Понятие о пределе переменной величины

Пусть переменная , изменяясь неограниченно близко приближается к числу 5, принимая следующие значения

5,1; 5,01; 5,001; 5,0001 … 5

или

4,9; 4,99; 4,999; 4,9999 … 5.

Мы видим, что абсолютная величина разности стремится к нулю, то есть ; 0,01; 0,001; 0,0001 0, то есть разность - величина бесконечно малая.

Число 5 называется пределом переменной и записывается или .

Определение: Постоянная называется пределом переменной , если разность между ними есть величина бесконечно малая , то есть , если - бесконечно малая, можно записать, что .

 

Следовательно,

.

 

Свойства бесконечно малых величин

1) Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая

- бесконечно малая.

2) Произведение бесконечно малой величины на постоянную есть величина бесконечно малая

бесконечно малая.

Следствие: Произведение ограниченной переменной на бесконечно малую величину есть величина бесконечно малая.

 

ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ

Теорема I. Переменная величина не может иметь двух различных пределов.

Теорема II. Предел суммы конечного числа переменных величин, имеющих пределы, равен сумме пределов этих переменных величин.

Доказательство: Докажем для двух переменных величин.

- переменные

Сложив эти равенства, получим ,

.

Имеем в левой части разность между переменной и постоянной , в правой бесконечно малую.

Следовательно, согласно определению предела

,

.

Точно также можно доказать для трех, четырех и любого конечного числа переменных.

Теорема III. Предел разности переменных, имеющих пределы, равен разности пределов этих переменных

.

Теорема IV. Предел произведения конечного числа переменных, имеющих пределы, равен произведению пределов этих переменных.

Доказательство:

Дано, что , . Докажем теорему для двух переменных, то есть нужно доказать, что

.

Так как

то

,

.

Умножим эти равенства, получим

,

В левой части имеем разность между переменной и постоянной , в правой части сумму бесконечно малых величин (теорема о б/м).

Следовательно,

.

Эту теорему можно доказать для любого конечного числа переменных.

Следствие 1: , где постоянная.

Следствие 2: , где - любое действительное значение.

.

Теорема V. Предел частного от деления двух переменных величин, имеющих пределы, равен частному от деления пределов делимого и делителя при условии, что предел делителя не равен нулю

, если .

 

Предел функции

О пределе функции можно говорить только при условии задания предела, к которому стремится ее аргумент , без этого условия вопрос о пределе функции не имеет смысла.

Определение: Число называется пределом функции в точке , если для всех значений , достаточно близких к и отличных от , значение функции сколь угодно мало отличается от числа

.

Иначе говоря, число называется пределом функции в точке , если для всех значений , для которых модуль разности между величиной и есть величина бесконечно малая, модуль разности между и есть также величина бесконечно малая

- б/м при условии - б/м.