Метод интегрирования по частям. Интегрированием по частямназывается вычисление интеграла по формуле

Интегрированием по частям называется вычисление интеграла по формуле

где u и v – дифференцируемые функции от х.

Данная формула позволяет свести вычисление интеграла к вычислению . Ее применение целесообразно в тех случаях, когда последний интеграл либо проще исходного, либо ему подобен. При этом за u берется такая часть подынтегральной функции, которая при дифференцировании упрощается, а за dv – та часть подынтегрального выражения, интеграл от которой известен или может быть найден.

Так, например

1. Для интегралов вида

, , ,

где P(x) – многочлен, а - число, полагают u = P(x), а все остальные сомножители – dv.

2. В интегралах вида

, , ,

полагают Р(x)dx = dv, а остальные сомножители – u.

3. В интегралах вида

за u можно принять любую из функций e^axили sin bx (или cos bx).

Пример 13. Вычислить интеграл .

Решение. Положим u = x, dv = , тогда

du = dx, v = = , т. е. v = -cos x.

По формуле интегрирования по частям, имеем

Пример 14. Вычислить интеграл

Решение. Положим dv = x²dx, ln x = u, тогда

v = , du = и

Пример 15. Вычислить интеграл I= .

Решение. Пусть u = e^x, dv = sin x dx, тогда

du = e^xdx, v = .

Следовательно

I = -e^xcos x + .

Полученный интеграл проинтегрируем также по частям, положив u = e^x, dv = cos x dx, тогда du = e^xdx и v = и следовательно I = -e^xcos x + (е^xsin x - ) = -e^xcos x + e^xsin x - I.

Применив дважды операцию интегрирования по частям, мы в правой части получили исходный интеграл. Таким образом, приходим к уравнению с неизвестным интегралом I.

2I = -e^xcos x + e^xsin x,

I = .

Определенный интеграл

Определение определенного интеграла

Пусть функция f(x) определена на отрезке [a; b], a < b. Разобьем этот отрезок на n произвольных частей точками а = x₀< x₁< x₂< … < < x_i_-₁< x_i< … < x_n = b. В каждом элементарном отрезке [x_i_-₁; x_i] выберем произвольную точку x (x_i_-₁£ x £ x_i) и обозначим через Dx_i = x_i - x_i_-₁ длину каждого такого отрезка. Тогда сумма вида

называется интегральной суммой для функции f(x) на [a; b].

Обозначим через l длину наибольшего элементарного отрезка разбиения: l = mаx{Dx_i}.

Определение 1. Определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a; b] называется предел интегральной суммы при l®0, т.е.

= .

Здесь числа a и b называются нижним и верхним пределами интегрирования соответственно.

Для существования определенного интеграла от функции f(x) на отрезке [a; b], достаточно ее непрерывности на этом отрезке.

Определенный интеграл численно равен площади S криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x), осью абсцисс и прямыми x = a и x = b, т. е. S = . В этом заключается геометрический смысл определенного интеграла.