Трёхмерные модели социона и ТИМа

Общее положение дел

Данная первая поспешная редакция «Теории признаков Рейнина» предназначается не широкому кругу читателей, а лишь узкому кругу социоников для дальнейшей разработки теорий, корректировок, поправок, усовершенствования терминологии. Не исключено, что, например, некоторые свойства типа личности, которые я отнесла к какому-то одному признаку Рейнина, после проверки придется отнести к другому.

Аушра Аугустинавичюте, ПРИЗНАКИ РЕЙНИНА, 1986 г.

 

 

Прошу обратить внимание на слова Аушры Аугустинавичюте, вынесенные в эпиграф. Они показывают, что основательница соционики осознавала трудности теоретического оформления новой науки и рассчитывала на то, что её последователи будут активно корректировать и развивать сделанное ею, но многие последователи стали на путь догматизации её терминов и конструктов. Однако есть и другие, кто пытается усовершенствовать то, что сделала она, внедряя в соционику собственную неполноценную терминологию и недовведенные до уровня Истины схемы и понятия. Именно это обстоятельство вызывает сомнения в способности наиболее активных социоников справиться с теоретическим беспределом, который всё ещё царит в соционической тусовке.

Соционика получила широкое распространение на постсоветском пространстве и начинает пробиваться за его пределы. Всё новые и новые энтузиасты овладевают представлениями о 16 ТИМах и 16 отношениях (ИО) между ними и часто хотят «докопаться до самых глубин», чтобы понять, откуда же эти ТИМы взялись и почему смысл ИО именно такой, как об этом пишется во многих книжках. А ещё многие хотят понять, почему в разных соционических книжках об одном и том же пишется по-разному, почему одно и то же называется разными словами. В разных городах собираются соционические тусовки, в разных центрах и просто отдельными знатоками соционики ведётся обучение, проводятся семинары, чтения и конференции, на которых соционики предлагают своё видение сомнительных для них вопросов и рассказывают о своих разработках, новых оценках давно известного в соционике и новых идеях. Чувствуется, что соционика овладевает все новыми и новыми умами, и люди стараются докопаться до самых глубин, иногда лишь интуитивно понимая, что бы это могло значить. Тем не менее, все еще много идей, сообщений и докладов, основанных на поверхностных впечатлениях, по типу «мне так кажется». Большинство выступающих и пишущих часто не просто умные, а очень умные люди, но нередко оказывается – это следует из анализа их работ – что многие из них либо вообще не имеют представления о методологии научного исследования, либо эти представления очень «специфические» – как результат стихийно достигнутого уровня при отсутствии академической доводки, но с характерными признаками поражения такими информационными вирусами, как релятивизм, скептицизм, негативизм и даже агностицизм. Поэтому их идеи и разработки иначе, чем интуитивными придумками трудно назвать. Так что можно говорить о методологическом кризисе и теоретическом беспределе в соционике.

Пора осознать, что только аргументированный разговор между социониками способен сдвинуть затянувшийся методологический кризис с мертвой точки. А без этого нет никаких шансов, что соционика из множества, а их к 2015 году набралось более семи десятков (!), самодельных технологий по продаже знания о 16 ТИМах и 16 ИО превратится в науку.

Не приходится сомневаться в том, что соционическое ядро, созданное Аушрой Аугустинавичюте обладает научным потенциалом, но для того, чтобы соционика стала полноценной наукой нужны особые усилия.

Желательно давать методологическую оценку и анализ большинства докладов, статей и книг по соционике. Конечно, это не должно быть цензурой, а книги и статьи могут публиковаться без изменений, но обязательно с дискуссионными приложениями, чтобы все заинтересованные лица могли познакомиться с альтернативной точкой зрения.

 

Оценка отношений

Возьмем, к примеру, одну из последних книг Е.С.Филатовой, автора нескольких совсем неплохих первоначально-ознакомительных книг по соционике. В своих первых книгах она почти без искажений транслировала Аушру Аугустинавичюте, и это делало их почти безупречными. В своей более поздней книге «Супружество в системе соционики» Филатова вводит ряд понятий, которые можно отнести к теоретическим разработкам, а это уже требует пристального внимания.

Пожалуй, ключевым теоретическим конструктом этой книги является упорядоченный ряд соционических отношений с точки зрения психологической совместимости партнеров. Этот ряд выглядит у Филатовой следующим образом – см. таблицу 1.

 

Табл. СС.01.

ДУ

АК

ПД

МИ

ЗЕ

ДЕ

КВ

ТЖ

ЗК

СЭ

ПП

РД

КФ

КН

-5

-7

-10

-12

-14

-16

 

В таблице представлены 14 отношений, как это было у Аушры Аугустинавичюте, что также является спорным, так как уже строго доказано (см. Улыбка Чеширского Кота, глава 12 «ДВА ПОДХОДА К ФОРМАЛЬНОМУ ОПИСАНИЮ СОЦИОНИЧЕСКИХ ОТНОШЕНИЙ»), что отношений всё-таки шестнадцать – правда, некоторые соционические практики принимают это как само собой разумеющееся – без доказательств и ссылок. Возможно, у Филатовой имелась собственная точка зрения на количество отношений, но, конечно, это нуждается в пояснениях. Здесь важен теоретический ответ на вопрос о том, тождественны ли состояния партнеров в несимметричных отношениях ЗК-ПЗ (заказа-подзаказа) и КН-ПК (контроля-подконтроля). Если такие состояния тождественны, то «склейка» соответствующих отношений в обобщенных оценках может быть оправдана, а если нет – то таблица 1 является ошибочной. Филатова приписала отношениям вес, выраженный числом, которое, наверное, должно указывать на степень комфортности или совместимости партнеров в каждом из отношений. Вряд ли такой ряд можно считать чем-то само собой разумеющимся, а потому он нуждается не только в пояснениях, но и в доказательном теоретическом обосновании. Такая работа автором не проделана, а, следовательно, достоверность этого ряда остается на уровне субъективной интуитивной уверенности автора. Еще 10-15 лет назад такой конструкт можно было отнести к этапу поисков, но сейчас растущему соционическому сообществу уже недостаточно интуитивных импровизаций, но необходимо аргументированное доказательство и обоснование.

Многие соционики давно уже убедились в том, что отношение дуальности (ДУ) вовсе не является воплощением комфорта – его конкретные характеристики в каждой дуальной паре могут колебаться в широких пределах, что касается и всех других отношений. Дело в том, что соционическое отношение указывает лишь на тип отношения, поскольку речь идёт о типологии, а характеры отношений могут быть также разнообразны, как и характеры носителей соционических типов, но со своими критериями совместимости. Большинство социоников откровенно этого не понимают, видимо, считая, что в соционической типологии речь идёт не о психологических абстракциях, а её понятия относятся непосредственно к бытовому уровню. Это, конечно, свидетельствует о недопустимо низком теоретическом уровне части социоников.

В настоящее время предложен другой теоретически обоснованный ряд, который значительно отличается от ряда Филатовой. Однако рассмотрим такое обоснование несколько в более широком контексте. Для этого вспомним замечательную работу Е.Шепетько, выполненную им еще в 1991 году и посвященную упорядочиванию отношений по признаку комфортности. Он использовал при этом то, что он назвал методом простой классификации. Шепетько вводит четыре категории, с помощью которых он семантизирует все отношения: взаимопонимание, взаимопомощь, конфликт и управление. Эти категории Шепетько использует в двух смыслах – как основной признак и как оттенок. Результат его работы представлен в таблице СС.02.

 

Табл. СС.02
Шепетько	помощь	понимание	управление	конфликт
помощь	ДУ-Дю-12	АК-Гю-13	ПД-Гб-42	МИ-Ес-24
понимание	ЗЕ-Ро-14	ТЖ-Ки-11	ДЕ-Жу-23	РД-Ге-41
конфликт	ПК-Го-22	КН-До-44	ПП-Ба-34	КФ-Др-32
управление	КВ-Ло-31	ПЗ-Гм-21	ЗК-Шт-43	СЭ-На-33

 

Здесь для удобства анализа в каждой клетке, кроме символа отношения, поставлено обозначение соответствующего этому отношению ТИМа, а цифры обозначают номер квадры и номер ТИМа в квадре. Так ДУ-Дю-12 означает: ДУАЛЬНОСТЬ – Дюма – Первая квадра – Второй ТИМ – это поможет обнаруживать закономерности в такого рода таблицах.

В левом столбце таблицы даны основные признаки, а в верхней строке помещены оттенки. Поскольку Шепетько не даёт строгих определений выделенных им категорий, то можно лишь интуитивно догадываться о том, как он увязывает свои категории со смыслом отношения. Как-то, не очень строго, можно согласиться с тем, что основным смыслом тождества (ТЖ) является понимание, основным смыслом активации (АК) и дуальности (ДУ) является помощь, а основным смыслом контроля (КН), подконтроля (ПК) и конфликта (КФ) является конфликт. Несколько сложнее связать заказ (ЗК) и подзаказ (ПЗ), а тем более квазитождество (КВ) с управлением.

Однако сохраним предложенные Шепетько соответствия в качестве гипотезы.

А как же понимать «оттенок»? Например, что значит ТЖ=<понимание><понимание>, то есть, что основным смыслом тождества является понимание, и оно же является его дополнительным оттенком? Ну, например, как усиленное понимание, углубленное понимание. А что такое конфликт с оттенком управления? Допустим, что это управление с помощью конфликта. Конечно, такое можно представить, но имеет ли это отношение к соционике?

Всмотримся теперь в таблицу СС.02. Из чисто формальных соображений, выглядит подозрительным то, что в строках и столбцах нарушен баланс экстраверсии и интроверсии. Так в каждом столбце эти категории представлены не равномерно. Например, в столбце «понимание» находятся три экстраверсии и одна интроверсия. В то же время, в первых двух строках тоже присутствует соотношение 3:1, а в двух нижних – 4:0. Вытекают ли такие соотношения из свойств соционических объектов – это нигде не показано. Попробуем «улучшить» качества таблицы 2 из того эвристического соображения, что в комбинаторно-аналитическом множестве, выстроенном по известным правилам, симметрия будет ведущей особенностью. Конечно, при этом нужно учитывать, что, с точки зрения математики, существует большое количество разнообразных симметрий, а не лишь зеркальные и центральные.

 

 

Прежде всего, выровняем баланс экстраверсии и интроверсии в столбцах и строках и устраним слишком явные несоответствия, вроде того, что МИ=<помощь><конфликт>, то есть миражные отношения представляют собой семантическую суперпозицию помощи и конфликта и т. п., что, конечно, неверно – и это доказано (см. УЧК, глава 12 «ДВА ПОДХОДА К ФОРМАЛЬНОМУ ОПИСАНИЮ СОЦИОНИЧЕСКИХ ОТНОШЕНИЙ»). После формальной правки получим соотношение как в таблице 3, где из формальных соображений понимание поставлено в начало таблицы.

 

 

Табл. СС.03
1-я коррекция	понимание	помощь	конфликт	управление
понимание	ТЖ-Ки-11	СЭ-На-33	РД-Ге-41	ДЕ-Жу-23
помощь	МИ-Ес-24	ДУ-Дю-12	ПП-Ба-34	ПД-Гб-42
конфликт	ПК-Го-22	ЗЕ-Ро-14	КФ-Др-32	КН-До-44
управление	ПЗ-Гм-21	АК-Гю-13	КВ-Ло-31	ЗК-Шт-43

 

Теперь проведем еще одну коррекцию – семантическую. Сравним в первой строке положение суперэго (СЭ) и деловых (ДЕ) отношений. Из того, что уже известно в соционике об отношениях, нетрудно сопоставить ДЕ с помощью, а СЭ – с управлением. Отметим также, что в новой таблице две нижние строки оказались связанными отношением дуальности: Го/Гм, Ро/Гю... Аналогичные рассуждения, примененные к парам отношений в двух верхних строках, приводят к соотношениям, представленным в таблице 4.

 

Табл. СС.04
2-я коррекция	понимание	помощь	конфликт	управление
понимание	ТЖ-Ки-11	ДЕ-Жу-23	РД-Ге-41	СЭ-На-33
помощь	ДУ-Дю-12	МИ-Ес-24	ПД-Гб-42	ПП-Ба-34
конфликт	ПК-Го-22	ЗЕ-Ро-14	КФ-Др-32	КН-До-44
управление	ПЗ-Гм-21	АК-Гю-13	КВ-Ло-31	ЗК-Шт-43

 

Формально эта таблица смотрится «лучше», но если мы это принимаем, то нам придется пересмотреть оценку отношений категориями Шепетько. Возможно, здесь кому-то будет трудно интуитивно принять, что ДУ надо переставить в положение <помощь><понимание>, а МИ – в положение <помощь><помощь>, тем более, что в таблице Шепетько МИ характеризуется как <помощь><конфликт>. Соображения Шепетько можно понять, учитывая, что он ПП характеризует как <конфликт><управление>, то есть считает отношение противоположности крайне напряженным. Похоже, что это впечатление идет не из практики, а из другого понимания ПП Аушрой как погашения. Однако, похоже, что это результат недоразумения. По своему структурному типу ПП входит в группу пассивной синергии (ПС) вместе с ДУ, ПД и МИ. Другое дело, что комфортность в этой группе уменьшается в порядке ДУ-ПД-МИ-ПП. Мы видим, что ПП стоит в конце этой группы, тем не менее, это достаточно комфортное отношение, в котором к программам партнера относятся терпимо и находят у него поддержку. Поэтому ПП нужно понимать не как «полное погашение», что неверно, а как «полярную подстройку». Оценка ДУ как <помощь><понимание> также не должна вызывать особого напряжения, и это даже сильнее, чем просто <помощь><помощь>, то есть помощь без понимания. Скорее, помощь без понимания можно было бы приписать именно МИ. Если же мы обратим внимание на такую формальную особенность таблицы 4, как «дуальность» двух верхних и двух нижних строк, то трудно будет возразить против приведенной оценки ДУ. Здесь мы видим, что формальная оптимизация исходной таблицы Шепетько (Женя, привет!) приводит и к некоторому семантическому улучшению категорий Шепетько.

И все же трудно до конца принять адекватность экспликации отношений при помощи семантических единиц, предложенных Шепетько. Например, трудно принять, что КВ = <управление><конфликт>. Вроде бы, у Шепетько это выглядело лучше: КВ = <управление><помощь>, но все это опирается на интуитивные впечатления. Недостатком семантических единиц, предложенных Шепетько, является также то, что их множество трудно считать полным и элементарным – просто для этого нет никаких оснований. Поэтому попробуем обратиться к структурным особенностям отношений.

Исходя из того, что отношения типов определяются контактами функций, все отношения можно разделить по структурным особенностям этих контактов. Например, в отношении ДУ функции ментального кольца взаимодействуют с функциями витального, предположительной особенностью которого ведь считается именно то, что оно принимает программы ментального кольца к исполнению, что можно понимать, как базовую совместимость. В частности, это означает, что программы, продуцируемые ментальным кольцом, воспринимаются функциями витального кольца как ресурс, а, значит, позитивно. Отсюда обобщенная позитивная оценка такого отношения. Напротив, в отношении КФ функции взаимодействуют внутри одного кольца. Это можно понять так, что функции одного кольца, вступая в контакт, начинают противопоставлять связанные с ними программы, конкурируют между собой. Рассмотрев с этой точки зрения все отношения, их можно разделить на четыре группы, как в таблице 5.

Табл. СС.05
Группа отношений	Семантическая характеристика
АК, ЗК, ПЗ, КВ	Активная синэргия (АС)
ДУ, ПД, МИ, ПП	Пассивная синэргия (ПС)
ТЖ, РД, ДЕ, СЭ	Пассивный антагонизм (ПА)
ЗЕ, КН, ПК, КФ	Активный антагонизм (АА)

 

В каждой группе комфортность отношения убывает от начала к концу. Учитывая сказанное, перепишем таблицу СС.01 в таблицу СС.06.

 

Табл. СС.06

ДУ

АК

ПД

МИ

ЗЕ

ДЕ

КВ

ТЖ

ЗК

СЭ

ПП

РД

КФ

КН

-5

-7

-10

-12

-14

-16

-2

-4

-6

-8

-10

-12

-14

-16

-18

АК

ЗК

ПЗ

КВ

ДУ

ПД

МИ

ПП

ТЖ

РД

ДЕ

СЭ

ЗЕ

КН

ПК

КФ

 

Первые две строки соответствуют таблице СС.01.

В третьей строке написаны условные величины применительно к оценкам в таблице 1, но отнесенные к уточненному порядку отношений, а в пятой – условные оценки в баллах, где 1 соответствует минимальной степени комфортности. Эти баллы соответствуют представлениям о равномерной постепенности уменьшения комфортности от максимума 16 до минимума 1. Однако теоретически возможны и другие схемы изменения этого параметра. Для того, чтобы оценить такие схемы, необходимы строгие экспериментальные исследования. Сравнение двух различных подходов к оценке комфортности отношений показывает, насколько могут отличаться такие оценки в зависимости от методологических инструментов, используемых их авторами. Понятно, что когда делаются далеко идущие выводы из слабо обоснованных оценок, как это имеет место в книге Филатовой, то нет никаких оснований доверять таким выводам.

Трёхмерные модели социона и ТИМа

Их не очень много, но они есть. Самой первой такой моделью является полутактный кубика Аушры Аугустинавичюте (рис. СС.01).

 

Рис. СС.01. Полутактный кубик Аушры – ПКА	Рис. СС.02.1. ПКЧ с буквенными обозначениями Чурюмова (киррилица)	Рис. СС.02.2. Полутактный кубик Чурюмова – ПКЧ с символами Аушры

У Г.Р.Рейнина в книге СОЦИОНИКА тоже есть аналогичная конструкция, которую автор называет «соционический кубик» (Рис. СС.03).

 

Рис. СС.03.1. Развёртка «соционического кубика Рейнина» (СКР).
	Нетрудно видеть, что СКР является эстетическим вариантом ПКА.   Я впервые начал использовать ПКЧ по аналогии с тем, что Аушра Аугустинавичюте изобразила в своей знаменитой работе ПРИЗНАКИ РЕЙНИНА (см. Рис. СС.01) сразу после проработки этого текста в конце 1986 года, когда он мне впервые попал в руки. Однако с присущей мне невнимательностью, я считал, что моё изображение тождественно тому, что давала Аушра, чему я и не придавал особенного значения, и лишь значительно позже осознал имеющееся различие: для Аушры ПКА был моделью социона, а не ТИМа, как у меня.
Рис. СС.03.2. Общий вид СКР

 

Табл. СС.07
Квадры
1-я	Ки	Дю	Гю	Ро
2-я	Го	Гм	Ес	Жу
3-я	На	Ба	Ло	Др
4-я	До	Шт	Гб	Ге

Она писала: «Каждая диада живёт от одного энергетического потока, следовательно, признаки, совпадающие в диаде, являются одновременно признаками этого потока». И, в самом деле, на ПКА мы видим, что дуалы, например, Ки (Ил) и Дю (сЭ) связаны с одной гранью. Если же символы ИА прочитать в обратном порядке, то получим Гю (Эс) и Ро (лИ), то есть ещё одну дуальную пару из той же квадры. Очевидно, что Аушра Аугустинавичюте при конструировании своего кубика сознательно ставила задачу добиться «квадровой выразительности» вертикальных граней: 4 последовательных грани – 4 последовательных квадры. Кстати, если последовательно, по одному и тому же правилу, прочитать порядок ТИМов в квадрах, то он получится следующим (табл. СС.07). Обратите внимание на порядок ТИМов в квадрах – существует ли канонический – строго доказанный порядок квадр и ТИМов в квадрах? Да, он соответствует ТОСУС – теореме о строгой упорядоченности социона. С точки зрения ТОСУС, это неверный порядок, а это значит, что ПКА не оптимизирован по этому критерию.

Конечно, здесь возникает проблема – граней у куба шесть, а квадр – четыре, какое же тут должно быть соответствие? Дело в том, что в ПКА квадры размещаются на боковых гранях, при этом вертикальные рёбра не имеют привязки к типам, как это нетрудно видеть на изображениях.

Полутактный кубик Чурюмова (ПКЧ) (Рис. СС.02), казалось бы, совсем незначительно отличается от ПКА – собственно, тем, что в нём на концах вертикальных рёбер располагаются одноимённые, но разновертные функции, и именно поэтому он в точности соответствует двумерной модели.

Оба кубика могут служить моделью социона, поскольку на восьми гранях верхнего и нижнего основания располагаются радикалы всех 16 ТИМов, но, в то же время, в отличие от ПКА, ПКЧ является полноценной моделью любого из 16 ТИМов, в зависимости от того, какое из горизонтальных рёбер будет рассматриваться в качестве блока ЭГО.

Чтобы разобраться с этим, обозначим грани так: ПГ (передняя грань), ЗГ (задняя грань), ЛГ (левая грань), РГ (пРавая грань), ВГ (верхняя грань), НГ (нижняя грань). Итак, на ПКА ПГ соответствует 1-й квадре, РГ – 2-й, ЗГ – 3-й, ЛГ– 4-й. Что же касается верхней и нижней грани, то они квадрам не соответствуют, но какие-то ТИМы за ними закреплены.

ПКЧ является трёхмерной моделью «А». Здесь верхняя грань соответствует ментальному кольцу, а нижняя – витальному. Однако на ПКЧ ИЛЭ (Ки) можно не только обнаружить радикалы – блоки ЭГО – всех остальных ТИМов, но ПКЧ может быть с помощью геометрических операторов преобразована в модель любого другого ТИМа, что можно сопоставить с возможностью квантовых переходов энергетических комплексов, являющихся носителями психических структур. Такая гипотеза всё ещё не признаётся официальной психологией, но именно такая гипотеза способна устранить многочисленные противоречия, накопившиеся в психологии, считающей себя наукой, но не способной дать ответы на фундаментальные вопросы о сущности психики и сознания.

На ПКЧ ТИМы тоже привязаны к горизонтальным рёбрам, но квадры располагаются на четырёх диагональных плоскостях, не соединяющих вертикальные рёбра.

Покажем, как используя операторы геометрических преобразований, можно получить трёхмерные модели всех остальных ТИМов. Модель «А» Ки выводится дедуктивно из АЧЮ – аксиоматики Чурюмова-Юнга.

А все остальные модели получаются из неё в результате квантования, описываемой частью группы симметрий куба, куда входят вращения вокруг вертикальных осей и отражения от фронтальной и горизонтальной плоскостей. Можно использовать и другие преобразования, но указанных вполне достаточно, и важно, что они элементарны. Можно было бы также использовать группу симметрий вертикальной призмы с квадратным основанием, тогда не понадобилось бы вводить ограничения на симметрии куба, однако введение ограничений имеет свой собственный смысл. Итак:

 

 

Последовательные вращения вокруг вертикальной оси на 900, проходящей через центр ПКЧ, в данном случае, по ЧС (часовой стрелке) порождает кольцо контроля во главе с Ки, то есть, Ки-Го-На-До. Если бы мы вращали ПКЧ против ЧС, то получили бы то же самое кольцо, но в обратном порядке.

Если мы полученное множество ПКЧ отразим от фронтальной плоскости, проходящей через вертикальные оси, то получим кольцо контроля во главе с Др, то есть, Др-Ге-Ро-Жу. Конечно, можно было бы получить это же множество ТИМов вращением модели ЭСИ.

3) Отражение от горизонтальной плоскости, проходящей через центры ПКЧ и вращение по ЧС даёт кольцо контроля во главе с Ба, то есть, Ба-Шт-Дю-Гм., но, конечно, можно получить то же самое и вращением против ЧС:

Последнюю четвёрку можно получить разными способами. Например, отражением третьей конфигурации от фронтальной плоскости, проходящей через центры ПКЧ. Тогда получим кольцо контроля во главе с Гю, то есть, Гю-Ес-Ло-Гб. Но можно получить первую модель в этой четвёрке, и последовательно вращать его по ЧС для получения всех остальных.

5)

Ограничение: Запрещены вращения вокруг горизонтальных осей, разрушающих структуру модели «А». Но могли быть использованы также отражения от вертикальных диагональных плоскостей кубов. Поскольку таких плоскостей две, то и результатом будут два разных ТИМа. Нетрудно видеть, что отражая, например, ЭСЭ от диагональной плоскости исСИ, мы бы получили Гм, а отражение от плоскости ЭЛлэ дало бы Шт. Однако эти отражения представляют собой суперпозиции одного из отражений от одной из трёх координатных плоскостей с дальнейшим поворотом на 900. Комбинируя три базовых преобразования, можно получить и более сложный оператор, преобразующий, например, ЭСЭ в СЛЭ, для чего нужно сделать пространственный поворот нижнего правого ребра Сл в верхнее переднее ребро Эс.

Теперь можно сформулировать теорему: модель «3Д-А» любого ТИМа может быть получена из модели Ки с помощью трёх преобразований: вращения вокруг вертикальной оси, проходящей через центр ПКЧ, отражения от фронтальной плоскости, проходящей через вертикальные оси, и отражения от горизонтальной плоскости, проходящей через центры ПКЧ, используя одно, два или все три преобразования. К этим трём можно добавить и отражение от вертикальных диагональных плоскостей, что обеспечивает некоторую избыточность инструментария, хотя эти два преобразования сводятся к комбинации трёх названых.

Для доказательства достаточно проследить последовательность преобразований. Например, чтобы получить Ки → Гб, нужно два раза повернуть Ки в любую сторону и отразить от горизонтальной плоскости. Два поворота вокруг вертикальной оси на 900 равносильно отражению от вертикальной дигональной плоскости.