Основные характеристики движения жидкостей

Под гидравлическим радиусом (м) понимают отношение площади затопленного сечения трубопровода или канала, через которое протекает жидкость, т. е. живого сечения потока, к смоченному периметру:

, (4)

где S – площадь сечения потока жидкости, м²; П – смоченный периметр, м.

Для круглой трубы с внутренним диаметром d и, значит, площадью свободного сечения при сплошном заполнении его жидкостью П = pd, откуда гидравлический радиус

.

Диаметр, выраженный через гидравлический радиус, представляет собой эквивалентный диаметр:

(5)

Следовательно, согласно уравнению (11,26)

(6)

Эквивалентный диаметр равен диаметру гипотетического трубопровода круглого сечения, для которого отношение площади S к смоченному периметру П то же, что и для данного трубопровода некруглого сечения.

Для канала прямоугольного сечения со сторонами а и b, полностью заполненного жидкостью, гидравлический радиус

, (7)

а эквивалентный диаметр

. (8)

Установившийся и неустановившийся потоки. Движение жидкости является установившимся, или стационарным, если скорости частиц потока, а также все другие влияющие на его движение факторы (плотности, температуры, давления и др.), не изменяются во времени в каждой фиксированной точке пространства, через которую проходит жидкость. В этих условиях для каждого сечения потока расходы жидкости постоянны во времени.

При стационарном движении любой из указанных факторов, например скорость w_x в некотором направлении х, может иметь различные значения в разных точках , но в любой точке скорость не изменяется со временем, т. е. .

Пусть, например, установившееся движение жидкости происходит по трубе переменного сечения. Если за начало координат принять некоторую фиксированную точку на оси трубы, то скорость w_x будет переменна в пространстве, увеличиваясь с уменьшением площади поперечного сечения трубы по оси х и уменьшаясь вдоль осей у и z по мере приближения к стенке трубы. Однако скорость w_x будет постоянна во времени в любой точке.

В отличие от стационарного при неустановившемся или нестационарном потоке факторы, влияющие на движение жидкости, изменяются во времени. Так, скорость жидкости в определенном направлении х в любой точке является не только функцией пространственных координат х, у и z данной точки, но также времени т, т. е. . Значит, при этом .

Примером неустановившегося движения может служить истечение жидкости из отверстия при переменном уровне ее в резервуаре: с понижением высоты столба жидкости в нем скорость истечения уменьшается во времени.

Установившиеся условия движения жидкости характерны для непрерывных процессов химической технологии. Неустановившееся движение жидкости происходит главным образом в периодических процессах или возникает кратковременно при пусках, остановках, а также изменениях режима работы аппаратов непрерывного действия.

Характеризуя различие между установившимся и неустановившимся движением жидкости частной производной по времени некоторого параметра потока (например, скорости ), мы рассматривали изменение этого параметра в фиксированной точке пространства, имеющей постоянные координаты.

Для каждой частицы движущейся жидкости изменение ее параметров во времени и в пространстве выражается не частной, а полной производной по времени, называемой в гидродинамике субстанциональной производной. По своему смыслу эта производная может быть названа также производной, следующей за потоком.

Обозначим через и любую величину, изменяющуюся в потоке какво времени, так и в пространстве, например плотность, температуру, давление, концентрацию жидкости или любую из составляющих w_x, w_y и w_z; ее скорости w в направлениях осей координат.

Допустим, что мы наблюдаем за движением потока и можем мгновенно регистрировать значения и в каждый момент времени в данной точке потока. Если наблюдатель неподвижен, то изменение и за единицу времени в фиксированной точке пространства (х, у, z) = const выражается частной производной , а изменение и в указанной точке за бесконечно малый промежуток времени dt составляет . Эта величина является местным, или локальным, изменением данной переменной, которое, как отмечалось, при установившемся движении равно нулю.

Если наблюдатель перемещается вместе с потоком (с какой-либо его частицей), то, измеряя значения и, можно установить, что изменение этой величины складывается из двух составляющих.

Пусть за время dt частица жидкости переместилась из точки А с координатами х, у и z в точку В с координатами {х + dх), (у + dy) и (z + dz).

В результате перемещения частицы в пространстве из точки А в точку В изменения и, соответствующие проекциям пути dx, dy и dz, равны , и . Эти изменения не связаны с изменением и во времени в какой-либо фиксированной точке пространства. Таким образом, если бы движение частицы было установившимся (локального изменения и не было бы), то при переходе из А в В изменение и выражалось бы

du = + +

Это выражение характеризует конвективное изменение рассматриваемого параметра и.

Вследствие изменения и во времени в каждой точке пространства в условиях неустановившегося движения и = f (х, у, z, t), и за время dt значение указанного параметра также изменится на . Значит, полное изменение и при неустановившемся движении является суммой локального и конвективного изменений.

du = + + + (1)

откуда

(2)

Однако

и

где , и — составляющие скорости вдоль соответствующих осей координат, на которые можно разложить скорость w.

Отсюда

(3)

В частном случае установившегося процесса, когда

(4)

Уравнения (3) и (4) выражают субстанциональную производную данного параметра. Использование специального термина для наименования * полной производной сложной функции обусловлено тем, что составляющие скорости по осям координат (, и ), с которой перемещается наблюдатель, не произвольны, а принимаются равными составляющим скорости частицы жидкости (, и ), так как наблюдатель перемещается вместе с потоком.

Субстанциональная производная характеризует изменение какого-либо параметра или свойства материи (субстанции) во времени при перемещении материальных частиц в пространстве. В частности, при движении частицы жидкости со скоростью w конвективное и. локальное изменения претерпевают все составляющие скорости вдоль осей координат (, и ). В этом случае производные и характеризуют составляющие ускорения вдоль соответствующих осей координат.

Режимы движения жидкости. Различные режимы течения жидкости можно проследить, вводя в поток подкрашенную струйку жидкости или какой-либо иной индикатор.

Впервые режимы течения жидкости изучались О. Рейнольдсом в 1883 г. на установке, изображенной на рис. 8. К сосуду 1, в котором поддерживается постоянный уровень воды, присоединена горизонтальная стеклянная труба 2. В эту трубу по ее оси через капиллярную трубку 3 вводится тонкая струйка окрашенной воды (индикатор). При небольшой скорости воды в трубе 2 окрашенная струйка вытягивается в горизонтальную нить, которая, не размываясь, достигает конца трубы (рис. 8, а). Это свидетельствует о том, что пути частиц прямолинейны и параллельны друг другу.

Такое движение, при котором все частицы жидкости движутся по параллельным траекториям, называют струйчатым, или ламинарным.

Если скорость воды в трубе 2 увеличивать сверх определенного предела, то окрашенная струйка сначала приобретает волнообразное движение, а затем начинает размываться, смешиваясь с основной массой воды. Это объясняется тем, что отдельные частицы жидкости движутся уже не параллельно друг другу и оси трубы, а перемешиваются в поперечном направлении (рис. 8, б).

Такое неупорядоченное движение, при котором отдельные частицы жидкости движутся по запутанным, хаотическим траекториям, в то время как вся масса жидкости в целом перемещается в одном направлении, называют турбулентным.

В турбулентном потоке происходят пульсации скоростей, под действием которых частицы жидкости, движущиеся в главном (осевом) направлении, получают также поперечные перемещения, приводящие к интенсивному перемешиванию потока по сечению и требующие соответственно большей затраты энергии на движение жидкости, чем при ламинарном потоке.

Опыт показывает, что переходот ламинарного течения к турбулентному происходит тем легче, чем больше массовая скорость жидкости w и диаметр трубы d и чем меньше вязкость жидкости . Рейнольдс установил, что указанные величины можно объединить в безразмерный комплекс wd / , значение которого позволяет судить о режиме движения жидкости. Этот комплекс носит название критерия Рейнольдса (Re);

(1)

Критерий Re является мерой соотношения между силами вязкости и инерции в движущемся потоке. В самом деле, вероятность нарушения ламинарного режима течения и возникновения хаотического перемещения частиц тем больше, чем меньше вязкость жидкости, препятствующая этому нарушению, и чем больше ее плотность, представляющая собой меру инерции отклонившихся от прямолинейного движения частиц. Поэтому при равных скоростях движения различных жидкостей в трубах одинакового диаметра турбулентность возникнет тем легче, чем больше и меньше , или чем меньше кинематическая вязкость = / . Соответственно критерий Рейнольдса может быть записан в виде

Re = (2)

Переход от ламинарного к турбулентному движению характеризуется критическим значением Re_кр. Так, при движении жидкостей по прямым гладким трубам Re_кр» 2320. При Re < 2320 течение обычно является ламинарным, поэтому данную область значений Re называют областью устойчивого ламинарного режима течения. При Re > 2320 чаще всего наблюдается турбулентный характер движения. Однако при 2320 < Re < 10000 режим течения еще неустойчиво турбулентный (эту область изменения значений Re часто называют переходной). Хотя турбулентное движение при таких условиях более вероятно, но иногда при этих значениях Re может наблюдаться и ламинарный поток. Лишь при Re > 10000 турбулентное движение становится устойчивым (развитым).

Указанное значение Re_кр = 2320 является условным, так как оно относится лишь к стабилизированному изотермическому потоку в прямых трубах с очень малой шероховатостью стенок. Наличие различных возмущений, обусловленных шероховатостью стенок трубы, изменением значения скорости потока или ее направления, близостью входа в трубу и т. п., может существенно снижать величину Re_кр. Критическое значение Re уменьшается и при неизотермичности потока по сечению трубы из-за возникновения конвективных токов жидкости в направлении, перпендикулярном к оси трубы.

В случае движения жидкости через каналы некруглого сечения при расчете критерия Re вместо d используют эквивалентный диаметр, определяемый отношением (27а).

В выражение для критерия Рейнольдса входит средняя скорость потока, характеризуемая уравнением (25). Действительные же скорости жидкости неодинаковы в разных точках сечения трубопровода.

Соотношение между средней скоростью w и максимальной скоростью w_max можно получить, сопоставив значение Q из уравнений расхода:

и (5)

откуда

. (6)

Сравнивая уравнения (5) и (6), находим

.

Таким образом, при ламинарном потоке в трубе средняя скорость жидкости равна половине скорости по оси трубы.

Соответственно параболический закон распределения скоростей по сечению трубы может быть представлен в виде

. (7)

Этот закон, выведенный теоретически, хорошо подтверждается эпюрами скоростей, полученными опытным путем (рис. 2, а).

При турбулентном движении из-за хаотического движения частиц происходит выравнивание скоростей в основной массе потока и их распределение по сечению трубы характеризуется кривой, отличающейся по форме от параболы на рис. 2, а; кривая имеет значительно более широкую вершину (рис. 2, б).

Опыт показывает, что средняя скорость w при турбулентном движении не равна половине максимальной (как для ламинарного движения), а значительно больше, причем w/w_max = f (Re). Например, при Re = 10⁴ скорость w» 0,8 w_max, а при Re = 10⁸ скорость w» 0,9 w_max.

В связи со сложным характером турбулентного движения не представляется возможным строго теоретически получить профиль распределения скоростей и значение w/w_max. Кроме того, при турбулентном потоке профиль скоростей (рис. 2, б) выражает распределение не истинных, а осредненных во времени скоростей.

Рис. 2. Распределение скоростей при различных режимах движения:

а – ламинарный поток; б – турбулентный поток