Указания по выполнению задания Д-1

ДИНАМИКА

Динамикой называется раздел теоретической механики, в котором изучается движение материальных тел (точек) с учетом действующих на них сил.

Задание Д-1. Динамика материальной точки

Интегрирование дифференциальных уравнений движения материальной точки

Груз D массой m, получив в точке А начальную скорость движется в изогнутой трубе АВС, расположенной в вертикальной плоскости; участки трубы – оба наклонные (рис. 3.1-3.30) или один горизонтальный, другой наклонный. На участке АВ на груз, кроме силы тяжести, действуют постоянная сила (её направление показано на рисунках) и сила сопротивления среды , зависящая от скорости груза (направлена против движения); трением груза о трубу на этом участке пренебречь. В точке В груз, не изменяя величины скорости, переходит на участок ВС трубы, где на него, кроме силы тяжести, действуют силы трения (коэффициент трения груза о трубу ) и переменная сила , проекция которой на ось x задана в табл. 8. Считая груз материальной точкой и зная расстояние АВ, равное , или время движения груза от точки А до точки В, найти закон движения груза на участке ВС: где .

Таблица 8

Данные к заданию Д-3.1

Вариант	кг	м/с	Н	Н	м	с	Н
				0,5		-
				0,6		-
	4,5			0,5	-
				0,4	-	2,5
	2,4			0,8	1,5	-
	1,8			0,3	-
				0,8	2,5	-
	1,6			0,4	-
	4,8			0,2		-
				0,5	-

 

Рис. 1.1 Рис. 1.2

Рис.1.3 Рис.1.4

Рис. 1.5 Рис. 1.6

Рис. 1.7 Рис. 1.8

Рис. 1.9 Рис. 1.10

Рис. 1.11 Рис. 1.12

Рис. 3.13 Рис. 3.14

Рис. 3.15 Рис. 3.16

Рис. 3.17 Рис. 3.18

Рис. 3.19 Рис. 3.20

Рис. 3.21 Рис. 3.22

Рис. 3.23 Рис. 3.24

Рис. 3.25 Рис. 3.26

Рис. 3.27 Рис. 3.28

Рис. 3.29 Рис. 3.30

 

Указания по выполнению задания Д-1

Основное уравнение динамики материальной точки:

, (3.1)

где – масса точки,

– ускорение материальной точки,

– равнодействующая сил, действующих на точку:

.

Проецируя обе части уравнения (3.1) на неподвижные декартовые оси

x, у, z, получим:

(3.2)

Уравнения (3.2) называют дифференциальными уравнениями движения ма­териальной точки в проекциях на неподвижные декартовые оси. Используя эти уравнения, можно по известной массе точки и силам, действующим на неё, найти уравнения движения точки. В этом и заключается вторая основная (обратная) за­дача динамики точки. Решение задачи сводится к двойному интегрирова­нию. После интегрирования в решение войдут постоянные интегрирования, для определения которых используют начальные условия, т.е. положение и скорость точки в начальный момент времени. При прямолинейном движении вдоль оси х начальные условия задаются в виде:

при = 0 . (3.3)

Решение задачи на интегрирование дифференциальных уравнений движения сводится к следующим операциям:

1. Выбрать начало отсчёта, совмещая его с начальным положением точки, и при прямолинейном движении совместить одну из осей координат с направлени­ем движения.

2. Изобразить движущуюся точку в произвольном положении и показать все действующие на точку си­лы, включая и силы реакций.

3. Составить уравнения движения точки в виде уравнений (3.2).

4. Решить составленные уравнения интегрированием. В тех случаях, когда на точку действуют постоянные силы, а также силы, зависящие от времени и от скорости уравнения можно проинтегрировать методом разделения переменных. Если при этом необходимо определить только скорость точки, то часто можно ограничить­ся одним интегралом.

5. Определить постоянные интегрирования, используя начальные условия в виде (3.3.). Если дифференциальное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными, то можно брать определённые интегралы и не вводить постоянные интегрирования.

6. Определить искомые в задаче величины.

Решение задачи разбивается на две части. Сначала нужно составить и проинтегрировать уравнение движения точки на участке АВ, учитывая начальные условия. Затем по известному времени движения на участке АВ или длине определить скорость в точке В. Эта скорость будет начальной при движении на участке ВС. После этого нужно составить дифференциальное уравнение и интегрировать его для участка ВС с учётом начальных условий, ведя отсчёт времени от момента, когда груз находился в точке В, полагая в этот момент . При интегрировании уравнения движения на участке АВ в случае, когда дана длина участка, удобнее перейти к переменному х, учитывая, что

.