Описанием общего (характеристического) свойства, объединяющего элементы.

Дается полный список элементов, входящих в это множество.

Пример: Множество учеников данного класса определяется их списком в классном журнале, множество всех стран на земном шаре - их списком в географической энциклопедии, множество всех костей в человеческом теле - их списком в учебнике анатомии.

Но этот способ применим только к конечным множествам, но и то не ко всем - множество всех рыб в океане вряд ли можно задать списком.

В тех случаях, когда множество нельзя задать при помощи списка, его задают путем указания некоторого характеристического свойства. Свойство является характеристическим для некоторого множества, если этому множеству принадлежат в точности те элементы, которые обладают данным свойством.

Пример: Свойство "быть квадратом целого числа" задает (бесконечное) множество всех квадратов целых чисел.

Задание множеств их характеристическим свойством иногда приводит к осложнениям. Может случиться, что два различных характеристических свойства задают одно и то же множество, т.е всякий элемент, обладающий одним свойством, обладает и другим, и обратно.

Пример: Множество толстокожих животных, имеющих два бивня, совпадает со множеством толстокожих животных, имеющих хобот, - это множество слонов.

Итак, множества можно задавать двумя способами:

Перечислением элементов множества;

Описанием общего (характеристического) свойства, объединяющего элементы.

 

4. Два множества A и B могут вступать друг с другом в различные отношения.

A включено в B, если каждый элемент множества A принадлежит также и множеству B:

A включает B, если B включено в A:

A равно B, если A и B включены друг в друга:

A строго включено в B, если A включено в B, но не равно ему:

A строго включает B, если B строго включено в A:

A и B не пересекаются, если у них нет общих элементов:

и не пересекаются

A и B находятся в общем положении, если существует элемент, принадлежащий исключительно множеству A, элемент, принадлежащий исключительно множеству B, а также элемент, принадлежащий обоим множествам:

и находятся в общем положении

5. Объединение (сумма). Под суммой двух множеств x и y понимают множество, состоящее из всех элементов исходных множеств. Круги Эйлера

c=x u y; пример: X={1,9,13}, Y={9,16}, то XuY={1,9,13,16}

6. пересечение (произведение) – множество, которому принадлежат те и только те элементы, которые принадлежат всем данным множествам одновременно.

c=x∩y; пример: Если X={1,2,9}, Y={0,1}, то X∩Y={1}.

7. разность – множество всех элементов, принадлежащих множеству x и не принадлежащих множеству y.

c=x\y; пример:

8. дополнение – пусть есть множество y, которое входит в множество x

Пример: Дополнение к множеству квадратов в множестве ромбов является множество ромбов с хотя бы одним острым углом. А дополнение того же множества квадратов в множестве прямоугольников является множество прямоугольников с неравными соседними сторонами.

9. Мощностью конечного множества называется число элементов в этом множестве. Находится по формуле включений-исключений.

m(AuB)=m(A)+m(B)-m(A∩B);

Таким же образом и в случае множеств процесс нахождения количества элементов объединения состоит во включении всего, затем исключении лишнего, затем включении ошибочно исключенного и так далее, то есть в попеременном включении и исключении.

m(AuBuC)=m(A)+m(B)-m(A∩B)+m(C)-m(A∩C)-m(B∩C)+m(A∩B∩C)

10. Любое возможное множество исходов опыта или эксперимента называется случайным событием.

11. Наблюдение явления, опыт, эксперимент, которые можно провести многократно, в теории вероятностей принято называть испытанием

10-11 ПРИМЕРЫ Сдача экзамена - это испытание; получение определенной отметки - событие. Выстрел - это испытание; попадание в определенную область мишени - событие. Бросание игрального кубика - это испытание; появление того или иного числа очков на брошенной игральной кости - событие.

12. Достоверным событием называют событие, которое непременно должно произойти P(A)=1

13. Невозможным событием называют событие, которые никогда не произойдет в результате опыта

14. События называется совместными если появление одного из них не исключает

появление остальных. Пример: идет дождь и идет снег, человек ест и человек читает, число целое и четное.

15. События называется несовместными в данном опыте, если появление одного изних исключает появление другого. То есть они не могут появиться одновременно в одном опыте. Пример: день и ночь, человек читает и человек спит, число иррациональное и четное

16. События называются равновозможными, если есть основания считать, что не одно из них не является более возможным, чем другое. Появление того или иного числа очков на брошенном игральном кубике – равновозможные события.

17.

18. Несколько событий образуют полную группу событий, если в результате испытания появиться хотя бы одно из них. Другими словами, появление хотя бы одного из событий полной группы есть достоверное событие. Сумма вероятностей полной группы равна 1.

Пример: При сдаче зачета возможны следующие исходы: «зачтено», «не зачтено», «не явился»; при подбрасывании монеты – «орел», «решка».

19. Каждый из возможных результатов испытания (в примере 4, испытание состоит в извлечении шара из урны) называется элементарным исходом.

20. Те элементарные исходы, в которых интересующее нас событие наступает, называются благоприятствующими этому событию. В примере 4 благоприятствуют событию А (появление цветного шара) 5 исходов.

21. Классическое определение вероятности

Пример 4. Пусть в урне содержится 6 одинаковых шаров, причем 2 из них - красные, 3 - синие и 1 - белый. Какова возможность вынуть наудачу из урны цветной шар? Можно ли охарактеризовать эту возможность числом? Оказывается можно. Это число и называется вероятностью события А (появления цветного шара). Таким образом, вероятность есть число, характеризующее степень возможности появления события.

22. Вероятностью P(A) события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу. Вероятность P(A) события А определяется по формуле ,

23. Комбинаторика -раздел математики, который изучает множества (перестановки, размещения, сочетания и перечисление элементов) и отношения на них. Рассматриваемые объекты, как правило, являются определенными комбинациями других объектов (чисел, букв и т.д.).Отсюда и название - комбинаторика.В более широком понимании комбинаторика - это теория конечных множеств.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.