Физическое определение плотности тока.

Выделим элементарный объем трубки тока, ограниченный двумя близкорасположенными поверхностями, ортогональными к линиям тока.

 

Рис. 1

Пусть точка наблюдения принадлежит одной из этих поверхностей (см. рис.1). Будем считать, что трубка тока и поверхности выбраны так, что - физически бесконечно малый объем, так что внутри этого объема характеристики заряженной среды от точки к точке не меняются. Тогда ясно, что указанные поверхности – участки параллельных плоскостей, перпендикулярных к линиям тока. Ясно также, что выделенный объем есть цилиндр (не обязательно круглый!) с площадью основания (значок «» показывает, что площадка перпендикулярна линиям тока; полагаем, что - физически бесконечно малая площадь) и высотой . Здесь - расстояние между указанными плоскостями, - векторный элемент линии тока. Объем можно записать через скалярное произведение , где = , направление орта совпадает с направлением скорости переноса заряда. Внутри объема находится заряд , который покинет выделенный объем за время : = . Очевидно, что

, (7)

откуда в силу (5)

(8)

Обозначим через силу тока через элемент поверхности . Ясно, что , где элементарный заряд определяется формулой (7). Тогда

, (9)

где - сила тока (в момент времени ) через элемент поверхности , содержащий точку . Соотношение (9) проясняет смысл термина «плотность тока».

Как известно, направление вектора определяется ортом . Поэтому из соотношения (9) следует:

. (10)

Соотношение (9) можно рассматривать в качестве физического21 определения вектора .

Объемная плотность тока есть вектор, направление которого совпадает с направлением тока в точке в момент времени , а величина определяется из соотношения (10). Другими словами: пусть есть физически бесконечно малая площадь, содержащая точку и перпендикулярная линии тока в этой точке; величина объемной плотности тока вводится так, чтобы произведение равнялось силе тока через элемент в момент времени .

Единица измерения плотности тока:[А/м²]. (СИ).

 

Рассмотрим теперь ток через элемент площади (физически бесконечно малый), содержащий точку и произвольно ориентированный по отношению к линии тока в этой точке. Не ограничивая общности, будем считать элемент плоским и будем считать, что граница элемента принадлежит трубке тока, о которой говорилось выше. См. рис. 2. Пусть - орт положительной нормали к элементу .

 

Рис. 2

Важно: силе протекающего через площадку тока нужно приписывать как положительные, так и отрицательные значения в зависимости от того, протекает ли ток через в направлении произвольно выбранной положительной нормали к этой площадке или же в обратном ей направлении. (Тамм, стр.137-138).

Сила тока через ориентированную площадку такая же, как сила тока через площадку , если , и противоположна по знаку, если , т.е.

. (12)

Ясно, что

.

Следовательно,

.

Окончательно,

. (13)

Очевидно, что интеграл

(14)

по любой кусочно-гладкой поверхности равен силе тока через эту поверхность в момент времени .

Интеграл (14) есть поток векторного поля через поверхность . Соотношение (14) также можно принять за определение (математическое) силы тока.

Итак, сила тока - интегральная характеристика электрического тока, определяемая математически как поток вектора через любую поверхность .

Заметим, что в силу (13)

, (19)

где - проекция вектора на положительную нормаль к .

Задача. Движение зарядов происходит в цилиндрической области. Радиус цилиндра , ось цилиндра совмещена с осью . Распространение заряда происходит в направлении . Будем считать, что цилиндр имеет бесконечную протяженность вдоль оси . Сила тока в любом сечении цилиндра плоскостью постоянна и равна . В каждый момент времени объемная плотность заряда в любой точке внутри цилиндра равна , где - полярный радиус, - коэффициент пропорциональности. На единицу длины цилиндра приходится заряд . Найдите объемные плотности заряда и тока.

 

Решение.

. (Ф1)

Пусть область - отрезок цилиндра единичной длины.

.

Следовательно,

, (Ф2)

где - поперечное сечение цилиндра.

. (Ф3)

Поэтому в силу (Ф2) и (Ф3)

. (Ф4)

Возвращаясь к (Ф1), получаем:

. (Ф5)

Пусть - скорость переноса заряда. В нашем случае .

Объемная плотность тока

. (Ф5)

Остается найти величину скорости переноса заряда.

Частицы проходят отрезок единичной длины за время .

,

откуда

(Ф6)

Окончательно получаем:

. (Ф7)

 

Поверхностный и линейный токи.Если вдоль заряженной поверхности имеет место направленное движение носителей заряда, говорят о поверхностном токе, распределение которого описывается плотностью поверхностного тока

,

где - локальная средняя скорость частиц, направленная по касательной к линии тока. Плотность реального объемного и модельного поверхностного токов можно связать предельным переходом

,

где h -толщина слоя движущихся зарядов [Кураев, с.13, Батыгин с. 134].

Аналогично движение зарядов вдоль заряженной нити называют линейным током32. Его характеристика - плотность линейного тока (линейная плотность тока)

.

Очевидно, что плотность линейного тока равна заряду, переносимому в единицу времени через точку на линии тока, т.е. току, текущему вдоль нити

,

(см. размерности), - единичный вектор вдоль линии тока (см. выше).

Действительно, пусть элемент нити содержит точку .

,

где - заряд элемента нити; .

Следовательно,

, .