Расчет показателей вариации

Процент брака, % ()	Варианта ()	Выполненный объем работ, тыс. деталей ()
0,5–1,0	0,75			1,37	137,00
1,0–1,5	1,25			0,45	53,94
1,5–2,0	1,75			0,03	5,81
2,0–2,5	2,25			0,11	32,58
2,5–3,0	2,75			0,69	110,10
Итого	´			´	339,43

 

Для расчета среднего процента брака по предприятиям используем формулу средней взвешенной арифметической:

%.

Дисперсия

.

Среднеквадратическое отклонение

%.

Коэффициент вариации

или 32,35%

Таким образом, исследуемая совокупность является однородной, т.к. коэффициент вариации составляет 32,35%. В среднем по исследуемой совокупности варианты отличаются от средней арифметической на 0,6210%.

В статистике наряду с показателями вариации количественного признака определяются показатели вариации альтернативного признака. Альтернативными являются признаки, которыми обладают одни единицы изучаемой совокупности и не обладают другие. Например, продукция стандартная или нестандартная. Обозначая наличие признака 1, а отсутствие – 0 и долю вариантов, обладающих данным признаком – , а долю вариантов, не обладающих им – и замечая, что , получим сначала среднюю:

,

а затем дисперсию альтернативного признака:

Среднее квадратическое отклонение альтернативного признака вычисляется по формуле:

.

Пример. Из 1000 проверенных деталей 3 детали оказались бракованными. Рассчитать показатели вариации.

Доля (частость) бракованных деталей составит:

.

Дисперсия равна:

.

Среднее квадратическое отклонение равно

.

 

Наряду с изучением вариации признака по всей совокупности в целом часто бывает необходимо проследить количественные изменения признака по группам, на которые разделяется совокупность, а также и между группами, например уровень заработной платы от тарифного разряда рабочих. Такое изучение вариации достигается посредством вычисления и анализа различных видов дисперсий: общей, межгрупповой и групповой.

Общая дисперсия измеряет вариацию признака во всей совокупности под влиянием всех факторов, обусловливающих вариацию:

,

где – общая средняя для всей изучаемой совокупности, – численность изучаемой совокупности.

 

Межгрупповая дисперсия отражает вариацию изучаемого признака, которая возникает под влиянием признака-фактора, положенного в основу группировки. Она рассчитывается по формуле:

,

где – средняя по i- ой группе; – численность по i- ой группе.

Внутригрупповая дисперсия отражает случайную вариацию, происходящую под влиянием неучтенных факторов и не зависящую от признака-фактора, положенного в основание группировки:

.

Средняя из внутригрупповых дисперсий:

.

Общая дисперсия равна сумме из средней внутригрупповой и межгрупповой дисперсий:

.

Данное соотношение называют правилом сложения дисперсий. Это правило сложения дисперсий имеет большую практическую значимость, так как позволяет выявить зависимость результатов от определяющих факторов соотношением межгрупповой и общей дисперсии (коэффициент детерминации):

.

 

 

Пример. Имеются следующие данные о результатах обследования рабочих предприятия по размеру месячной заработной платы (табл. 6.5).

Т а б л и ц а 6.5

Группы рабочих по возрасту, лет	Число рабочих	Дисперсия заработной платы
До 20
20 – 30
30 и старше

Общая дисперсия заработной платы в обследованной совокупности рабочих составила 450.

Определить, в какой степени вариация заработной платы рабочих предприятия зависит от возраста.

 

Средняя внутригрупповая дисперсия характеризует случайную вариацию под влиянием неучтенных факторов:

=

Межгрупповая дисперсия отражает систематическую вариацию под влиянием фактора, положенного в основу группировки (возраста рабочих).

Межгрупповая дисперсия определяется по правилу сложения дисперсий:

= 450 – 413,5 = 36,5.

Отсюда соотношение дисперсий

= 36,5: 450 = 0,08, или 8,0%.

Полученный результат показывает, что возраст на варьирование заработной платы рабочих предприятия не оказывает существенного влияния.