Параметры цепи. Идеализированные пассивные элементы

Для количественного описания процессов, происходящих в цепях, введены в рассмотрение величины, называемые параметрами цепи. Первый из них - сопротивление (участка цепи, резистора,...). Это пассивный элемент цепи, в котором электромагнитная энергия не запасается, а только необратимо преобразуется в какой-либо другой вид энергии. Подобный элемент практически неосуществим и может рассматриваться лишь как абстрактная модель некоторого реального объекта. Рассматриваемый идеализированный участок цепи называется сопротивлением и условно изображается графическим обозначением и символом R. Несмотря на то, что ток I - скалярная величина, в теории цепей ему условно приписывают направление, которое выбирается произвольно, считается положительным и обозначается стрелкой на изображении проводника. В качестве направления тока считают направление движения либо положительных, либо отрицательных зарядов (электронов). Если мгновенное значение тока i(t) положительно, это означает, что его направление совпадает с принятым за положительное. Если же i < 0, то направление тока в этот момент обратно принятому за положительное.

Хотя напряжение u - скалярная величина, ему также произвольно приписывают условно положительное направление и отмечают его стрелкой. Как правило направления напряжения и тока считают совпадающими. При этом условии и если в качестве направления тока взято направление движения положительных зарядов, положительным будет напряжение, направленное от более высокого потенциала (+) к более низкому (-). Из сказанного следует, что вместо стрелки можно на чертеже указывать полярность (+, -). В те моменты, когда u > 0, напряжение направлено от (+) к (-). Если выбранные направления тока и напряжения совпадают, то согласно закону Ома, установленному экспериментально:

i = u/R = ug (1.2)

Здесь R - параметр участка цепи, называемый так же, как и сам элемент, сопротивлением и измеряемый в Омах; g = 1/R - проводимость, измеряемая в сименсах (сим). Сопротивление проводника длиной l, м и площадью поперечного сечения S, м² определяется:

R = r l /s, (1.3)

где r - удельное сопротивление материала проводника, Ом×м.

Cопротивление проводника определяется его геометрической конфигурацией и свойствами материала, из которого он изготовлен. Мгновенная мощность, выделяемая на сопротивлении, равна:

p = i²R = u²/R. (1.4)

Мощность равна скорости изменения энергии. В данном случае pвыражает мгновенную скорость расходования энергии в сопротивлении; она в любой момент времени положительна. Это означает, что в любой момент энергия поступает из источника в сопротивление и здесь преобразуется в другой вид энергии. Реальный элемент, приближающийся по своим свойствам к сопротивлению, называется резистором.

Параметром, количественно характеризующим запасаемую в цепи магнитную энергию, является индуктивность. Участок цепи, представляющий собой виток, охватывающий площадь S, через который проходит ток i, пронизывает магнитный поток:

, (1.5)

равный потоку вектора магнитной индукции В = m Н через площадь S. Магнитный поток измеряется в Веберах, а магнитная индукция - в Тесла. Абсолютная магнитная проницаемость среды m = m₀m_r, [Гн/м], где m₀ = 4p×10^-7 Гн/м - магнитная постоянная; m_r - относительная магнитная проницаемость.

Индуктивностью витка называется отношение магнитного потока к току: L = Ф/i. То есть индуктивность представляет собой магнитный поток, отнесенный к единице связанного с ним тока. Если магнитный поток измерен в Веберах, а ток в Амперах, индуктивность выражается в Генри (Гн).

В тех случаях, когда стремятся получить возможно большую индуктивность, проводник сворачивают в катушку. Если катушка содержит w одинаковых витков, то полный магнитный поток и индуктивность увеличиваются в w раз: L = wmSH/i. Индуктивность зависит от геометрической конфигурации участка цепи и от свойств окружающей среды.

Идеализированный элемент цепи, не обладающий сопротивлением (т. е. свободный от расходования энергии), в котором может запасаться энергия магнитного поля, но которому не свойственно накапливать электрическую энергию, называется (так же как параметр, определяющий связь между током i и магнитным полем Ф) индуктивностью.

Когда ток, протекающий через индуктивность, изменяется во времени (di/dt ¹ 0), в ней индуктируется э.д.с. самоиндукции е_L. Если для i и е_L выбраны одинаковые положительные направления и если L не зависит ни от времени t, ни от тока i, то, в соответствии с законом электромагнитной индукции:

. (1.6)

Увеличению тока соответствует отрицательная (направленная навстречу ему) индуктированная э.д.с., т. е. направление ее обратно принятому за положительное. Напряжением (или падением напряжения) на индуктивности называют величину u_L = -e_L = L(di/dt). Имеется в виду, что положительные направления i и u_L совпадают.

Энергию, запасенную в магнитном поле индуктивности, определяют:

. (1.7)

Мгновенная мощность имеет смысл скорости изменения запасенной в магнитном поле энергии: p_L = dW_L/dt = u_Li = Li(di/dt).

Физическим элементом, свойства которого приближаются к индуктивности, является катушка индуктивности, представляющая собой в простейшем случае спираль из проводника, намотанную на диэлектрическом каркасе той или иной конфигурации. При конструировании катушки индуктивности принимаются меры к тому, чтобы неизбежные потери энергии в ней были ничтожно малы, а связанное с катушкой электрическое поле возможно меньше влияло на происходящие в ней процессы.

Параметром цепи, определяющим энергию, запасаемую в электрическом поле, является ёмкость. Если к двум электродам подведено напряжение и, на них накапливаются равные по величине разноименные заряды ±q и в окружающем пространстве создается электрическое поле. Согласно теореме Гаусса-Остроградского электрический поток Ф_Е = q. Емкость обычно определяют как С = q/и. Если заряд измерен в Кулонах, а напряжение в Вольтах, емкость выражается в Фарадах.

Идеализированный участок цепи не обладающий сопротивлением (свободный от расходования энергии), в котором может запасаться энергия электрического поля, но которому не свойственно накапливать магнитную энергию, называется ёмкостью (так же как и параметр, определяющий связь между напряжением и и электрическим потоком ФЕ).

Приняв для тока i и напряжения на емкости u_c одинаковые направления и учитывая, что q = Си_c, и полагая, что емкость не зависит ни от времени, ни от напряжения и_c, имеем:

. (1.8)

Определим энергию W_c, запасаемую в электрическом поле емкости. Полагая, что С от напряжения не зависит, получим:

. (1.9)

Мгновенная мощность р_с имеет в данном случае смысл скорости изменения запасенной в электрическом поле энергии:

. (1.10)

В зависимости от знака скорости изменения напряжения мощность р_с может быть либо положительной, либо отрицательной. Величина р_с > 0 в те моменты времени, когда энергия поступает из источника в электрическое поле и емкость заряжается. Наоборот, р_с < 0, когда энергия возвращается из электрического поля в источник и происходит разряд емкости.

Конденсатор является деталью цепи, приближенной моделью, которой может служить емкость. При практическом осуществлении конденсатора принимаются специальные меры к тому, чтобы сопротивление и индуктивность его были пренебрежимо малы.

1.1.3 Идеализированные активные элементы цепи

Всякая электрическая цепь содержит хотя бы один активный элемент - генератор, являющийся преобразователем какого-либо вида энергии (тепловой, механической и т.п.) в электромагнитную энергию колебаний определенной формы. Условное изображение генератора приведено на рисунке 1.1 а.

Рисунок 1.1 - Активные элементы цепей

Важнейшим параметром генератора является электродвижущая сила (ЭДС). Постоянная эдс е = Е равна работе сил стороннего поля при переносе единицы электричества вдоль заданного пути: Е = A_c/q, где A_c - работа сил стороннего поля при перемещении заряда q. ЭДС генератора, обусловленная энергией стороннего поля, равна напряжению u_ХХ на его разомкнутых зажимах (в режиме холостого хода): е = и_ХХ. В общем случае е является функцией времени. Хотя ЭДС скалярная величина, ей, как и напряжению, условно приписывается направление, принимаемое совпадающим, как правило, с направлением тока.

Идеализированным источником напряжения, или генератором ЭДС, называется воображаемый источник энергии, напряжение на зажимах которого не зависит от тока, через него проходящего. Условное изображение генератора ЭДС показано на рисунке 1.1 б. При любом токе напряжение u_г остается таким же как при холостом ходе, т. е. равным е. Считая, что направление ЭДС е совпадает с направлением тока (движением положительных зарядов), то ЭДС направлена от более низкого потенциала (-) к более высокому; под действием сторонних сил положительный заряд перемещается внутри источника от (-) к (+). Напряжение и _г, наоборот, направлено от зажима (+) к зажиму (-).

Генератор ЭДС обладает бесконечно большой мощностью: при неограниченном возрастании тока мощность р _г = еi ® ¥. Поэтому идеализированный источник напряжения не может быть реализован физически.

Идеализированным источником тока, или генератором тока, называется фиктивный источник энергии, ток через который не зависит от напряжения на его зажимах. На рисунке 1.1 в приведено условное изображение генератора тока. Ток генератора i_г остается неизменным при любом и, в частности при и = 0, т. е. при коротком замыкании зажимов генератора. Отсюда следует, что i_u = i_кз - току короткого замыкания. Генератор тока не может быть осуществлен практически, так как он обладает неограниченной мощностью: при бесконечном возрастании напряжения ток источника по определению остается неизменным и значит р _г = ui_г ® ¥.

Реальные источники электромагнитной энергии по своим свойствам отличаются от генераторов ЭДС и генераторов тока.