Закон диффузии тепловых нейтронов и длина диффузии

Тема 6.

ДИФФУЗИЯ И РАЗМНОЖАЮЩИЕ СВОЙСТВА ТЕПЛОВОГО РЕАКТОРА

В полученной ранее формуле для величины эффективного коэффициента размножения в тепловом реакторе

k_э = h e j q p_з p _т

есть сомножитель p _т, который так же логически напрямую связан с процессом диффузии тепловых нейтронов в реакторе, как величина p _з - с процессом замедления.

Вероятность избежания утечки тепловых нейтронов - это доля тепловых нейтронов, избежавших утечки из активной зоны в процессе диффузии, от общего числа генерируемых в активной зоне тепловых нейтронов поколения.

Диффузия тепловых нейтронов, как и замедление эпитепловых, - это процесс пространственного их перемещения в среде активной зоны реактора. Единственной разницей этих процессов является то, что при замедлении кинетическая энергия нейтронов быстро снижается за счёт рассеяний на ядрах среды, а при диффузии величина кинетической энергии тепловых нейтронов слабо колеблется от рассеяния к рассеянию около среднего значения. В силу того, что сами ядра среды в своем тепловом движении обладают различными кинетическими энергиями, величины которых колеблются около некоторого среднего значения, определяемого термодинамической температурой среды.

А раз так, то тепловым нейтронам в процессе диффузии так же свойственно испытывать утечку из объёма активной зоны, как и эпитепловым - в процессе замедления. Хотя - явно в меньшей степени: скорости движения тепловых нейтронов во много раз меньше скоростей замедляющихся нейтронов, а возможностей для взаимодействий с ядрами среды (в частности - для поглощений) у тепловых нейтронов существенно большие, чем у эпитепловых (у подавляющего большинства ядер микросечения поглощения тепловых нейтронов существенно большие, чем сечения поглощения нейтронов любых других энергий).

Как и у замедляющихся нейтронов, утечка из активной зоны тепловых нейтронов возможна не из любой точки ее объёма, а лишь из периферийного её слоя. Тепловые нейтроны, родившиеся в результате процесса замедления в пределах этого слоя, могут покинуть активную зону раньше, чем они будут поглощены, но рождённые в более глубоких слоях тепловые нейтроны - такой возможности лишены.

Аналогичные представления и сходство в рассуждениях о процессах замедления и диффузии приводят к одинаковому выводу, касающемуся величины вероятности избежания утечки тепловых нейтронов; поэтому нет нужды повторять рассуждения, уже приводимые в начале п.5.1 для p _з; по аналогии запишем сразу для величины p _т:

р _т= f (геометрии а.з., каких-то диффузионных свойств среды а.з.)

И если аналогичную зависимость для величины p _з в п.5. удалось расшифровать: p _з = f (B²; t _т), - то относительно зависимости величины p _т от параметра реактора B² мы пока можем говорить лишь предположительно, а что собой представляет характеристика диффузионных свойств среды активной зоны - пока неясно.

Но начнём всё-таки с неё. Интуиция подсказывает, что эта характеристика должна быть сходной по смыслу с возрастом тепловых нейтронов, то есть она должна отражать способность среды активной зоны давать определённое среднеквадратичное пространственное смещение тепловых нейтронов в процессе их диффузии в этой среде.

Закон диффузии тепловых нейтронов и длина диффузии

6.1.1. Нейтронный газ и его температура. Называть совокупность тепловых нейтронов в среде нейтронным газом имеются все формальные основания. Действительно, тепловые нейтроны по их свойствам близки к идеальному газу:

- из-за электронейтральности нейтроны не взаимодействуют друг с другом; нейтронам принципиально чужды силы взаимодействия типа вандерваальсовых сил межмолекулярного сцепления в реальных газах, то есть сил электрической природы;

- нейтронный газ - пространственно очень разреженная совокупность частиц: плотность нейтронов в самых энергонапряжённых реакторах по порядку величины не превышает 10⁹ нейтр/см³, в то время как, скажем, молекулярная концентрация воды в разреженном перегретом паре составляет никак не меньше 10¹⁹ молекул/см³.

Близость свойств нейтронного газа к свойствам идеального газа даёт возможность описывать движение больших совокупностей свободных тепловых нейтронов в среде с использованием зависимостей молекулярной теории идеальных газов.

Скажем, абсолютная температура идеального газа Т - параметр его состояния, связанный с наиболее вероятной энергией молекул этого газа зависимостью Е_нв = kТ, где k = 8.62 ^.10^-5 эВ/К - константа Больцмана. У тепловых нейтронов величина наиболее вероятной энергии

Е_нв = kT_н

тоже связана с величиной температуры нейтронов пропорциональной связью с тем же коэффициентом пропорциональности k, но это не означает, что температуры среды и нейтронов - одна величина, хотя по определению тепловые нейтроны и находятся в кинетическом равновесии с ядрами среды, в которой они движутся. Положение максимума спектра тепловых нейтронов, как говорилось в п.5.6, определяется не только температурой, но и соотношением поглощающих и замедляющих свойств среды. Если бы среда не поглощала тепловые нейтроны, положения максимумов больцмановского спектра молекул и максвелловского спектра тепловых нейтронов, движущихся в этой среде, в точности совпадали бы, а, значит, совпадали бы и величины температур среды и нейтронов. Но идеальных, не поглощающих нейтроны, сред в природе нет, поэтому в реальных средах температура нейтронов Т_н всегда выше, чем температура Т среды, где движутся тепловые нейтроны, и различие этих температур тем больше, чем меньше величина коэффициента замедления среды (см. формулу (5.6.4)).

6.1.2. Закон диффузии тепловых нейтронов. Из близости свойств нейтронного и идеального газов следует, что описание интенсивности направленного переноса тепловых нейтронов в среде должно подчиняться закону газовой диффузии Фика, который, как оговорено в соответствующем разделе кинетической теории, в полной мере справедлив только для идеальных газов.

Газовая диффузия - процесс направленного переноса молекул газа, движущей силой которого является разница молекулярных концентраций газа в различных точках объёма среды. Перенос молекул направлен от зоны с большей концентрацией молекул к зоне с меньшей их концентрацией, и при длительном протекании в замкнутом объёме он приводит к выравниванию концентраций по всему этому объёму. Так же обстоит дело и с тепловыми нейтронами, диффундирующими в среде. Разница в представлениях о газовой и нейтронной диффузии состоит только в том, что:

- при газовой диффузии молекулы сталкиваются и обмениваются кинетическими энергиями между собой непосредственно, а обмен кинетическими энергиями между тепловыми нейтронами происходит не в непосредственных столкновениях, а опосредствованно, то есть через посредство ядер среды, которые рассеивают их в процессе диффузии;

- при газовой диффузии газовые молекулы не исчезают, а при диффузии тепловых нейтронов в реальных средах происходит непрерывное их поглощение.

Применительно к диффузии тепловых нейтронов закон Фика записывают так:

(6.1.1)

В этом выражении:

- вектор плотности тока диффузии тепловых нейтронов в точке среды с координатами (напомним: величина вектора определяет интенсивность направленного перемещения нейтронов через единичную площадку, ориентированную перпендикулярно направлению этого вектора, за единицу времени, а сам вектор указывает направление их переноса);

- оператор Гамильтона функции распределения плотности тепловых нейтронов по координатам, иначе называемый в теории поля градиентом функции n в точке с координатами . Градиент - тоже вектор, но его направление - направление возрастания плотности нейтронов - противоположно направлению вектора , поэтому в правой части (6.1.1) и стоит знак минус.

Скалярная величина градиента представляет собой сумму частных производных функции плотности нейтронов по координатам:

| grad n( | = dn/dx + dn/dy + dn/dz,

так что в частном случае линейной диффузии, когда плотность нейтронов изменяется только вдоль одной координатной оси, величина градиента плотности нейтронов вырождается в обычную первую производную функции плотности по этой координате.

D* - коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом диффузии. Так как вектор плотности тока имеет скалярную размерность нейтр/см²с, а градиент плотности нейтронов - нейтр/см⁴, то размерность коэффициента диффузии D* - см² / с.

В теории реакторов в силу большего удобства закон Фика чаще записывают не через градиент плотности тепловых нейтронов, а через градиент плотности их потока (grad Ф). Формально умножив и разделив правую часть (6.1.1) на одну и ту же величину - среднюю скорость движения тепловых нейтронов (v), получим:

(6.1.2)

где коэффициент D = D*/v (6.1.3)

сохраняет смысл коэффициента диффузии, то есть плотности тока при единичной величине градиента плотности потока тепловых нейтронов.

В кинетической теории нейтронов доказано, что величина этого коэффициента D определяется рассеивающими свойствами среды с учётом анизотропии рассеяния тепловых нейтронов на её ядрах, то есть:

D = l_tr/3 = 1/3S_tr (6.1.4)

Таким образом, в развёрнутом виде закон диффузии тепловых нейтронов:

. (6.1.5)

6.1.3. Время диффузии тепловых нейтронов. Под временем диффузии t _д понимается среднее время от момента рождения теплового нейтрона до момента его поглощения.

Путь теплового нейтрона от точки рождения до точки поглощения

Точка рождения ТН

(точка, в которой замед-

ляющийся нейтрон

«пересёк» Е_с) Точка поглощения

теплового нейтрона

Удаление теплового нейтрона от точки рождения в момент поглощения

Рис.6.1. Иллюстрация к понятиям пути, проходимого тепловым нейтроном во время

диффузии, и удаления его от точки рождения в момент поглощения.

В течение времени диффузии тепловой нейтрон в среде пробегает ломаный путь, равный среднему пробегу до поглощения в рассматриваемой среде l_a = 1/S_a. А поскольку тепловой нейтрон проходит этот путь со средней скоростью v, время, за которое он его проходит:

t _д = l_a/v = 1/S_av (6.1.6)

Для получения представлений о порядке величины t_д в различных средах подсчитаем её для для стандартных нейтронов (v = 2200 м/с).

В воде при нормальных условиях (S_a» 0.02 см^-1): t _д = 1/(2.2 ^.10⁵ ^.0.02)» 2.3 ^.10^-4 c;

В графите (g = 1.6 г/см³, S_a» 3 ^.10^-4 см^-1): t _д = 1/(2.2 ^.10⁵ ^.3 ^.10^-4)» 0.015 c;

В топливной композиции UO₂ плотностью g = 10 г/см³ при обогащении x = 2% (S_a» 0.36 см^-1) t _д = 1/(2.2 ^.10^5. 0.36)» 1.26 ^.10^-5 c.

Как видим, время диффузии тепловых нейтронов - величина, значительно большая времени замедления их до теплового уровня в тех же средах (см.п.5.7). Чем больше поглощающих материалов присутствует в активной зоне теплового реактора, тем меньше величина времени диффузии тепловых нейтронов, а, значит, - меньше среднее время жизни поколения нейтронов в реакторе.

6.1.4. Длина диффузии. Ранее вскользь отмечалось, что диффузионная характеристика среды активной зоны, определяющая величину вероятности избежания утечки тепловых нейтронов, должна быть связана со среднеквадратичным пространственным смещением тепловых нейтронов в процессе диффузии таким же образом, как возраст тепловых нейтронов связан со среднеквадратичной длиной замедления. К этому подталкивает почти полная аналогия представлений о процессах замедления и диффузии.

По определению кинетической теории нейтронов:

Квадрат длины диффузии тепловых нейтронов в среде - шестая часть среднего квадрата удаления теплового нейтрона в момент его поглощения от точки его рождения в этой среде.

L² = (1/6) l _т ² (6.1.7)

И поскольку полученное в кинетической теории значение среднего квадрата пространственного смещения теплового нейтрона при диффузии:

___

l _т ² = 2/S_aS_tr,

то величины квадрата и самой длины диффузии будут равны:

L² = и L = (6.1.8)

Как видим, квадрат длины диффузии L² - такая же и по смыслу, и по размерности (см²) характеристика диффузионных свойств среды, какой является возраст тепловых нейтронов t _т - характеристика замедляющих свойств среды. Длина диффузии среды L (и её квадрат) характеризует её способность давать определённое среднеквадратичное пространственное смещение теплового нейтрона от точки рождения до точки его поглощения.

Поэтому каждому конкретному веществу в нормальных условиях (при t = 20^оС или Т = 293К и нормальном атмосферном давлении) свойственна своя, стандартная длина диффузии, например:

- у воды (Н₂О) L_o = 2.714 см;

- у графита (С) L_o = 51.2 см;

- у бериллия (Ве) L_o = 22.1 см;

- у оксида бериллия (ВеО) L_o = 30.0 см;

- у тяжёлой воды (D₂O) L_o = 171 см и т.д.

Стандартные длины диффузии большинства материалов, используемых в реакторостроении, приводятся в справочниках по ядерным константам.

6.1.5. Зависимости длины диффузии веществ от температуры и давления. Так как величины макросечений поглощения и транспортного равны произведениям соответствующих микросечений на ядерную концентрацию:

S_a = s_a N и S_tr = s_tr N,

то выражение для квадрата длины диффузии однородного вещества можно представить в таком виде:

L² = (6.1.8a)

В правой части выражения (6.1.8а) влиянию температуры подвержены две величины - микросечения поглощения и ядерной концентрации N.

Величина микросечения поглощения ядер любого вещества с ростом температуры падает

s_a (T_н) = 0.886 s_ao ,

так как с ростом температуры вещества приблизительно пропорционально величине температуры Т растёт и температура нейтронов Т_н.

Ядерная концентрация жидкого или газообразного вещества с ростом температуры падает, твёрдого вещества - практически не изменяется.

Температурное уменьшение s_a и N в соответствии с (6.1.8а) приводит к однозначному увеличению длины диффузии. Схематически это выглядит так:

T_н ® s_a¯ ® L

t^o ® T L

g ¯ ® N¯ ® L

Рис.6.2. Схема воздействия температуры на величину длины диффузии тепловых нейтронов в среде.

Длину диффузии вещества часто называют мерой прозрачности вещества для тепловых нейтронов, подразумевая под этим, что чем выше величина L, тем больше направленное удаление теплового нейтрона от места его рождения до места поглощения, и тем большую толщину слоя этого вещества могут проницать тепловые нейтроны до их поглощения.

В связи с этим существует еще одна практичная интерпретация понятия длины диффузии.

Если вообразить бесконечный плоский источник тепловых нейтронов равномерной интенсивности(чего в природе нет!), то, приложив вплотную к этому источнику некоторый объём рассматриваемой среды (вещества), мы обнаружили бы, что плотность потока тепловых нейтронов с удалением от источника в этой среде падает по экспоненциальному закону (рис.6.3):

Ф(x) = Ф_о exp (- x/L)

Ф(х) L

Ф₀

L L

Ф(х₁₎

Ф(х₁)/е

0 х

х₁ х₁+L

Рис.6.3. Характер снижения плотности потока тепловых нейтронов от бесконечного плоского источника тепловых нейтронов в среде и интерпретация длины диффузии этой среды.

Поэтому, если измерить величину плотности потока тепловых нейтронов на произвольном отстоянии x₁ от источника и на отстоянии (x₁+L), то отношение измеренных величин плотностей потоков тепловых нейтронов будет равно:

Ф(x₁)/Ф(x₁+L) = exp(-x₁/L)/exp[-(x₁+L)/L] = e = 2.7182818...

Поэтому:

Длина диффузии в среде - это толщина слоя этой среды, в пределах которого величина плотности потока тепловых нейтронов от бесконечного плоского источника тепловых нейтронов снижается в е раз.

С ростом давления p плотность жидкого или газообразного вещества g увеличивается, а вместе с нею увеличивается и ядерная концентрация вещества N, увеличение которой в соответствии с (6.1.8а) приводит к уменьшению длины диффузии.

Из (6.1.8а) несложно вывести общую зависимость квадрата длины диффузии в любом веществе от температуры и давления:

, (6.1.9)

где g_o - плотность жидкости или газа при нормальных условиях, а

g (p,t) - плотность при рассматриваемых давлении и температуре.