Методические указания к выполнению расчетно-графической работы

Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности

1. По данной выборке построить эмпирическое распределение в виде последовательности равноотстоящих вариант и соответствующих им частот, для чего:

а) упорядочить выборку по возрастанию, найти ;

б) весь интервал, в который попали опытные данные, разбить на r частичных интервалов одинаковой длины. Для определения длин частичных интервалов рекомендуется формула

. (8)

За длину частичного интервала принимается некоторое удобное число, ближайшее к полученному значению Границы интервалов выбираются так, чтобы результаты измерений не совпали с границами интервалов. Начало первого интервала сдвинуть влево от значения (например, взять - 0,5);

в) для каждого частичного интервала найти - сумму частот вариант и считать, что сосредоточено в середине i-го интервала, т.е. взять .

2. Построить гистограмму частот.

3. Найти выборочную среднюю и выборочное среднее квадратическое отклонение S по формулам:

(9)

 

 

4. Найти теоретические частоты , попавшие в i - ый интервал, по формуле (3);.

5. Вычислить наблюдаемое значение критерия по формуле (1);

6. По таблице - распределения при уровне значимости =0,05 и числе степеней свободы k найти критическое значение (приложение 5).

7. Сравнить два значения и . Если , то нулевая гипотеза не отвергается, т.е. в этом случае отклонения от предполагаемого теоретического закона считаются незначительными. Если > , то нулевая гипотеза отвергается.

Пример 1 Контролировался диаметр у 150 цапф передней оси, изготовленных на токарном станке. В результате были получены следующие значения положительных отклонений в микронах (мк) от номинального размера 20 мк:

Проверить согласие нормального закона распределения с опытными данными по критерию Пирсона при уровне значимости .

 

Решение

1.Случайную величину (отклонения от номинального размера) обозначим

Из выборки приведённого примера находим: .

Вычисляем: .

Возьмём длину частичного интервала 3мк. Левый конец первого интервала возьмём 24,5мк. Из данной выборки найдём число опытных данных, попавших в каждый частичный интервал.

Полученные данные сведём в таблицу 1.

 

Таблица 1

i			№
	24,5 - 27,5			39,5 - 42,5
	27,5 - 30,5			42,5 - 45,5
	30,5 - 33,5			45,5 - 48,5
	33,5 - 36,5			48,5 - 51,5
	36,5 - 39,5			51,5 - 54,5

 

2. Для каждого частичного интервала найдем :

Вычислим значения и S по формулам (9); расчеты поместим в таблицу 2.

 

Таблица 2

i
	24,5-27,5
	27,5-30,5
	30,5-33,5
	33,5-36,5
	36,5-39,5
	39,5-42,5
	42,5-45,5
	45,5-48,5
	48,5-51,5
	51,5-54,5
∑

 

Находим: .

 

 

3. Построим гистограмму частот (рис.4)

 

Рис.4

 

По виду гистограммы (рис.4) можно предположить, что исследуемый признак подчиняются нормальному закону распределения.

4. Найдем теоретические частоты по формуле (3) при n=150, =40,4, S=5,8:

.

В первом интервале левый конец изменим на , а в последнем интервале - правый конец на . Таким образом, первый интервал будет , а последний . Значения функции находятся из таблицы (приложение 7). При этом нужно учесть, что , и для >5 значение =0,5.

Приведем пример расчета значения :

и так далее.

Расчёты для нахождения критерия приведёны в таблице 3.

 

Таблица 3

i
	27,5 27,5 30,5					0,39
	30,5 33,5			0,36
	33,5 36,5		20,2	0,39
	36,5 39,5		27,8	2,8
	39,5 42,5		30,6	1,21
	42,5 45,5		24,4	2,45
	45,5 48,5		15,4	1,49
	48,5 51,5 51,5						0,00
∑				=3,26

 

5. Число интервалов с учетом объединения частот равно 8. Проверку гипотезы о нормальном распределении проводим при уровне значимости = 0,05 и числе степеней свободы, равном Из таблицы (приложение 5) находим

В нашем примере , т.е. .

Следовательно, опытные данные согласуются с нормальным законом распределения. На гистограмму наложим теоретическую кривую, полученную в соответствии с нормальным законом распределения.

6. Для построения нормальной кривой по опытным данным находим ординаты (выравнивающие частоты) по формуле

Значения функции находим в таблице приложения 6.

Вычислим выравнивающие частоты для нашего примера. Имеем

 

Результаты вычислений поместим в таблицу 4.

Таблица 4

i
			-2,48	0,02	1,6
			-1,96	0,05	3,9
			-1,45	0,14	10,8
			-0,94	0,26	20,2
			-0,41	0,37	28,7
			0,10	0,39	30,3
			0,62	0,33	25,6
			1,14	0,21	16,3
			1,66	0,09	7,0
			2,17	0,04	3,1

 

 

В прямоугольной системе координат строим точки и соединяем их плавной кривой (рис.5). Близость выравнивающих частот к наблюдаемым подтверждает правильность допущения о том, что исследуемый признак распределен нормально.

 

 

 

Рис.5

Пример 2

Эмпирическое распределение выборки объема n=100 приведено в таблице 5.

Используя критерий Пирсона, при уровне значимости 0.05 проверить, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности Х c эмпирическим распределением выборки.

Таблица 5

i			i
	3 - 8			23 -28
	8 - 13			28 -33
	13 - 18			33 -38
	18 - 23

 

Решение

1. Построим гистограмму(рис.6)

 

Рис.6

2. Для каждого частичного интервала найдем :

Вычислим значения и S по формулам (9); расчеты поместим в таблицу 6.

Таблица 6

i
	3 - 8	5,5		30,25		181,5
	8 -13	10,5		110,25
	13 -18	15,5		240,25	232,5	3603,75
	18 -23	20,5		420,25
	23 -28	25,5		650,25
	28 -33	30,5		777,25
	33 -38	35,5		1260,25	248,5	8821,75
∑

 

Находим: .

 

3. По виду гистограммы (рис.6) можно предположить, что исследуемый признак подчиняются нормальному закону распределения.

Найдем теоретические частоты по формуле (3) при n=100; =20,7; S=7,31:

.

Расчёты для нахождения критерия приведёны в таблице 7.

Таблица 7

i
	- 8		4,09	0,89
	8 - 13		10,60	0,64
	13 - 18		20,88	1,66
	18 - 23		26,60	6,75
	23 - 28		21,96	1,62
	28 - 33		11,22	0,92
	33 -		4,65	1,19
∑				=13,67

4. Число интервалов равно 7. Проверку гипотезы о нормальном распределении проводим при уровне значимости = 0,05 и числе степеней свободы, равном Из таблицы (приложение 5) находим .

В нашем примере , т.е. > . Следовательно, опытные данные не согласуются с нормальным законом распределения и гипотеза о нормальном распределении отвергается.

 

2.3.2 Проверка гипотезы о показательном распределении генеральной совокупности.

Задано эмпирическое распределение непрерывной случайной величины X в виде последовательности интервалов () и соответствующих им частот , причем (объем выборки). Требуется, используя критерий Пирсона, проверить гипотезу о том, что случайная величина X имеет показательное распределение.

Для того чтобы при уровне значимости α проверить гипотезу о том, что непрерывная случайная величина распределена по показательному закону, надо:

1. Найти по заданному эмпирическому распределению выборочную среднюю , приняв в качестве «представителя» i-го интервала его середину .

2. Принять в качестве оценки параметра λ показательного распределения величину, обратную выборочной средней: .

4. Вычислить теоретические частоты по формуле (5).

5. Сравнить эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона, приняв число степеней свободы , где – число интервалов выборки c учетом объединения малочисленных частот.

Пример 3. В результате испытания 200 элементов на длительность работы в часах получено эмпирическое распределение, приведенное в таблице 8. Во второй строке таблицы указаны интервалы времени в часах, в третьей – частоты, т.е. количество элементов, проработавших время в пределах соответствующего интервала.

Таблица 8

i
	0-5	5-10	10-15	15-20	20-25	25-30

Решение.

1. Построим гистограмму частот (рис.7).

Рис. 7

Предполагаемое распределение – показательное.

2. Найдем среднее время работы для всех элементов (в качестве среднего времени работы одного элемента примем середину интервала, которому принадлежит элемент):

3. Найдем оценку параметра предполагаемого показательного распределения:

Таким образом, плотность предполагаемого показательного распределения имеет вид .

4. Найдем вероятности попадания случайной величины X в каждый из интервалов по формуле :

5. Найдем теоретические частоты по формуле (5): _, где - вероятность попадания случайной величины X в i-ый интервал. Получаем:

6. Сравним эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона. Составим расчетную таблицу 9. Для упрощения вычислений объединим интервалы 4, 5, и 6 малочисленных частот в один интервал, получим интервал (15;30).

Объединим также малочисленные частоты (4+2+1=7) и соответствующие им теоретические частоты (6,30+2,32+0,84=9,46).

Таблица 9

		126,42	6,58	43,2964	0,3425
		46,52	-1,52	2,3104	0,0497
		17,10	-2,10	4,4100	0,2579
		9,46	-2,46	6,0516	0,6397
Σ

 

Из таблицы критических точек распределения χ², по уровню значимости α=0,05 и числу степеней свободы находим =6,0.

Так как < , то нет оснований отвергнуть гипотезу о распределении X по показательному закону. Другими словами, данные наблюдений согласуются с этой гипотезой.