Матричная запись и решение систем линейных алгебраических уравнений.

Действия над матрицами.

Пусть даны две матрицы и одинаковых размеров .

Матрицы А и В называются равными (А = В), если их размеры одинаковы и соответствующие элементы равны: (при всех i, j).

Матрицы одинаковых размеров можно складывать и вычитать. Для этого надо сложить (вычесть) их соответствующие элементы.

Пример: .

Из определения вытекают следующие свойства сложения:

А + В = В + А

(А + В) + С = А + (В + С)

Умножение матрицы на число. Чтобы умножить матрицу на число, нужно каждый элемент матрицы умножить на число: :

.

Пример: - матрица, но - определитель.

Если А и В – матрицы одного размера, то из определения вытекают очевидные свойства:

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей.

.

Очевидно, что А + О = А.

г) Умножение матриц. Пусть имеется строка и столбец с одинаковым числом элементов:

«Скалярным произведением» строки на столбец называется число, равное сумме произведений элементов с одинаковыми номерами.

Произведение матрицы на матрицу определяется лишь при условии, что размеры их согласованы: число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.

Пусть матрица А имеет размеры , а матрица В – размеры , т.е. длина строки матрицы А равна высоте столбца матрицы В.

Произведением матрицы А на матрицу В называется матрица , элементы которой находятся по формуле:

или

(«Скалярное произведение» i^й строки матрицы А на j^й столбец матрицы В).

С = АВ

Пример 1.

Число строк произведения равно числу строк у первого множителя, а число столбцов - числу столбцов второго.

(В данном примере матрица ВА не существует!).

Пример 2. ; .

В общем случае переместительный закон для матриц не выполняется. Во-первых, произведение ВА может не существовать. Во-вторых, если существуют АВ и ВА, то они могут быть не равны. В некоторых случаях может оказаться, что АВ = ВА. Такие матрицы называются перестановочными (коммутативными).

Перестановочные матрицы существуют, например, единичная матрица порядка n:

перестановочна с любой квадратной матрицей того же порядка:

; , т.е. AI = IA = A.

 

Свойства умножения матриц.

 

1.

2. (АВ)С = А(ВС) – сочетательный закон умножения.

Доказательство *:

3. (А + В)С = АС + ВС – распределительный закон

4.

Для квадратных матриц:

1.

2. det(AB) = detA·detB

Проверим это на примере: , .

; det(AB) = -12; detA = 6; detB = -2; det(AB) = detA·detB = -12.

Транспонированные матрицы.

 

Транспонировать матрицу А – значит записать новую матрицу А^Т, столбцы которой совпадают с соответствующими строками матрицы А. Очевидно, что при этом матрица А будет транспонированной к матрице А^Т. Отметим свойства:

1. |A| = |A^T|

2. (А + В)^Т = А^Т + В^Т

3.(АВ)^Т = В^ТА^Т (без доказательства)

 

Обратная матрица.

Пусть А – квадратная матрица порядка n: .

Если , то матрица А называется невырожденной. Если , то матрица А вырождена.

Матрица В называется обратной к матрице А, если АВ = ВА = I (I – единичная матрица), (по аналогии с обратной величиной в алгебре). Обозначается А^-1. Т.к. матрицы А и А^-1 перестановочны, то они д.б. квадратными матрицами одного порядка.

Теорема: Для того, чтобы квадратная матрица А имела обратную матрицу необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной ().

1. Необходимость. Дано: , т.е. АА^-1 = А^-1А = I. Доказать: .

Вычислим и , т.е .

Вырожденная матрица обратной не имеет.

2. Достаточность. Дано: . Покажем, что существует матрица А^-1 такая, что АА^-1 = А^-1А =I, причем, например, для матрицы третьего порядка:

,

где A_ij – алгебраические дополнения элементов a_ij определителя Д матрицы А. Проверим, например, соотношение АА^-1 = I:

Свойства обращения матриц: *

1. (АВ)^-1 = В^-1А^-1

2. |А^-1| = |А|^-1 – смотри необходимость

3. (лА)^-1 = л^-1А^-1: (лА)(л^-1А^-1) = I

Пример: , ;

А₁₁ = 4; А₂₁ = -8; А₃₁ = 4 || A₁₂ = -7; A₂₂ = 9; A₃₂ = -5 || A₁₃ = -6; A₂₃ = 10; A₃₃ = -6.

или

 

Матричная запись и решение систем линейных алгебраических уравнений.

 

Пусть дана система трех уравнений: (1).

Рассмотрим матрицы: , , . Систему (1) можно представить теперь в виде равенства двух столбцевых матриц: или

АХ = В (2) – матричная запись системы (1).

Если , то существует обратная матрица А-1 и можно записать решение системы в матричной форме: умножим слева обе части (2) на А-1 и используем сочетательное свойство умножения:

А^-1(АХ) = А^-1В (А^-1А)Х = А^-1В ЕХ = А^-1В или

Х = А^-1В.

Если подробно записать эту формулу, то получим правило Крамера.

Пример 1. , ,

АХ = В, Х = А-1В; ; ; ; , .

Пример 2 *(Э). , ,

, , .

 

Случай detA = 0. Ранг матрицы.

 

Если , то система (1) может быть несовместной (например, система ), или иметь бесчисленное множество решений. Для решения вопроса о разрешимости системы введем понятие ранга матрицы A. Пусть дана прямоугольная матрица размера :

.

Рассмотрим все возможные определители (миноры), составленные из элементов этой матрицы.

Рангом r матрицы называется наибольший порядок ее минора, отличного от нуля, называемого ранговым минором.

Очевидно, что . Из свойств определителей вытекает, что ранг матрицы не изменяется при следующих преобразованиях:

1. транспонировании;

2. перестановке двух любых рядов матрицы;

3. при сложении двух параллельных ее рядов, умноженных на любые, отличные от нуля числа;

4. при умножении ряда на любое число .

Действительно, ранговый минор при этих преобразованиях в нуль не обращается, а любой минор, равный нулю, остается равным нулю. Эти преобразования называются элементарными преобразованиями матрицы.

Матрицы, полученные одна из другой при помощи конечного числа элементарных преобразований, называются эквивалентными: .

Вычислять ранг матрицы можно также с помощью следующей теоремы:

Теорема. Если матрица имеет минор порядка r, отличный от нуля, для которого все содержащие его миноры порядка r + 1 (окаймляющие миноры) равны нулю, то ранг матрицы равен r (без доказательства).

Вычисление ранга матрицы методом окаймления надо вести от миноров низших порядков к высшим.

Пример 1.

Сразу видно, что матрица содержит миноры второго порядка, не равные нулю. Поэтому вычисляем единственный минор третьего порядка:

, значит r_A = 2.

Пример 2. . Минор . Окаймляем его снизу 3 строкой, а справа – 4 или 5 столбцом. Слева окаймлять этот минор 1 столбцом не нужно, т.к. он пропорционален 2 столбцу. Поэтому минор, в который входят 1 и 2 столбцы, будет равен нулю.

; .

Следовательно, r_A = 3.

Пример 3. . Выполним элементарные преобразования, чтобы получить матрицу с более простыми элементами. Вычтем из 2 строки 1, а из 3 – вторую. Получим новую матрицу:

, B ~ A. У матрицы В 2 и 3 строки пропорциональны. Умножим 2 строку на (-2) и сложим с третьей, получим матрицу:

, C ~ B. Очевидно, что r_C = 2, но r_C = r_B = r_A, поэтому r_A = 2.

 

Теорема Кронекера-Капелли.*

 

Рассмотрим произвольную линейную систему уравнений:

А – матрица системы (1), В – расширенная матрица системы.

Теорема. Для того, чтобы система линейных уравнений (1) была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы А был равен рангу расширенной матрицы В: r_A = r_B (без доказательства).

Очевидно, что , т.к. все миноры матрицы А входят и в матрицу В. Если , то система несовместна и возможны следующие случаи.