Основные свойства определенных интегралов

Определенный интеграл

Оглавление.

1. Понятие определенного интеграла.

2. Основные свойства определенных интегралов.

3. Формула Ньютона-Лейбница.

4. Интегрирование подстановкой.

5. Интегрирование по частям в определенном интеграле.

6. Несобственные интегралы.

7. Вычисление площадей плоских фигур.

8. Вычисление длины дуги плоской кривой.

9. Вычисление объём тела по площади поперечного сечения.

10. Вычисление объем тела вращения.

11. Приближенное вычисление определенного интеграла

Понятие определенного интеграла

Пусть дана функция

, определенная на отрезке

. Этот отрезок разобьем на

элементарных отрезков, шириной

, где

- номер отрезка. В каждом из этих элементарных отрезков выберем произвольную точку

. Значение функции в этой точке

умножим на длину отрезка

, получим произведение

Составим сумму всех таких произведений

Эта сумма называется интегральной суммой для функции на отрезке .

Определенным интегралом от функции на отрезке называется конечный предел ее интегральной суммы, когда число элементарных отрезков неограниченно возрастает, а длина их стремится к нулю. Определенный интеграл обозначается символом (читается: определенный интеграл от до ); называется подынтегральной функцией, - переменной интегрирования, - нижним, - верхним пределом интегрирования.

Следовательно, по определению

Определенный интеграл численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой , прямыми , и осью .

Теорема (существования определенного интеграла).

Если функция непрерывна на , то для нее существует определенный интеграл, т.е. существует предел интегральной суммы, составленный для функции на , и этот предел не зависит от способа разбиения на элементарные части и от выбора в них точек , при условии, что и наибольший .

Отметим, что определенный интеграл - это число, в то время как неопределенный интеграл - это функция.

Основные свойства определенных интегралов

1. .

2. - интеграл от конечного числа алгебраической суммы равен алгебраической сумме интегралов.

3. - определенный интеграл равен нулю при равенстве верхнего и нижнего пределов.

Замечание. До сих пор мы предполагали, что и . Понятие определенного интеграла распространяется и на случай, когда и .

4. - при перемене верхнего и нижнего пределов интеграл меняет знак.

5. -постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

6. если - неравенство можно почленно интегрировать.

7. - модуль от интеграла меньше или равен интегралу от модуля. Этот пункт отражает известную теорему: Модуль суммы меньше или равен суммы модулей.

Теорема о среднем. Если функция интегрируема на отрезке и для всех выполняется неравенство , то

Формула Ньютона-Лейбница

Вычисление определенного интеграла как предела интегральной суммы очень сложно.

Ньютон и Лейбниц доказали теорему, связывающую два важных понятия математического анализа - интеграла и производной. Эта теорема выражается соотношением (формула Ньютона-Лейбница)

Таким образом, для того чтобы вычислить определенный интеграл от непрерывной функции на отрезке , надо узнать ее первообразную функцию и взять разность значений этой первообразной на концах отрезка .

Еще раз отметим, что определенный интеграл это число, в то время как неопределенный - это функция. Поэтому совершенно все равно, по какой переменной (букве) ведется интегрирование

Пример. Вычислить интеграл .

4. Интегрирование подстановкой.

Теорема: Имеет место равенство

где функция непрерывно дифференцируема на , , и непрерывна на - образе отрезка при помощи функции .

Доказательство. Пусть и - первообразные функции соответственно и . Тогда справедливо тождество

где - некоторая постоянная. Поэтому

На основании формулы Ньютона-Лейбница, левая часть этого равенства равна левой части равенства теоремы, соответственно и правые части, что доказывает теорему.

Пример. Найти интеграл .

Сделаем замену переменных: . Найдем дифференциал : . В результате наш интеграл примет вид:

Преобразуем подынтегральное выражение:

Взяв этот интеграл, получим:

5. Интегрирование по частям в определенном интеграле.

Теорема. Справедлива формула интегрирования по частям для определенного интеграла

где и - непрерывно дифференцируемые на функции.

Доказательство. Произведение имеет на непрерывную производную

Поэтому по теореме Ньютона-Лейбница

Этим теорема доказана.

Пример. Найти интеграл .

Обозначим и . Тогда . Поэтому

Или, окончательно

Если - четная функция , то

Пример. Найти интеграл .

Преобразуем этот интеграл к виду

Сделаем замену . В результате пределы интегрирования изменятся: и . В результате получим:

Далее, если - нечетная функция , то

Если - периодическая функция периода - , то

Такие особенности в некоторых случаях упрощают процесс интегрирования.

Пример. Вычислить интеграл .

Преобразуем этот интеграл к виду:

Пределы интегрирования во втором интеграле представим как:

Согласно свойству периодической функции, перепишем это выражение:

Преобразуем далее

Пример. Определить объем продукции, произведенной рабочим за третий час рабочего дня, если производительность труда характеризуется функцией .

График этой функции имеет вид, изображенный на рисунке.

Решение. Если непрерывная функция характеризует производительность труда рабочего в зависимости от времени , то объем продукции, произведенной рабочим за промежуток времени от до будет выражаться формулой:

В нашем случае:

Пример. Определить запас товаров в магазине, образуемый за три дня, если поступление товаров характеризуется функцией .

Решение. Имеем:

6. Несобственные интегралы.

Пусть на конечном полуинтервале задана функция такая, что она интегрируема (т.е. конечна) на любом интервале , где , но неограниченна в окрестности точки . Тогда ее интеграл на , или, что то же самое, на не может существовать, так как интегрируемая функция должна быть ограничена.

Однако может случиться так, что существует конечный предел

То есть функция не ограничена, а ее интеграл ограничен. В этом случае записанный предел называют несобственным интегралом от на отрезке и записывают в виде

В таком случае говорят, что интеграл сходится. В противном случае говорят, что он расходится или не существует как несобственный риманов интеграл.

Аналогично и на полуинтервале

В связи с этим выражение

называется интегралом от с единственной особенностью в точке , если выполняется следующее условие: если конечная точка, то функция интегрируема на при любом удовлетворяющим неравенствам , и, кроме того, не ограничена в точке . Если же , то про функцию предполагается лишь, что она интегрируема на при любом конечном .

Также различают несобственные интегралы первого типа (с одним или двумя бесконечными пределами) и несобственные интегралы второго типа (от разрывных функций).

Несобственный интеграл первого рода, вычисляется обычно как