Открытая транспортная задача.

Цели

В данной главе показаны возможности использования модели линейного программирования (ЛП) для определения плана производства. Эти возможности обобщаются для случая, когда закупка готовой продукции для последующей реализации может оказать­ся для производителя предпочтительнее, чем использование собственных мощностей. Рассматривается также задача производ­ственного планирования, учитывающая динамику спроса, произ­водства и хранения продукции. Наиболее часто такого рода задачи возникают на уровне агрегированного планирования и оператив­ного управления микроэкономическими объектами.

После того как вы выполните задания, предлагаемые в этой главе, вы будете уметь определять и использовать для экономического анализа:

• целевую функцию;

• ограничения;

• допустимый план;

• множество допустимых планов;

• модель линейного программирования;

• оптимальный план;

• двойственные оценки;

• границы устойчивости.

Общая постановка задачи планирования производства: необхо­димо определить план производства одного или нескольких ви­дов продукции, который обеспечивает наиболее рациональное использование имеющихся материальных, финансовых и других видов ресурсов. Такой план должен быть оптимальным с точ­ки зрения выбранного критерия — максимума прибыли, миниму­ма затрат на производство и т.д.

Модели

Введем обозначения:

п — количество выпускаемых продуктов;

т — количество используемых производственных ресурсов (на­пример, производственные мощности, сырье, рабочая сила);

а_ij — объем затрат i- го ресурса на выпуск единицы j -й продук­ции;

с _j — прибыль от выпуска и реализации единицы j- го продукта;

b_i — количество имеющегося i -го ресурса;

х_j — объем выпуска j -го продукта.

Формально задача оптимизации производственной программы может быть описана с помощью следующей модели линейного про­граммирования:

(1)

(2)

(3)

Здесь (1) — целевая функция (максимум прибыли);

(2) — система специальных ограничений (constraint) на объем фактически имеющихся ресурсов;

(3) — система общих ограничений (на неотрицательность переменных);

х_j — переменная (variable).

Задача (1)—(3) называется задачей линейного программирования в стандартной форме на максимум.

Задача линейного программирования в стандартной форме на ми­нимум имеет вид

(4)

(5)

(6)

Вектор х = (x ₁, x ₂,..., x_n), компоненты х_j которого удовлетво­ряют ограничениям (2) и (3) (или (5) и (6) в задаче на минимум), называется допустимым решением или допустимым планом задачи ЛП.

Совокупность всех допустимых планов называется множеством допустимых планов.

Допустимое решение задачи ЛП, на котором целевая функция (1) (или (3) в задаче на минимум) достигает максимального (минималь­ного) значения, называется оптимальным решением задачи ЛП.

С каждой задачей ЛП связывают другую задачу ЛП, которая записывается по определенным правилам и называется двойствен­ной задачей ЛП.

Двойственной к задаче ЛП (1)—(3) является задача

Соответственно, двойственной к задаче ЛП (7)—(9) является задача (1)—(3). Каждой переменной (специальному ограничению) исходной задачи соответствует специальное ограничение (пере­менная) двойственной задачи. Если исходная задача ЛП имеет решение, то имеет решение и двойственная к ней задача, при этом значения целевых функций для соответствующих оптимальных решений равны.

Компонента оптимального решения двойственной задачи (7)—(9) называется двойственной оценкой (Dual Value) ограничения исходной задачи ЛП.

Пусть j = max (), где х_j — компонента допустимого решения задачи (1)—(3).

Тогда при выполнении условий невырожденности оптималь­ного решения имеют место следующие соотношения:

Изменим значение правой части b_i одного основного ограни­чения (RHS) исходной задачи ЛП.

Пусть — минимальное значение правой части основного ограничения, при котором решение у* двойственной задачи не из­менится. Тогда величину называют нижней границей (Lower Bound) устойчивости по правой части ограничения.

Пусть — максимальное значение правой части основного ограничения, при котором решение y* двойственной задачи не из­менится. Тогда величину называют верхней границей (Upper Bound) устойчивости по правой части ограничения.

Изменим значение одного коэффициента с_j целевой функции исходной задачи ЛП.

Пусть — минимальное значение коэффициента целевой функ­ции, при котором оптимальное решение x * исходной задачи не изменится. Тогда величину называют нижней границей устой­чивости по коэффициенту целевой функции.

Пусть — максимальное значение коэффициента целевой функции, при котором оптимальное решение х * исходной задачи не изменится. Тогда величину называют верхней границей устойчивости по коэффициенту целевой функции.

Тема 2. Оптимальное смешение

Ситуация 3.

Компания «Синьор Помидор».

«Синьор Помидор» — средних размеров компания, занима­ющаяся производством и реализацией различной продукции выс­шего качества из овощей и фруктов.

2 сентября 2002 г. Михаил Горский, вице-президент компании «Синьор Помидор», пригласил начальников отдела сбыта, отдела технического контроля и производственного отдела, чтобы обсу­дить объемы заготовок консервов из помидоров. Закупленный на корню урожай томатов начал поступать на консервный завод, и операции по заготовке консервов должны были начаться в сле­дующий понедельник.

Как только все собрались на совещание, начальник производ­ственного отдела компании Василий Пузиков заявил, что он за­хватил с собой последние результаты оценки качества поступа­ющих томатов. Согласно этим данным около 20% урожая имеет высшее качество А, а оставшаяся часть от всего урожая в 3 млн кг — качество В.

Горский поинтересовался у Павла Лукина, отвечающего за сбыт, о спросе на продукцию из томатов на следующий год. Лукин заявил, что компания может продать столько томатов в соб­ственном соку, сколько она сможет произвести. В то же время ожидается, что спрос на томатный сок и томатную пасту будет ограничен.

Начальник отдела сбыта предоставил следующий прогноз спро­са на продукцию фирмы:

Лукин напомнил собравшимся, что цены на продукты, произ­водимые компанией, были установлены исходя из долгосрочной рыночной стратегии и что прогноз будущих продаж основан на этих ценах.

Владимир Панкратов, начальник отдела технического контро­ля, ознакомился с оценками спроса, сделанными Павлом Лукиным, и отметил, что с продуктами из томатов у компании «Синь­ор Помидор» в следующем году проблем, видимо, не будет. Рас­четы показывают, что удельная прибыль от производства томатов в собственном соку выше, чем от производства других продуктов из томатов.

Ниже приведены полученные Лукиным результаты расчетов удельной прибыли (в руб.) для всех продуктов,производимыхкомпанией:

Эти расчеты были выполнены сразу после того, как компания подписала контракт на закупку урожая томатов по цене в среднем 0,6 руб. за 1 кг.

Данные о количестве сырья (свежих томатов), необходимого для производства одной упаковки продукции, приведены в сле­дующей таблице:

Василий Пузиков обратил внимание вице-президента на то, что, несмотря на имеющиеся резервы мощностей, нельзя произво­дить только томаты в собственном соку, так как лишь небольшая часть урожая имеет качество А. Компания использует шкалу коли­чественных оценок качества как сырья, так и готовой продукции. Это шкала от 1 до 10, причем наибольший номер соответствует наивысшему качеству. По этой шкале каждый килограмм тома­тов качества А оценивается в 9 баллов, а томатов качества В — в 5 баллов.

Пузиков напомнил, что минимально допустимый уровень ка­чества готовой продукции — 8 баллов на 1 кг томатов в собствен­ном соку и 6 баллов на 1 кг томатного сока. Томатная паста мо­жет производиться целиком из томатов качества В. Это означает, что томатов в собственном соку может быть произведено не бо­лее 800 тыс. кг.

Вице-президент заявил, что не считает это реальным ограни­чением. Недавно компания потерпела неудачу в попытке при­обрести 80 тыс. кг томатов качества A по цене 0,85 руб. за 1 кг. Од­нако, по мнению вице-президента, эти томаты еще можно купить. Лукин, проделавший в это время некоторые расчеты, сказал: «Я согласен с тем, что компанию ожидает благополучие, однако достичь его удастся не за счет продажи консервированных поми­доров в собственном соку. Мне представляется, что издержки на закупку должны быть распределены с учетом не только количе­ства, но и качества томатов».

Результаты проведенных им расчетов предельной прибыли од­ной упаковки продукта (в руб.) приведены ниже:

Из этих результатов следует, что компания должна использо­вать 2 млн кг томатов качества B для производства томатной пас­ты. Оставшиеся 400 тыс. кг томатов качества В и все томаты ка­чества А следует использовать для производства томатного сока. Если прогноз спроса на продукцию компании оправдается, то переработка урожая томатов принесет компании 480 тыс. руб.

Пояснения. Пусть z — стоимость закупки 1 кг томатов ка­чества А, у — стоимость закупки 1 кг томатов качества В.

Решая систему двух линейных уравнений

получаем: z = 0,932 руб., у = 0,518 руб.

Задания

1. Структурируйте задачу. Постройте модель.

2. Определите наилучшую производственную стратегию ком­пании.

3. Проанализируйте вариант, который предусматривает воз­можность приобретения фирмой дополнительно 80 тыс. кг томатов качества А.

Рекомендации к Теме 2. (Ситуация 3)

Цели

В данной главе показаны возможности использования модели линейного программирования для решения задач оптимального сме­шения. Наряду с рассмотренной в главе 1 задачей планирования производства это одна из наиболее известных областей приложе­ния модели линейного программирования. Модели оптимально­го смешения имеют много общего с моделями оптимального пла­нирования производства. В то же время существуют и некоторые особенности.

После того как вы выполните задания, предлагаемые в этой главе, вы будете уметь формулировать и использовать для эконо­мического анализа следующие понятия:

• смесь;

• ингредиент смеси;

• компонент смеси;

• рецепт смешения.

Модели

Важный класс прикладных оптимизационных задач образуют задачи о смесях. Такие задачи возникают при выборе наилучшего способа смешения исходных ингредиентов для получения смеси с заданными свойствами. Смесь должна иметь требуемые свой­ства, которые определяются количеством компонентов, входящих в состав исходных ингредиентов. Как правило, известны стоимост­ные характеристики ингредиентов и искомую смесь требуется получить с наименьшими затратами. Для многопродуктовых за­дач, в которых требуется получить несколько смесей, характерным является критерий максимизации прибыли.

Задачи оптимального смешения встречаются во многих отрас­лях промышленности (металлургия, парфюмерия, пищевая про­мышленность, фармакология, сельское хозяйство). Примерами задач о смесях могут служить определение кормового рациона скота на животноводческих фермах, составление рецептуры ших­ты на металлургическом производстве и т.п.

Рассмотрим сначала однопродуктовые модели оптималь­ного смешения.

Введем обозначения:

п — количество исходных ингредиентов;

т — количество компонентов в смеси;

х_j — количество j -го ингредиента, входящего в смесь;

а_ij —количество i -го компонента в j -м ингредиенте;

с_j —стоимость единицы j -го ингредиента;

b_i — количество i -го компонента всмеси.

Модель А:

Здесь (1) — целевая функция (минимум затрат на получение смеси);

(2)— группа ограничений, определяющих содержание ком­понентов в смеси;

(3) — ограничения на неотрицательность переменных.

В задаче могут присутствовать также ограничения на общий объем смеси и ограничения на количество используемых ингре­диентов. Эти группы ограничений, а также ограничения (2) ха­рактерны для задачи планирования производства, рассмотренной в главе 1.

Введем обозначения:

п — количество исходных ингредиентов;

т — количество компонентов в смеси;

w — количество условий, отражающих содержание j -го ингре­диента в смеси;

х_j — количество j- го ингредиента, входящего в смесь;

а_ij — доля j -го компонента в j -м ингредиенте;

b_i — минимально допустимая доля i -го компонента в смеси;

с_j — стоимость единицы j -го ингредиента;

d_rj — коэффициент, отражающий r -е условие на содержание j -го ингредиента в смеси.

Модель В:

Здесь (4) — целевая функция (минимум затрат на получение смеси);

(5) — группа ограничений, определяющих содержание компонентов в смеси;

(6) — группа ограничении на содержание ингредиентов в смеси;

(7) — ограничение на количество смеси;

(8) — ограничения на неотрицательность переменных.

Ограничения (5) и (6) отличают задачу смешения от задачи оптимального планирования производства. Заметим, что значения правых частей этих ограничений равны нулю. Вектор х* с компо­нентами, являющийся решением этой оптимизационной зада­чи, называют рецептом приготовления смеси или рецептом сме­шения.

В многопродуктовых задачах ингредиенты используют­ся для приготовления не одной, а нескольких смесей. При этом в качестве переменной x_kj, такой задачи рассматривается количество ингредиента j, используемое для приготовления смеси k. Крите­рий задачи — максимизация прибыли.

Введем обозначения:

п — количество исходных ингредиентов;

т — количество компонентов в смеси;

w — количество условий, отражающих содержание j -го ингре­диента в смеси;

s — количество смесей;

х_kj — количество j -го ингредиента, входящего в k -ю смесь;

а_ij — доля i -го компонента в j -м ингредиенте;

b_ik — минимально допустимая доля i -го компонента в k- й смеси;

с_j — стоимость единицы j -го ингредиента;

р_k — стоимость единицы k- й смеси;

d_rkj — коэффициент, отражающий r -е условие на содержание j -го ингредиента в k- й смеси;

и_j — количество имеющегося j -го ингредиента.

Модель С:

Здесь (9) — целевая функция (максимум прибыли);

(10) — группа ограничений, определяющих содержание компонентов в смеси;

(11) — группа ограничений на содержание ингредиентов в смеси;

(12) — ограничения на количество ингредиентов;

(13)— ограничения на неотрицательность переменных.

Тема 3. Транспортная задача

 

Ситуация 4.

«Фургоны под жилье».

Фирма «Фургоны под жилье», возглавляемая Тони Риццо, за­нимается переделкой стандартных фургонов в бунгало для жилья. В зависимости от объема работы такая переделка обходится заказ­чику от 1000 до 5000 долл. За последние четыре года Тони Риццо расширил свое небольшое дело в Гери, Индиане и открыл фили­алы в Чикаго, Милуоки, Миннеаполисе и Детройте.

Нововведения — основной фактор, позволивший добиться ус­пеха в превращении маленькой фирмы в процветающее предпри­ятие. Тони удалось придумать и создать множество приспособле­ний, пользующихся повышенным спросом у покупателей фурго­нов под жилье, например душевую кабину, сконструированную Тони через шесть месяцев после того, как была создана фирма. Эта кабина занимает вдвое меньше места, чем обычная, и может быть размещена не только в фургонах любого типа, но и в других мес­тах рядом с фургоном. Душевая кабина сделана из фибергласа и снабжена вешалкой для полотенец, встроенным душем и держа­телем для шампуня. На производство каждой душевой кабины уходит два галлона фибергласа и три часа рабочего времени.

Большинство душевых кабин производилось в Гери, где была основана фирма. Фабрика в Гери может выпускать до 300 душе­вых кабин в месяц, но этого количества всегда было недостаточ­но. Все четыре магазина фирмы выражали недовольство недоста­точным объемом поставок душевых кабин. К тому же Тони отда­вал трем магазинам преимущество в снабжении по сравнению с четвертым в Миннеаполисе, так как последний находился даль­ше всех от Гери. Это приводило в бешенство менеджера фирмы в Миннеаполисе, и после длительных дискуссий Тони решил от­крыть другую фабрику по производству душевых кабин в Форт Вайне. Эта фабрика способна производить 150 душевых кабин в месяц. Новая фабрика в Форт Вайне все же не смогла полностью обеспечить спрос на душевые кабины. Тони знал, что в ближай­шие годы спрос на них может только увеличиваться. После кон­сультаций со своим адвокатом и банкиром Тони принял решение как можно скорее открыть две новые фабрики. Каждая из них должна иметь такую же производительность, как фабрика в Форт Вайне. Был проведен предварительный анализ возможных мест расположения новых фабрик, и Тони решил, что две новые фаб­рики могут быть размещены в одном из трех мест: Детройте (штат Мичиган), Рокфорде (штат Иллинойс) или Мэдисоне (штат Вис­консин). Тони знал, что выбрать место для расположения новых фабрик непросто. Важно учесть транспортные издержки для каж­дого возможного варианта размещения. Магазином в Чикаго управлял Билл Барч. Этот фирменный магазин был первым филиалом, открытым Тони, и его возмож­ности превосходили возможности других магазинов. Фабрика в

Гери поставляла туда 200 душевых кабин в месяц, в то время как Билл знал, что может продать 300 кабин. Издержки на транспорти­ровку одной душевой кабины из Гери в Чикаго составляют 10 долл., и, несмотря на то что удельные транспортные издержки от Форт Вайна вдвое выше, Билл всегда хотел добиться от Тони поставки оттуда 50 кабин. Две новые фабрики могли бы обеспечить Биллу поставку тех 100 кабин, которых ему недоставало. Транспортные издержки, разумеется, будут зависеть от того, где Тони откроет фабрики. Для Детройта удельные транспортные издержки соста­вят 30 долл., для Рокфорда — 5 долл., а для Мэдисона — 10 долл.

Вилма Джексон, менеджер фирменного магазина в Милуоки, выражала недовольство недостаточным объемом поставок душе­вых кабин. В настоящее время спрос составлял 100 кабин и лишь наполовину удовлетворялся поставками с фабрики Форт Вайна. Она не могла понять, почему Тони не присылает ей все 100 ка­бин из Гери. Удельные транспортные издержки для Гери состав­ляют 20 долл., в то время как для Форт Вайна — 30 долл. Вилма надеялась, что одним из мест размещения новой фабрики станет Мэдисон. Тогда она сможет получать необходимое количество душевых кабин при транспортных издержках всего 5 долл. Если не Мэдисон, то новая фабрика в Рокфорде тоже может удовлет­ворять потребности ее магазина. Правда, транспортные издерж­ки в этом случае вдвое выше, чем для Мэдисона. Вилма не пита­ет надежды на поставки из Детройта. Если новую фабрику откро­ют там, то транспортные издержки составят 40 долл.

Управляющим фирменным магазином в Миннеаполисе был Том Пански. Он получал 100 душевых кабин из Гери. Спрос со­ставлял 150 шт. Том имел наибольшие удельные транспортные издержки. Для Гери они составляли 40 долл. Если бы душевые кабины транспортировались из Форт Вайна, удельные транспорт­ные издержки были бы на 10 долл. больше. Том надеялся, что в Детройте новой фабрики не будет, так как в этом случае транс­портные издержки составили бы 60 долл. за одну кабину. Для Рок­форда и Мэдисона они будут 30 и 35 долл. соответственно.

Положение магазина в Детройте было таким же, как в Милуо­ки, только спрос удовлетворялся всего наполовину. Все 100 душе­вых кабин, которые получает Детройт, поступают из Форт Вайна. Для Форт Вайна транспортные издержки составляли 15 долл. за штуку, а для Гери — 25 долл. Дик Лопес, менеджер магазина в Дет­ройте, высоко оценивал шансы строительства новой фабрики в Детройте. Она размещалась бы в пригороде, и удельные транспорт­ные издержки составили бы всего 2 долл. Он мог бы получать 150 душевых кабин с новой фабрики в Детройте, а оставшиеся 50 кабин — из Форт Вайна. Два других места размещения фабри­ки представлялись ему неудачными. Рокфорд имел удельные транспортные издержки 35 долл., а Мэдисон — 40 долл.

Перед тем как созвать на совещание менеджеров своих мага­зинов, Тони несколько недель размышлял о том, где разместить новые фабрики. Проблема была комплексной, но цель ясна — ми­нимизация общих издержек. Совещание, на котором присутство­вали все менеджеры, кроме Вилмы, состоялось в Гери.

Тони: Благодарю за то, что приехали. Как вам известно, я ре­шил открыть две новые фабрики в Рокфорде, Мэдисоне или Дет­ройте. Это, разумеется, изменит положение, и вы сможете полу­чить недостающее количество душевых кабин. Я знаю, что вы могли бы продавать больше, чем сейчас, и чувствую себя ответ­ственным за эту ситуацию.

Дик: Тони, я много размышлял над этой проблемой и считаю, что местом размещения одной из новых фабрик должен стать Детройт. Сейчас я получаю лишь половину того количества кабин, которое могу продать. Мой брат Леон очень заинтересован в пус­ке фабрики, и я думаю, он хорошо справился бы с этой работой.

Том: Дик, я убежден, что Леон был бы на высоте, и я знаю, какие у вас проблемы из-за спада в автомобильной промышлен­ности. Однако нам следует принимать во внимание издержки, а не персоналии. Я убежден, что новые фабрики надо открыть в Рокфорде и Мэдисоне. Мой магазин слишком удален от других фабрик, и такое размещение позволит существенно снизить транс­портные издержки.

Дик: Может быть, это и верно, но надо учитывать другие фак­торы. Детройт — один из основных потребителей фибергласа, и я интересовался ценами на него. Новая фабрика в Детройте сможет получать фиберглас на 2 долл. дешевле, чем в любом другом месте.

Том: В Мэдисоне прекрасная рабочая сила благодаря студен­там Мэдисонского университета. Студенты — отличные рабочие, и они согласятся получать на 1 долл. в час меньше.

Билл: Хватит спорить. Ясно, что так мы не договоримся о том, где размещать новые фабрики. Давайте проголосуем и выберем два города.

Тони: Не думаю, что голосование — лучший способ выбора. К то­му же Вилма не смогла приехать. Нам следовало бы учесть все эти факторы формальным образом.

Задания

1. Оцените избранную Тони стратегию поставок при двух дей­ствующих фабриках в предположении, что существующий объем поставок душевых кабин в магазины фирмы не мо­жет быть уменьшен. Обеспечивает ли она минимальные транспортные издержки?

2. Разработайте модель математического программирования, учитывающую все факторы, влияющие на принятие решения.

3. Проведите расчеты и определите наилучшие места для раз­мещения новых фабрик. Обоснуйте ваши выводы результа­тами расчетов.

Ситуация 5.

«Мечта автомобилиста».

Фирма «Мечта автомобилиста» изготовляет сменные стекла для всех типов российских автомобилей. Фирма разработала и внедри­ла сложную систему прогнозирования спроса, использующую дан­ные за последние годы для определения фактора сезонности и долгосрочных трендов. В таблице представлен агрегированный (для всех видов стекол) понедельный прогноз спроса на текущий год (в кг):

Фирма «Мечта автомобилиста» использует прогнозы спроса для планирования объемов производства. При составлении плана про­изводства фирма должна учесть издержки найма или увольнения рабочих, оплату сверхурочных, субподряда, издержки хранения готовой продукции.

Издержки хранения составляют 0,12 руб. за 1 кг в неделю. Со­гласно смете производственные издержки в настоящее время рав­ны 20 руб. за 1 кг в неделю. Сумма затрат на каждого нанимаемо­го рабочего, приходящаяся на 1 кг продукции, составляет 5,63 руб. (данные издержки рассчитываются на основе затрат на обучение и средней производительности труда одного рабочего). Сумма за­трат на каждого увольняемого, приходящаяся на 1 кг продукции, составляет 15,73 руб. (рассчитывается исходя из размера компен­сационных выплат при увольнении и с учетом уменьшения пре­стижа фирмы). При нормальном режиме работы (без сверхуроч­ных) фирма может производить до 1900 кг стекла в неделю. Кро­ме того, может быть произведено до 100 кг при использовании субподряда, и еще 250 кг стекла в неделю «Мечта автомобилиста» может произвести на своих мощностях сверхурочно. Издержки для стекла, производимого сверхурочно, на 8 руб. за 1 кг больше, чем для производимого в обычное время. Издержки производства по субподряду на 2 руб. за 1 кг больше, чем при производстве сверх­урочно (т.е. на 10 руб. за 1 кг выше, чем при производстве в обыч­ном режиме).

В настоящее время запасы стекла на складе составляют 73 кг. Производство работает на полную мощность, выпуская 1900 кг продукции в неделю.

Задание

Составьте агрегированный план производства для фирмы «Мечта автомобилиста» в целях минимизации совокупных из­держек. Примите во внимание различные предположения и ва­рианты реализации производственной политики и покажите, как эти различия отразятся на вариантах планов.

 

 

Рекомендации к Теме 3.(Ситуации 4, 5)

Цели

В данной главе рассматривается задача транспортировки продук­та, который в определенных количествах предлагается различны­ми производителями. Известны потребности нескольких потреби­телей в этом продукте. Требуется определить, от каких производи­телей и в каких объемах должны получать продукт потребители. Поставки должны осуществляться таким образом, чтобы совокуп­ные издержки на транспортировку продукта были минимальными.

После того как вы выполните задания, предлагаемые в этой гла­ве, вы будете уметь составлять и использовать для экономическо­го анализа:

• замкнутую и открытую транспортные задачи;

• транспортную задачу с запретами;

• транспортную задачу с фиксированными перевозками;

• транспортную задачу с ограничениями на пропускную спо­собность;

• транспортную задачу с фиксированными доплатами;

• транспортную таблицу.

Модели

Обозначения:

а_i — величина предложения продукта в пункте i (i = 1,..., n);

b_j — величина спроса на продукт в пункте j (j = 1,..., т);

c_ij — затраты на транспортировку единицы продукта из пункта i в пункт j;

x_ij — количество продукта, перевозимого из пункта i в пункт j.

Модель транспортной задачи:

Здесь (1) — целевая функция (минимум затрат на транспортиров­ку продукта);

(2) — ограничения по величине предложения в каждом пунк­те производства;

(3) — ограничения по величине спроса в каждом пункте по­требления;

(4) — условия неотрицательности объемов перевозок.

1. Замкнутая транспортная задача. Общее предложение равно общему спросу:

Это необходимое и достаточное условие существования допу­стимого плана задачи (1)—(4).

Открытая транспортная задача.

а) — излишек продукта

Способ сведения к замкнутой задаче. Пусть b_{m +1} — величина избытка продукции, т.е. - штраф за еди­ницу продукта, не реализованного в пункте i; у_i — количество про­дукта, не реализованного в пункте i.

Замкнутая транспортная задача имеет вид

б) — дефицит продукта.

Способ сведения к замкнутой задаче. Пусть а_{n +1} — величина дефицита продукции, т.е. - штраф за еди­ницу продукта, недопоставленного в пункт j; у_j — количество про­дукта, недопоставленного в пункту.

Замкнутая транспортная задача имеет вид

3. Транспортная задача с запретами. Пусть Е — множество пар индексов (ij), таких, что из пункта i в пункт j допускается транс­портировка продукта. Между любыми другими двумя пунктами транспортировка не допускается.

Пусть М— большое число, например

Тогда

В оптимальном плане { } транспортной задачи при ограничениях (2)—(4) x_ij = 0, если (i,j) Ï Е.

4. Транспортная задача с фиксированными перевозками. Если объем перевозок между пунктами i и j задан, то в задаче (1)—(4) вводится дополнительное ограничение: x_ij = v_ij, где v_ij — заданный объем перевозок.

5. Транспортная задача с ограничениями на пропускную способ­ность. Если объем перевозок из пункта i в пункт j ограничен ве­личиной w_ij, то в задаче (1)—(4) вводится дополнительное огра­ничение: x_ij £ w_ij.

6. Транспортная задача с фиксированными доплатами. Предпо­ложим, что в открытой транспортной задаче имеет место дефицит продукта и для его устранения в пунктах i = п + 1,..., k воз­можно создание новых мощностей d_i.

Пусть переменные z_i = 1, если в пункте i (i = п + 1,..., k) вво­дятся мощности d_i и z_i = 0, если в пункте i мощности не вводят­ся. Издержки на ввод мощностей d, в пункте i (i = n + 1,..., k) составляют и_i.

С учетом возможности создания новых мощностей транспорт­ная задача может быть записана в следующем виде:

Здесь (5) — целевая функция (минимум затрат на транспортиров­ку и ввод мощностей);

(6) — ограничения по величине предложения в каждом су­ществующем пункте производства;

(7) — ограничения по величине предложения в каждом но­вом пункте производства;

(8) — ограничения по величине спроса в каждом пункте по­требления;

(9) — условия неотрицательности объемов перевозок.

Помимо непрерывных переменных x_ij в модель включены бу­левы переменные z_i,. Задача (5)—(9) является задачей линейного программирования со «смешанными» переменными.

Все приведенные модели описывают транспортную задачу в виде задачи линейного программирования. В такой форме она может быть решена стандартными средствами линейного програм­мирования, например симплекс-методом.

Для решения транспортной задачи могут быть использованы также и менее трудоемкие (по объему вычислений) алгоритмы, например метод потенциалов.

Большинство специальных алгоритмов решения транспортной задачи использует исходную информацию в форме транспортной таблицы:

Оптимальный план перевозок имеет вид

Тема 4. Сетевой анализ проектов. Метод СРМ

Ситуация 6.

Программа «Здоровье жителей пригородной зоны».

Программа «Здоровье жителей пригородной зоны» создана бо­лее года назад как коммерческая корпорация. Эта корпорация должна стать основой организации здравоохранения открытого типа НМО. Цель НМО — обеспечить абонентов из пригородной зоны услугами медицинской помощи по полной предоплате.

В соответствии с законом США от 1973 г. работы по планиро­ванию и организации НМО обеспечиваются федеральными гран­тами. Организационные работы включают три обязательных эта­па: основание НМО (6 месяцев), планирование (12 месяцев) и начальное развитие (12 месяцев). Правительственные гранты вы­деляются на каждый этап и автоматически не продлеваются.

В соответствии с законом предусмотрено два типа НМО: за­крытый и открытый. НМО закрытого типа организуется на базе медицинского центра, обеспечивающего амбулаторное обслужи­вание. Как правило, врачи работают в НМО закрытого типа на постоянной основе и получают зарплату.

НМО открытого типа не имеет своего медицинского центра. В этом случае НМО заключает контракт с Независимой ассоци­ацией врачей IPA. Медицинское обслуживание осуществляется как на производстве, так и в домашних условиях. Обычно рабо­та по контракту с НМО открытого типа составляет лишь неболь­шую долю практики врачей из независимой ассоциации.

Для контроля издержек и выполнения налоговых обязательств новые НМО создают отдел маркетинга, который возглавляет ди­ректор по маркетингу. Задача этого отдела — привлечь новых або­нентов, как индивидуальных, так и коллективных. Причем не только домохозяев и персонал фирм, работающих в сфере действия НМО, но и предпринимателей.

Сотрудник любой фирмы может воспользоваться либо услуга­ми НМО, либо услугами альтернативной медицинской помощи, которую предоставляет наниматель. Поэтому для НМО важно за­ключить контракт с предпринимателем прежде, чем предлагать свои услуги персоналу фирмы.

Программа «Здоровье жителей пригородной зоны» ориентиро­вана на создание НМО открытого типа и поэтому предполагает сотрудничество с IPA. Услуги, связанные с госпитализацией, пре­доставляются по контракту с окружным госпиталем.

В текущем году федеральный грант предоставлен программе для выполнения работ по планированию. Грант действует 12 ме­сяцев. Этап начального развития, следующий за этапом планирования, также должен быть завершен за 12 месяцев. Таким обра­зом, работа НМО может начаться после завершения обоих этапов, общая продолжительность которых составляет два года. В насто­ящее время руководство программы готовит заявку на фант для выполнения работ на этапе начального развития.

Джон Томас, исполнительный директор программы, разраба­тывает перечень мероприятий, которые необходимо провести на этапе начального развития компании с тем, чтобы этот этап дей­ствительно мог быть завершен в 12-месячный срок. На предыду­щем этапе планирования деятельность Джона Томаса была связа­на в основном с организацией и координацией работы врачей. Пришлось приложить значительные усилия для создания IPA. На этапе планирования он использовал сети СРМ для координации работ и собирается вновь применить их на заключительном, тре­тьем этапе, который должен начаться через месяц.

Джон Томас убежден, что на этапе начального развития мож­но и нужно разрабатывать сети СРМ для анализа работ в облас­ти маркетинга и финансов. Однако, несмотря на то, что эти виды деятельности связаны друг с другом, он сомневается в том, что удастся провести их комплексный анализ. Поэтому он попросил директора по маркетингу Билла Харли и директора по финан­сам Джека Дункана независимо друг от друга разработать сети СРМ для контроля мероприятий в соответствующей сфере дея­тельности.

В следующей таблице описана сеть СРМ для мероприятий, выполненных IPA на этапе планирования:

Окончание таблицы

Определив критический путь для данной сети, Джон Томас пришел к выводу, что этап планирования действительно может быть завершен за год (52 недели). Он установил также, какие ра­боты могут быть отложены и на сколько без увеличения срока вы­полнения данного этапа проекта.

Джон Томас попросил директоров по маркетингу и финансам определить все работы, которые должны быть выполнены на эта­пе начального развития, оценить время, необходимое для их вы­полнения, и установить взаимозависимость этих работ.

Маркетинг. Билл Харли, директор по маркетингу, решил соста­вить список всех работ и затем представить их в виде сети. Пер­вая из намеченных работ — работа А — нанять и обучить новый персонал, занимающийся маркетингом. На выполнение этой ра­боты требуется 5 недель.

После завершения этой работы планируется провести одновре­менно четыре работы:

В — сформировать набор медицинского оборудования для пре­доставления медицинской помощи (3 недели);

С — организовать информирование местного населения и фор­мирование общественного мнения (10 недель);

D — связаться с предпринимателями в сфере действия НМО (6 недель);

Е — разработать рекламный проспект для предпринимателей (3 недели).

Работа F — разработка планов ежемесячной регистрации або­нентов (4 недели) — может быть начата после завершения работ В и D.

После того как будет разработан рекламный проспект для пред­принимателей, его необходимо распространить. На эту работу G нужно 4 недели.

После того как будет распространен рекламный проспект и разработаны планы ежемесячной регистрации абонентов, могут одновременно выполняться две работы:

Н — провести переговоры о заключении контрактов с предпри­нимателями на обслуживание персонала фирм (8 недель);

I — подготовить рекламные материалы для персонала фирм (6 недель).

После выполнения работы H могут быть заключены контрак­ты с предпринимателями (работа J, 6 недель). После выполнения работы I следует напечатать рекламные материалы для персонала фирм (работа К, 3 недели).

После того как заключены контракты с предпринимателями и напечатаны рекламные материалы для персонала фирм, можно начать работу L по привлечению индивидуальных абонентов. Эта работа может проводиться до конца второго этапа, но требует не менее 16 недель на выполнение.

Далее остается предусмотреть выполнение двух работ. Это орга­низация симпозиума НМО (работа М, 16 недель) и его проведение (работа N, 2 недели). Организация симпозиума не может начаться, пока не будет завершена работа С.

Финансы. Джек Дункан, финансовый директор программы, составил следующий перечень из 12 работ, которые должны быть выполнены на этапе начального развития:

Вы приглашены в качестве помощника Джона Томаса, испол­нительного директора, чтобы помочь рассчитать время выполне­ния комплекса работ по маркетингу и финансам на начальной стадии развития медицинского центра.

Задания

1. Нарисуйте сеть работ на этапе планирования. Определите критический путь и резерв времени для каждой работы. Ве­рен ли вывод Джона Томаса о том, что этап планирования можно выполнить за год?

2. Нарисуйте сеть работ по маркетингу. Рассчитайте крити­ческий путь для этой сети. Могут ли работы по маркетингу быть выполнены в течение года?

3. Нарисуйте сеть работ по финансам. Рассчитайте критичес­кий путь для этой сети. Могут ли работы по финансам быть выполнены в течение года?

4. После координационного совещания Томаса, Харли и Дун­кана выяснилось, что работы по маркетингу и финансам взаимосвязаны: работа D финансового отдела может прово­диться только после того, как завершена работа J отделом маркетинга. Определите критический путь для всех работ на этапе начального развития НМО. Верно ли утверждение, что весь комплекс работ может быть выполнен за год?

Рекомендации к Теме 4. (Ситуация 6)

Цели

В данной главе показаны возможности использования метода СРМ (Critical Path Method — метод критического пути) для конт­роля сроков выполнения проекта. Таким проектом может быть разработка нового продукта или производственного процесса, строительство предприятия, здания или сооружения, ремонт слож­ного оборудования и т.д.

При реализации проекта составляется график выполнения ра­бот. Для того чтобы проект был завершен вовремя, необходимо контролировать сроки выполнения этих работ. Усложняющим фактором является то, что работы взаимосвязаны. Одни работы зависят от выполнения других и не могут начаться, пока предшест­вующие работы не будут завершены.

Важной предпосылкой применения метода СРМ является пред­положение о том, что время выполнения каждой работы точно известно.

В результате использования метода СРМ удается получить от­веты на следующие вопросы:

1. За какое минимальное время можно выполнить проект?

2. В какое время должны начаться и закончиться отдельные работы?

3. Какие работы являются «критическими» и должны быть вы­полнены точно в установленное время, чтобы не был сорван срок выполнения проекта?

4. На какое время можно отложить срок выполнения «некри­тической» работы, чтобы она не повлияла на срок выполне­ния проекта в целом?

После того как вы выполните задания, предлагаемые в этой главе, вы будете уметь определять и использовать для экономи­ческого анализа:

• наиболее раннее и наиболее позднее время начала работы;

• наиболее раннее и наиболее позднее время окончания работы;

• критический путь;

• длину критического пути;

• запас времени на выполнение работы.

Модели

Исходным шагом для применения метода СРМ является опи­сание проекта в виде перечня выполняемых работ с указанием их взаимосвязи. Для описания проекта используются два основных способа: табличный и графический.

Рассмотрим следующую таблицу, описывающую проект:

В первом столбце указаны наименования всех работ проекта. Их четыре: А, В, С, D. Во втором столбце указаны работы, непо­средственно предшествующие данной. У работ А и В нет предшест­вующих. Работе С непосредственно предшествует работа В. Это означает, что работа С может быть начата только после того, как завершится работа В. Работе D непосредственно предшествуют две работы: А и С. Это означает, что работа D может быть начата толь­ко после того, как завершатся работы А и С. В третьем столбце таблицы для каждой работы указано время ее выполнения. На основе этой таблицы может быть построено графическое описа­ние проекта (рис. 1).

Рис. 1

На рис. 1 проект представлен в виде графа с вершинами 1,2, 3, 4 и дугами А, В, С, D. Каждая вершина графа отображает собы­тие. Событие 1 означает начало выполнения проекта. Иногда та­кое событие обозначают буквой s (start). Событие 4 означает за­вершение проекта. Для обозначения такого события иногда ис­пользуют букву f(finish). Любая работа проекта — это упорядочен­ная пара двух событии. Например, работа А есть упорядоченная пара событий (1, 3)(см. рис. 1). Работа D — упорядоченная пара событий (3,4). Событие проекта состоит в том, что завершены все работы, «входящие» в соответствующую вершину. Например, со­бытие 3 состоит в том, что завершены работы А и С.

Рассмотрим другой проект, представленный следующей табли­цей:

Графическое описание проекта, построенное по этой таблице, имеет вид, показанный на рис. 2.

Рис.2

В этом графическом описании проекта, кроме тех работ, ко­торые указаны в таблице, использованы две «фиктивные» работы (3, 4) и (5, 6). На рисунке они показаны штриховыми линиями. Эти работы не требуют времени на их выполнение и используют­ся в графическом представлении проекта лишь для того, чтобы правильно отобразить взаимосвязь между работами. Получив гра­фическое представление проекта, мы обеспечили себе возмож­ность провести расчеты методом СРМ.

Определения:

Путь — последовательность взаимосвязанных работ, ведущая из одной вершины проекта в другую вершину. Например, { A, D, G } и { В, С, Е, С } — два различных пути, ведущие из вершины 1 в вер­шину 7 (см. рис. 2).

Длина пути — суммарная продолжительность выполнения всех работ пути.

Критический путь — путь, суммарная продолжительность вы­полнения всех работ которого является наибольшей.

Ясно, что минимальное время, необходимое для выполнения любого проекта, равно длине критического пути. Именно на ра­боты, принадлежащие критическому пути, следует обращать осо­бое внимание. Если такая работа будет отложена на некоторое время, то и срок окончания проекта будет отложен на то же вре­мя. Если необходимо сократить время выполнения проекта, то в первую очередь нужно сократить время выполнения хотя бы од­ной работы на критическом пути.

Для того чтобы найти критический путь, достаточно перебрать все пути и выбрать тот или те из них, что имеют наибольшую сум­марную продолжительность выполнения работ. Однако для боль­ших проектов реализация такого подхода связана с вычислитель­ными трудностями. Метод СРМ позволяет получить критический путь намного проще.

Пусть i и j — вершины, или события, проекта, (i,j) — работа проекта, s — событие «начало проекта» (start), f — событие «окон­чание проекта» (finish), Т — длина критического пути.

Введем следующие обозначения:

t(i,j) — время выполнения работы (i, j);

ES(i,j) —наиболее раннее время начала работы (i,j);

EF(i,j) —наиболее раннее время окончания работы (i,j);

LS(i,j) —наиболее позднее время начала работы (i,j),

LF(i,j) — наиболее позднее время окончания работы (i,j),

E_i — наиболее раннее время наступления события i;

L_i — наиболее позднее время наступления события i;

R(i,j) — полный резерв времени на выполнение работы (i,j) (время, на которое может быть отложена работа (i,j) без увеличения продолжительности выполнения все­го проекта);

r(i,j) — свободный резерв времени на выполнение работы (i,j) (время, на которое может быть отложена работа (i,j) без увеличения наиболее раннего времени Е_i наступ­ления последующего события j).

Если (i,j) — работа проекта, то имеют место соотношения:

для любого j ES(i,j) = Е_i;

для любого i LF(i,j) = L_j.

Для того чтобы использовать метод СРМ для нахождения критического пути, необходимо для каждой работы (i,j) опреде­лить наиболее раннее время начала и окончания работы (ES(i,j) и EF(i,j)) и наиболее позднее время начала и окончания работы (LS(i,j) и LF(i,j)).

Метод СРМ описывается следующими соотношениями:

(1)

для любой работы (s,j), выходящей из стартовой вершины s про­екта;

(2)

т.е. наиболее раннее время окончания любой работы (i,j) превы­шает наиболее раннее время начала этой работы (время наступ­ления предшествующего события i) на время ее выполнения;

(3)

т.е. наиболее раннее время начала работы (q, j) равно наиболь­шему из значений наиболее раннего времени окончания непо­средственно предшествующих ей работ;

(4)

т.е. длина критического пути равна наиболее раннему времени завершения проекта;

(5)

т.е. наиболее позднее время окончания любой работы, заверша­ющей проект, равно длине критического пути;

(6)

т.е. наиболее позднее время начала любой работы меньше наибо­лее позднего времени окончания этой работы (времени наступле­ния последующего события) на время ее выполнения;

(7)

т.е. наиболее позднее время окончания работы (/, q) равно наи­меньшему из значений наиболее позднего времени начала непо­средственно следующих за ней работ;

(8)

т.е. полный резерв времени на выполнение любой работы равен разности между наиболее поздним и наиболее ранним временем ее начала или разности между наиболее поздним и наиболее ран­ним временем ее окончания;

(9)

т.е. свободный резерв времени на выполнение любой работы ра­вен разности между наиболее поздним временем наступления последующего события и наиболее ранним временем окончания работы.

Из приведенных выше определений и соотношений непосред­ственно вытекают следующие утверждения:

1. Длина критического пути равна Т.

2. Если R(i,j) = 0, то работа (i,j) лежит на критическом пути;

если R (i,j) > 0, то работа (i,j) не лежит на критическом пути.

3. Если время начала работы (i,j), не лежащей на критичес­ком пути, отложить на срок меньший, чем r(i,j), то наиболее ран­нее время наступления последующего события не изменится.

4. Если время начала работы (i,j), не лежащей на критичес­ком пути, отложить на срок меньший, чем R(i,j), то время, необ­ходимое на выполнение всего проекта, не увеличится.

Тема 5. Анализ затрат на реализацию проекта

Ситуация 7.

Компания «Космо».

В рамках подготовки старта космического корабля по програм­ме совместных исследований с Национальным бюро аэронавти­ки (НБА) США российская компания «Космо» готовит к подпи­санию проект модернизации ракетного стартового комплекса на космодроме Байконур. Этот контракт предусматривает строитель­ство центрального здания телеуправления (ЦЗТ). Финансирует проект американская сторона.

Первоначальный граф проекта строительства ЦЗТ приведен на рис. 3 (на схеме работы, лежащие на критическом пути, отмече­ны полужирной стрелкой).

Рис.3

Руководитель проекта менеджер компании «Космо» Владимир Алексеев определил время выполнения и сметные затраты для каждой работы проекта:

Оказалось, что критический путь для данного проекта состав­ляют работы A, D и G. При нормальном времени выполнения всех работ проект может быть реализован за 12 недель. Сметная сто­имость проекта в этом случае составляет 61 тыс. долл.

Заказчика работ предлагаемый компанией «Космо» срок не устраивает. Все работы необходимо завершить за 9 недель. При этом бюджет проекта не должен превысить 80 тыс. долл. Проведя дополнительные расчеты, Владимир Алексеев оценил минимальное время на выполнение каждой работы (в неделях) и затраты при минимальном времени выполнения (в тыс. долл.):

Используйте метод PERT/COST для анализа продолжительно­сти проекта и затрат на его реализацию.

Задания

1. Определите, можно ли выполнить проект за 9 недель. Если да, то с какими минимальными затратами? Сколько крити­ческих путей будет в этом случае и какие работы будут кри­тическими?

2. Определите, можно ли выполнить проект за 7 недель. Если да, то с какими минимальными затратами?

Ситуация 8.

Строительная компания Хоупа.

Строительная компания Хоупа активно занимается подготов­кой нового проекта строительства фабрики для корпорации SBPA. Пару лет назад президенту корпорации SBPA Эрику Кляйну по­нравился предварительный план проектирования и строительства фабрики, подготовленный Хоупом, и он решил отдать предпоч­тение его строительной компании.

Хоуп поручил начальнику проектного отдела Деврону Вильямсу провести сетевой анализ работ в рамках проекта с учетом пред­полагаемых издержек. Вильяме дал указание своим сотрудникам разделить проект строительства фабрики на отдельные работы и установить их взаимосвязь. Для каждой работы следовало опре­делить нормальное время ее выполнения и соответствующие за­траты. Требовалось также оценить минимальное время выполне­ния работы и соответствующие этому времени затраты.

Результаты, представленные сотрудниками отдела, приведены в таблице (время выполнения работ указано в неделях, затраты — в тыс. долл.):

Окончание таблицы

Результаты анализа взаимосвязи работ представлены Вильямсу в следующем докладе:

1. Начальная работа А — спроектировать фабрику.

2. После выполнения проектных изысканий следуют работы В — ­подготовить спецификацию машин и оборудования для строитель­ных работ, С — организовать бригаду строителей и D — закупить стандартные блоки заводских конструкций.

3. После завершения работ В и С строительной бригаде необ­ходимо выполнить работу Е — подготовить место для строитель­ства здания фабрики. В то же время, пока ведется подготовка ме­ста для строительства, можно приступить к работам F— закупке фабричного оборудования и G — строительству фундамента фаб­рики.

4. После подготовки места для строительства необходимо вы­полнить работу H — подготовить зону парковки.

5. Работу I — возведение здания фабрики — можно выполнить после того, как будут закуплены стандартные блоки заводских конструкций, подготовлено место для строительства, закуплено фабричное оборудование и построен фундамент фабрики.

6. После завершения строительства здания фабрики и подго­товки зоны парковки компания Хоупа может приступить к рабо­те J — проведению испытания всех систем. Затем проводится убор­ка (работа К) и фабрика передается корпорации SBPA.

Корпорация SBPA крайне заинтересована в том, чтобы строи­тельство фабрики было завершено как можно быстрее. По пред­ложению Эрика Кляйна в контракт включен пункт, предусматри­вающий премию в 25 тыс. долл. за каждую неделю сокращения срока выполнения проекта по сравнению с годом. В то же время контрактом предусмотрен штраф в 25 тыс. долл. за каждую неде­лю превышения срока выполнения проекта по сравнению с годом.

После подписания контракта Хоуп озабочен тем, чтобы завер­шить проект как можно раньше. По его указанию расчетный от­дел провел калькуляцию накладных расходов. Первый тип наклад­ных расходов — обычные накладные расходы в размере 22,5% от прямых затрат на выполнение работ. Накладные расходы второго типа зависят от продолжительности проекта в целом. Эти наклад­ные расходы увеличиваются на 1500 долл. каждую неделю. Напри­мер, сокращение продолжительности проекта на 10 недель озна­чает сокращение накладных расходов второго типа на 15 тыс. долл.

Прибыль строительной компании оценивается в размере 10% от стоимости контракта. В стоимость контракта включаются пря­мые затраты на выполнение работ, премиальные и штрафные санк­ции и накладные расходы двух типов.

Задания

1. Нарисуйте сетевой график проекта, найдите критический путь и общую стоимость контракта при нормальной продол­жительности работ.

2. Определите продолжительность выполнения проекта, при которой прибыль строительной компании оказывается мак­симальной. Сроки выполнения каких работ следует сокра­тить по сравнению с нормальными?

3. Ответьте на вопросы предыдущего пункта, если при опре­делении стоимости контракта не учитываются накладные расходы второго типа.

4. Определите, за какое минимальное время можно выполнить проект.

Рекомендации к Теме 5. (Ситуации 7, 8)

Цели

Предположим, что ожидаемое время выполнения проекта нас не устраивает и мы хотели бы его уменьшить. Сокращение вре­мени выполнения проекта, как правило, связано с использовани­ем дополнительных ресурсов, таких, как увеличение количества рабочих, организация работы в сверхурочное время. Следователь­но, при сокращении срока выполнения проекта увеличиваются затраты на его реализацию. В результате требуется искать комп­ромисс между сокращением времени выполнения той или иной работы и экономией дополнительных затрат на проект. Для рас­чета минимальных затрат, необходимых для сокращения време­ни реализации проекта, может быть использована модель линей­ного программирования.

Для планирования затрат, составления графика расходования средств и осуществления контроля за этим расходованием может быть использован метод анализа затрат PERT/COST. Конечная цель применения метода PERT/COST состоит в том, чтобы за­траты на реализуемый проект соответствовали принятой смете, Составление сметы расходов на реализацию проекта обычно пред­полагает выявление всех затрат на проект и дальнейшее их рас­пределение во времени. На этапах выполнения проекта фактичес­кие затраты можно сравнить с планируемыми (или сметными). Если фактические затраты превышают планируемые, можно предпринять необходимые действия, направленные на то, чтобы привести фактическую сумму затрат на проект в соответствие с планом.

Применение метода минимизации затрат и метода PERT/COST позволяет получить ответы на следующие вопросы:

1. При каких минимальных затратах можно уменьшить время выполнения проекта до заданной величины?

2. На сколько следует сократить продолжительность времени выполнения каждой работы проекта?

3. Соответствуют ли фактические затраты на выполнение про­екта сметным затратам?

4. Соответствуют