Методы вычисления неопределенных интегралов

Одним из методов нахождения интегралов, отличных от табличных, является преобразование подынтегральной функции таким образом, чтобы осуществить переход от произведения или частного функций к их сумме и, в конечном итоге, на основе свойств интеграла 4 и 5 свести эти интегралы к табличным.

Такой метод интегрирования называют методом разложения. Часто при этом успех достигается путем применения формул сокращенного умножения, а также тригонометрических формул перехода от произведения (или степени) к сумме.

Пример 7.3.

.

Пример 7.4.

.

Пример 7.5.

.

Пример 7.6.

.

Пример 7.7.

.

Пример 7.8.

.

 

Метод замены переменной. Если подынтегральное выражение можно представить в виде

,

а интеграл является табличным, то для нахождения интеграла производится замена переменной (подстановка)

t = u (x).

Тогда

и легко находится выражение для интеграла через переменную интегрирования t. В заключение необходимо выполнить обратную подстановку, вернувшись к переменной x.

Такая замена переменной позволяет свести сложный интеграл к табличному. Нахождение в подынтегральной функции часто называют выделением дифференциала.

Наиболее просто осуществить подстановку, когда u (x) является линейной функцией вида

u (x) = kx + b,

то есть если интеграл имеет вид

.

Действительно, пусть F (x) — первообразная для f (x). Тогда

, d [ u (x)]= kdx и .

Следовательно,

.

Пример 7.9.

Найти неопределенный интеграл .

Решение. Используя последнюю формулу, можно сразу записать ответ

.

Рассмотрим этот пример подробнее, используя выделение дифференциала:

.

Следовательно, нужно сделать замену переменной (подстановку) u = 3 x + 2. Запишем

.

Пример 7.10.

.

Обозначим t = cos x. Тогда

.

Пример 7.11.

.

В примере использовалось обозначение t = x ² + 5.

Необходимо уточнить, что во многих случаях выделить дифференциал достаточно трудно. Поэтому часто метод замены переменной используют, просто пробуя различные подстановки.

 

Пример 7.12. Рассмотрим последний пример, в котором использовалась подстановка

t = x ² + 5.

Тогда

; ;

и, подставляя в исходный интеграл, имеем

.

Существует несколько типовых приемов при интегрировании методом замены переменной. Рассмотрим некоторые из них.

 

1. Если нужно найти интеграл от алгебраической дроби, причем в знаменателе дроби находится квадратный трехчлен ax ² + bx + c, а в числителе — многочлен от x не выше первой степени, то в знаменателе выделяется полный квадрат и новая переменная приравнивается к выражению, возводимому в квадрат.

Тот же прием применяется, если квадратный трехчлен находится под знаком квадратного корня.

Пример 7.13.

.

Пример 7.14.

.

2. Если в знаменателе дроби подынтегральной функции находится квадратный трехчлен, а в числителе — многочлен от x степени выше первой, то следует провести деление, например, уголком числителя на знаменатель, после чего интеграл сводится к уже рассмотренным случаям.

Пример 7.15.

.

 

3. Если в подынтегральной функции имеются корни различной степени из x, то часто к успеху приводит замена переменной , где n — наименьшее общее кратное показателей степени всех корней.

Пример 7.16.

.

4. Если подынтегральная функция представляет собой тригонометрическое выражение, то часто используют замену переменной . Тогда тригонометрические функции запишутся в виде:

; ;

.

Найдем dx. Для этого отразим переменную x

.

И окончательно

.

Пример 7.17.

.

 

Очень часто на практике является полезным использование следующих формул

;

.

Пример 7.18.

 

Пример 7.19.

 

 

Интегрирование по частям. В некоторых случаях интеграл можно представить в виде

.

Если при этом легко вычисляется интеграл , то следует воспользоваться формулой, называемой формулой интегрирования по частям

.

Эта формула легко получается при интегрировании дифференциала произведения двух функций. Действительно,

.

Интегрируя, получаем

; .

Интегрирование по частям обычно используют тогда, когда подынтегральная функция представляет собой произведение двух функций разного типа (степенной и тригонометрической; степенной и показательной; степенной и логарифмической; тригонометрической и показательной и т. п.).

Если в подынтегральном выражении имеется логарифмическая функция, то ее следует принять за u, а если логарифмической функции в подынтегральном выражении нет, то за u принимают степенную функцию. Все, что остается под интегралом, принимают за dv.

Пример 7.20.

.

Пример 7.21.

.

 

 

Не все интегралы могут быть выражены через элементарные функции. Эти интегралы имеют вид:

; ; ; ; ; .

Для вычисления таких интегралов (иногда их называют неберущимися) используются специальные методы.