Применение МНК для решения переопределенных систем линейных алгебраических уравнений.

Пусть дана СЛАУ порядка относительно неизвестных:

, (2.7.11)

и при этом количество неизвестных меньше количества уравнений: . В общем случае, такая система является несовместной и не имеет точного решения. Тогда можно найти оптимальное решение, т.е. такое, при котором сумма

(2.7.12)

достигает своего минимума.

Сумма – функция переменных. Для определения точки минимума (оптимального решения) повторяем аналогичные выкладки из пункта 2.7.1:

.

Меняя порядок суммирования, получим СЛАУ относительно оптимальных значений :

, (2.7.13)

или в векторно-матричной форме:

, (2.7.14)

где коэффициенты матрицы и компоненты вектора правой части системы вычисляются по формулам

, ;	(2.7.15)
,

или

; . (2.7.16)

 

Пример 3.7.1. Пусть требуется найти оптимальное решение системы уравнений

Составим систему уравнений относительно оптимального решения

;

 

;

Полученная система имеет вид

 

Решением этой СЛАУ (оптимальным решением исходной СЛАУ) будут следующие значения: , .

 

 

Лабораторная работа 2.7.

 

Построение оптимальной прямой по методу наименьших квадратов

 

Задание.

Требуется определить оптимальную прямую для заданных точек на плоскости с координатами () (требуется составить программу в системе MATLAB (M-языке) и/или на языке Fortran и выполнить ручной счет).

 

Варианты задания.

Для расчета на ЭВМ следует взять точек.

Для ручного счета точки.

Точки берутся из таблиц Л.2.7.1 – Л.2.7.2 подряд, начиная с номера студента по журналу.

 

Таблица Л.2.7.1. Варианты заданий.

	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
	2 3 3 5 6 7 13 13 11 10 9 8 2 2 4 5 6 7 8 8 3 9 11
	1 2 3 4 7 7 15 17 11.5 10 8 6.5 1 3 4 5.5 6 6.5 7 9 3 8 10

 

Таблица Л.2.7.2. Варианты заданий (продолжение).

	24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43
	13 14 14 8 5 7 12 2 1 8 15 12 12 7 5 9 6 7 7 5
	12 13 14 9 6 7 11 1 1 7 15 13 12 6.5 5 8 6 6.5 8 4

 

 

Пример выполнения лабораторной работы.

Пусть заданы координаты точек, представленные в таблице Л.2.7.3.

Таблица Л.2.7.3. Координаты заданных точек.

2.5

4.5

 

Ручной счет.

Расчет сведен в табличную форму (см. таблицу Л.2.7.4).

Подставляем полученные значения в систему уравнений относительно коэффициентов оптимальной прямой и :

 

Таблица Л.2.7.4. Ручной счет.

		2.5
S		10.5

 

Решая эту систему, например, по методу Крамера, получим:

; ,

где

;

 

;

 

.

 

Тогда ;

и уравнение оптимальной прямой имеет вид:

.

Расчет на ЭВМ (Матлаб).

Пример М-файла.

function mnk

x=input('введите массив координат точек по оси x:');

y=input('введите массив координат точек по оси y:');

p1=polyfit(x,y,1);

y1=polyval(p1,x);

fprintf('\nоптимальная прямая: y=(%f)*x+(%f)\n',p1(1),p1(2))

s=sprintf('\noptimal line: y=(%f)*x+(%f)\n',p1(1),p1(2));

plot(x,y,'k*',x,y1,'k-')

grid on,legend('data points','optimal line',0),title(s)

 

Результаты расчета в командном окне при n=12:

введите массив координат точек по оси x:[1 2 3 4 4 5 3 6 10 8 9 7]

введите массив координат точек по оси y:[2 2.5 2 4 4.5 5 4 5 9 7 8 7]

оптимальная прямая: y=(0.791822)*x+(0.908922)

 

 

 

Замечания.

Для построения аппроксимирующего полинома заданной степени, приближающего функцию одной переменной, заданную соответствующими массивами значений, в системе MATLAB может использоваться функция
polyfit, реализующая метод наименьших квадратов. Имеем: q=polyfit(x,y,n), где y – вектор значений функции; x – вектор значений аргумента; n – порядок аппроксимирующего полинома; p – полученный в результате вектор коэффициентов аппроксимирующего полинома длиной n+1.