Проецирующая плоскость и прямая.

ЛЕКЦИЯ 3

ПЛОСКОСТЬ

Положение плоскости в пространстве можно определить:

1. Тремя точками, не лежащими на одной прямой;

2. Прямой и точкой вне ее;

3. Двумя пересекающимися прямыми;

4. Двумя параллельными прямыми (рис.1).


(А₁В₁С₁)	(a₁ С)	(m ∩ n)	δ (b ║ с)
Рис. 1.

Рис. 2.

Плоскость может быть задана также отсеками плоской фигуры (рис.2).

Возможны следующие положения плоскости относительно плоскостей проекций:

1.Плоскость, не перпендикулярная ни одной из плоскостей проекций, называется плоскостью общего положения (рис.1 и 2).

2. Частные положения плоскости:

а) Плоскость, перпендикулярная к горизонтальной плоскости проекций , называется горизонтально-проецирующей (рис.3). Горизонтальная проекция такой плоскости представляет собой прямую, являющуюся следом этой плоскости = ∩ угол , который образуется между плоскостью и , проецируется на плоскость без искажения.

Горизонтальные проекции всех точек и любых фигур, лежащих в горизонтально-проецирующей плоскости, совпадают со следом этой плоскости α₁= (АВС)∩ (рис. 3).


Рис. 3.

б) Плоскость, перпендикулярная к фронтальной плоскости проекций , называется фронтально-проецирующей плоскостью, изображается следом плоскости, полученной от пересечения заданной плоскости (АВС) с фронтальной плоскостью проекций . = (АВС)∩ .


Рис. 4.

Фронтальные проекции всех точек и фигур, лежащих в этой плоскости, совпадают с ее фронтальным следом. Угол φ между плоскостью и проецируется без искажения, т.е.φ₂ ≡ φ (рис. 4.).

Плоскость, перпендикулярная к профильной плоскости проекций называется профильно-проецирующей плоскостью.

Частный случай, когда профильно-проецирующая плоскость проходит через ось ОХ и делит пополам угол между плоскостями и - плоскость симметрии (рис.5).


Рис.5

Основные свойства проецирующих плоскостей состоят в том, что все геометрические образы, лежащие в них, на одной из плоскостей проекций изображаются прямой, совпадающей со следом плоскости, т.е. с линией пересечения проецирующей плоскости с соответствующей плоскостью проекций.

Плоскости, перпендикулярные к двум плоскостям проекций, называется плоскостями уровня. Плоскость δ и . Фронтальная и профильная проекция такой плоскости – горизонтальные прямые. Любая фигура, расположенная в плоскости δ₂ на горизонтальную плоскость проекций проецируется без искажения.

а) Плоскость δ, параллельная горизонтальной плоскости проекций , называется горизонтальной плоскостью (рис.6). Изображается следом плоскости, полученным от пересечения плоскости δ с плоскостью проекций : δ₂= δ . АВС δ; А₂В₂С₂δ₂; А₁В₁С₁=АВС.


Рис.6.

б) Плоскость , параллельная плоскости , называется фронтальной (рис.7). ₁= . АВС ; А₁В₁С₁ ₁; А₂В₂С₂=АВС.


Рис.7.

Любая фигура, расположенная в этой плоскости, проецируется на без искажений.

Все геометрические образы, расположенные в плоскостях, параллельных плоскостям проекций, проецируются на эти плоскости проекций без искажения.

3.2. ПРЯМАЯ И ТОЧКА В ПЛОСКОСТИ

1. Прямая принадлежит плоскости, если она имеет с этой плоскостью две общие точки (рис.8).

2. Прямая принадлежит плоскости, если она имеет с плоскостью одну общую точку и параллельна прямой, лежащей в этой плоскости (рис.9).


Рис.8.	Рис.9
с (а ║ b); [12] c (а ║ b)	С (АВС); С d; С₁ d₁; С₂ d₂; d ║[AB]; d ₁║[A₁B₁]; d ₂║[A₂B₂].

Построение точки в плоскости производится, исходя из условия, что она должна находиться на прямой, лежащей в этой плоскости. Т.о. задача на построение точки в плоскости сводится к задаче на построение прямой в этой плоскости (рис.10). Чтобы построить горизонтальную проекцию точки М, принадлежащей плоскости (а b), нужно провести прямую ℓ (а b); [12] ℓ; [1₂2₂] ℓ₂; [1₁2₁] ℓ₁; М₂ ℓ₂; М₁ ℓ₁.

Рис.10

3.3. ГЛАВНЫЕ ЛИНИИ ПЛОСКОСТИ

Главными линиями плоскости называются прямые, лежащие в данной плоскости и параллельные плоскостям проекций , или . Линии плоскости, параллельные называются горизонталями плоскости; линии плоскости, параллельные – фронталями плоскости; линии плоскости, параллельные – профильными прямыми (рис.11).

Линии наибольшего ската – прямые, проведенные по плоскости перпендикулярно к горизонталям (рис.12).

Линия наибольшего ската и ее горизонтальная проекция образуют линейный угол, которым измеряется двугранный угол, составленный плоскостью (f ∩ h) и плоскостью проекций .

С помощью главных линий плоскости оказывается удобным решать вопросы о взаимном расположении точки и плоскости (рис.13). Дана плоскость (f ∩ h) и точка А. Нужно определить принадлежит ли точка А плоскости. Для этого через точку А проводим горизонталь. Горизонтальная проекция точки А вне горизонтали, значит точка А не лежит в плоскости.


Рис.11	Рис.12а

Рис. 12б	Рис. 13

ПРОЕЦИРУЮЩАЯ ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ.

Прямая относительно плоскости вообще и проецирующей в частности может занимать следующие положения:

а) прямая лежит в проецирующей плоскости

Прямая, лежащая в проецирующей плоскости, имеет одну свою проекцию на соответствующем следе плоскости (рис.14). [A₂B₂] ; [A₂B₂] .


Рис.14	Рис.15

Вторая проекция прямой располагается в зависимости от положения прямой в проецирующей плоскости.

б) прямая, параллельная проецирующей плоскости, имеет одну из своих проекций параллельной соответствующему следу этой плоскости (рис.15). [A₁B₁]║ .


Рис.16	Рис.17

в) прямая, пересекающаяся с проецирующей плоскостью, имеет одну свою проекцию пересекающейся со следом плоскости и точка их пересечения есть проекция точки пересечения прямой с этой плоскостью (рис.16). а ∩ = К; а₁ ∩ = К₁.

Точка К есть точка пересечения прямой с плоскостью. Как точка прямой ее проекция должна располагаться на одноименных проекциях прямой, как точка проецирующей плоскости, она должна иметь одну проекцию на следе плоскости.

Прямая, пересекающаяся с проецирующей плоскостью и перпендикулярная к ней, всегда параллельна той плоскости, к которой проецирующая плоскость перпендикулярна.