Свойства координат вектора.

Лекция 7. Координаты вектора и их свойства.

На данном занятии будут рассмотрены такие важные понятия:

 

ü Координаты вектора и их свойства.

Определение. Прямоугольной декартовой системой координат в пространстве называется три взаимно перпендикулярные числовые оси , и с общей точкой отсчета и одной и той же единицей масштаба.

 

Ось направлена в ту сторону, откуда кратчайший поворот от оси к оси виден против часовой стрелки, такая ориентация осей называется правой.

 

Выделим на координатных осях , и единичные векторы-орты соответственно. Эти векторы попарно перпендикулярны и их длины равны 1, т.е. и . Упорядоченная тройка векторов называется еще пространственным базисом.

 

Выберем произвольный вектор и начало его совместим с точкой . Проведем через конец вектора плоскости, параллельные координатным плоскостям. Точки пересечения этих плоскостей с осями координат обозначим соответственно и . Получим прямоугольный параллелепипед, одной из диагоналей которого является вектор .

 

По определению суммы нескольких векторов находим . Так как , и , то , и .

 

Обозначим , и , таким образом:

 

.

Формула является основной в векторном исчислении и называется разложением вектора по базису , а коэффициенты и в этом разложении называются координатами вектора в базисе .

 

Векторное равенство часто записывают в виде или .

 

Зная координаты вектора , можно легко найти его модуль. Так как для прямоугольного параллелепипеда справедливо равенство и так как , и , то , отсюда

,

 

т.е. модуль вектора равен арифметическому квадратному корню из суммы квадратов его координат.

 

Свойства координат вектора.

 

1. Если и , то , т.е. при сложении (вычитании) векторов их соответствующие координаты складываются (вычитаются).

 

2. Если то , т.е. при умножении вектора на число его координаты умножаются на это число.

 

3. Два вектора и равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты, т.е. , и .

Сокращенно, это можно записать так:

 

4. Два ненулевых вектора и коллинеарны тогда и только тогда, когда пропорциональны их соответствующие координаты, т.е. .

Сокращенно, это можно записать так: для и : .

Причем, если какая-то координата вектора равна нулю, то для выполнения пропорции необходимо, чтобы соответствующая координата вектора тоже равнялась нулю.

 

Для любой точки пространства вектор называется радиус-вектором точки . Координатами точки в пространстве называются координаты ее соответствующего радиус-вектора, т.е. если , то и .

 

Если даны две точки и , то, так как , имеем:

 

,

 

т.е. координаты вектора равны разностям соответствующих координат его точек конца и начала.

Так как расстояние между двумя точками и равно длине вектора , т.е. , и так как , а , то получим:

 

,

 

т.е. расстояние между двумя точками в пространстве равно арифметическому квадратному корню из суммы квадратов разностей соответствующих координат этих точек.

Контрольные вопросы:

 

1. Что называется прямоугольной декартовой системой координат?

2. Что называется координатами вектора?

3. Как модуль вектора выражается через его координаты?

4. Что называется радиус-вектором точки?

5. Чему равны координаты вектора через координаты его точек начала и конца?

6. Чему равно расстояние между двумя точками в пространстве?