Регресійні моделі з однією змінною

Ці моделі встановлюють лінійну функціональну залежність відгуку у лише від однієї незалежної змінної (одного аргументу) х у вигляді:

(3.1)

де а₀ - початкове значення у при х = 0; а₁ - Dу/Dх- коефіцієнт впливу варіацій х на варіації у, який частіше називається коефіцієнтом парної лінійної регресії.

Відмітимо, що розрахункові значення у за тих же самих значень х_і, де х_і - експериментально отримані значення незалежної змінної, тобто функція , частіше не співпадають з експериментально отриманими значеннями у_і(x_і) при тих же значеннях х_і. Але можна обрати такі значення а₀ та а₁, щоб задовольнити умови МНК, що були викладені в попередньому розділі:

(3.2)

Для забезпечення цієї умови, очевидно, необхідно забезпечити виконання наступних двох умов:

та (3.3)

Виконаємо ці умови:

що дає наступні дві умови для визначення а₀ та а₁:

або у розгорнутій формі:

Вирішення цієї системи рівнянь відносно а₀ та а₁ дає наступні вирази для розрахунку оптимальних значень коефіцієнтів моделі:

(3.4)

Таким чином, знаючи експериментально отриману множину величин х_і (iÎN) та у_і (iÎN), можна розрахувати за допомогою (3.4) чисельні значення параметрів лінійної кореляційної моделі о₀та а₁, що забезпечать мінімальну дисперсію похибки моделі , викликану неврахованими факторами, що також збурюють систему.

Потрібно не забувати, що отримана таким чином модель (3.1) забезпечує мінімум лише в області значень х_min≤х≤х_max. Поза цим інтервалом (тобто при екстраполяції моделі поза даним інтервалом), досить можливо, що мінімум не буде забезпечений в області значень х_i, що екстраполюється.

Якщо помножити в першому рівнянні системи (3.4) значення а₁ на (-1) і розділити в цьому виразі чисельник і знаменник на N, то можна отримати іншу форму запису системи рівнянь (3.4), більш зручну для практичних розрахунків:

 

(3.5)

де - середні значення по у_і (і= ) та х_і (і= ).

 

При використанні формули (3.5) експериментальні дані х_і, та у_і можуть бути зведені до таблиці 3.1 по якій розраховуються проміжні величини, що входять до формули (3.5)

Таблиця 3.1

Данні для розрахунку коефіцієнтів лінійної регресії

уі

хі

хі2

хіуі

У1 У2 ... уN

х1 х2 … хN

x12 х22 … хN2

x1у1 х2у2 … хNуN

…

…

Всього

Syi

Sxi

Sxi2

Sxiyi

Середнє

 

Після заповнення першої та другої колонок експериментально отриманими даними х_і та у_і проводять розрахунки значень двох наступних колонок. Потім сумують отримані значення по кожній колонці в рядку «Всього», після чого розраховують середні значення шляхом ділення відповідних сум на число експериментальних значень. Отримані дані використовуємо в (3.5) для розрахунку значень а₀ та а₁.

Після розрахунку значень а₀ та а₁ визначають значення з використанням формули (3.1) для значень х_і таблиці 3.1. Отримані значення заносяться в таблицю 3.1 (5-й стовпчик). Потім розраховуються значення квадратів відхилень від у_і для кожного рядка таблиці 3.1, отримані значення додаються в рядок "Всього". Після ділення отриманої суми на N на перетині 6-го стовпчика і рядка "Всього" отримаємо значення мінімально можливої дисперсії похибки моделі лінійної регресії, що найбільш точно описує взаємозв'язок експериментальних даних у_і та хі (і = ).

Ступінь впливу незалежного фактору х, що є застосованим в моделі, на зміну у оцінюється при цьому коефіцієнтом детермінації за формулою (2.18), де:

(3. 6)

є загальною дисперсією фактору у. Значення ж залишкової дисперсій D_е визначається як це було показано в таблиці 3.1.

Величина коефіцієнту кореляції R при цьому може бути визначено за допомогою (2.19). Відмітимо, що для лінійної регресії значення R характеризує, поряд зі ступенем зв'язку у та х, також близькість залежності у(х) до лінійної форми (3.1). Вважається, що при |R|≥0,7 лінійна форма є досить адекватною для оцінки форми зв'язку.

Разом з коефіцієнтом кореляції R, який характеризує близькість до лінійної залежності, у лінійних моделях, як і в загальному випадку, застосовується також коефіцієнт детермінації k_D = R², який показує, яку частку до варіацій змінної у вносить незалежний аргумент моделі х.

Наприклад, при R =0,8; k_D = 0,64, що означає, що 64% змінності у викликано впливом х та інші 36% викликані іншими незалежними факторами, не врахованими в моделі. і

Відмітимо також можливість розрахунку коефіцієнту кореляції R безпосередньо по отриманим експериментальним даним у_і та х_і (i = ). Це буває необхідним, якщо не ставиться задача визначення саме значень коефіцієнтів моделі а₀ та а₁, а лише перевіряється гіпотеза про лінійності зв'язку у та х. В цьому випадку величина R розраховується безпосередньо по експериментальним даним у_і та х_і за допомогою формули:

(3. 7)

 

Серед чисельних комп'ютерних програм ЕОМ, призначених для вивчення парної лінійної регресії, можна рекомендувати програму, що працює у середовищі "MATHCAD-2000, і яку наведено нижче.