытаниях (безразлично, в каком порядке), равна

В формуле Бернулли используется число сочетаний.

Для реализации схемы Бернулли необходимы два условия:

1) независимость проводимых испытаний;

2) p = const (постоянное значение вероятности появления события)

Распределение вероятностей в схеме Бернулли - биномиальное. Наивероятнейшее число появления события (мода) при n испытаниях заключено в пределах np-q ≤ Mo ≤ np+p,