Кут між прямою і площиною.

Пряма в просторі.

1.Найбільш поширеним рівнянням прямої в просторі є канонічне рівняння прямої, тобто рівняння прямої через напрямний (m;n;p) і відому точку M₀(x₀;y₀;z₀). На прямій l візьмемо точку M(x;y;z) і розпишемо : (x- x₀;y- y₀;z- z₀); колінеарний : ;(1) – канонічне рівняння прямої через вектор і точку.

2.Відношення в рівності (1) позначимо через t:

=t; =t; =t; =>

; (2)- параметричне рівняння прямої.

3.Рівняння прямої через дві точки.

M(x;y;z) єl; M₁(x₁;y₁;z₁) єl; M₂(x₂;y₂;z₂) єl;

Нехай пряма в просторі проходить через ці точки.

 

l Розглянемо два вектори

(x-x₁;y-y₁;z-z₁);

M₂ (x₂-x₁;y₂-y₁;z₂-z₁);

M Ці вектори колінеарні.

 

M₁

;(3)

4.Загальне рівняння прямої.

Загальне рівняння прямої в просторі задається, як перетин двох площин.

Рівняння площин:

(4)

Подамо рівняння (4) у канонічному вигляді. Для цього треба на даній прямій мати відому точку і координати напрямного вектора до цієї прямої.

 

; (m;n;p); M₀(x₀;y₀;z₀).

За напрямний вектор візьмемо вектор який є векторним добутком векторів

= ,

Розв’язавши систему (4) отримаємо сукупність безлічі розв’язків, що лежать на даній прямій. При конкретному значенні вільної змінної одержимо точку, що лежить на прямій.

Наприклад:

Записати рівняння прямої в канонічному вигляді.

= = = 2 +2 + +4 - + =3 + +5 =(3;1;5);

Розв’яжемо систему рівнянь. Нехай Z вільна змінна.

Δ= =1+4=5;

ΔX= =z+2z+2=3z+2;

ΔY= =-z-1+2z=z-1;

;zєR;

Візьмемо точку з даної сукупності при z=1;

; M₀(1;0;1);

Отже отримаємо канонічне рівняння прямої

Кут між прямими в просторі

 

Нехай прямі в просторі задані канонічно. Знайдемо кут між ними і вияснимо умови ║і ┴ прямих.

l₁:

l₂:

cos φ=

l₁┴l₂ , якщо ┴ ;

=0 => m₁m₂+n₁n₂+p₁p₂=0;

l₁ ║ l₂ , якщо ║ ; =>

Кут між прямою і площиною.

1.Перетин прямої і площини.

Нехай пряма задана канонічно, а площина – загальними рівняннями:

α: ;

l:

Знайдемо їх перетин. Розв’яжемо систему:

Канонічне рівняння запишемо в параметричному вигляді:

;A(x₀+mt)+B(y₀+nt)+C(z₀+pt)+D=0;

Звідси знаходимо параметр t. Підставивши його в x,y,z одержимо координати точки перетину.

2.Кут між прямою і площиною.

Нехай площина задана загальним рівнянням, а пряма канонічно.

α: Ax+By+Cz+D=0; (A,B,C);

l: ; (m,n,p);

l

 

β φ

α

 

()=β; (l, α)=φ;

β + φ =90⁰; β=90⁰- φ; cos β=cos(90⁰- φ)=sin φ;

cos β= ;

sin φ= = ;

3.Умови ║ та прямої і площини.

l₁ α; => ║ ; =>

l₁║ α; => ┴ =>n S=0; => Am+Bn+Cp=0

 

Список використаних джерел

 

1) Дубовик В. П. Вища математика: навчальний посібник / В. П. Дубовик, І. І. Юрик; за ред. В.П. Дубовика, І.І. Юрика. – К.: А.С.К., 2005. – 648 с.: іл., с.37-39.

 

Контрольні питання

1. Які види рівняння в просторі?

2.Як знайти кут між прямими в просторі?

3. Як знайти кут між прямою і площиною в просторі?

4. Скласти канонічне рівняння прямої, заданої загальним рівнянням:

5.Знайти кут між прямими: та

 

Самостійна робота № 7

 

 

Тема. Поверхні другого порядку.

 

 

Мета: знати види поверхонь другого порядку, вміти їх розрізняти та будувати.

 

Кількість годин: 2

 

 

План

 

1. Сфера.

2. Еліпсоїд.

3. Однопорожнинний гіперболоїд

4. Двопорожниннний гіперболоїд.

5. Гіперболічний параболоїд.

6. Еліптичний параболоїд.

7. Конус другого порядку.

8. Циліндри другого порядку.

 

 

Поверхнями другого порядку називають поверхні, які в заданій декартовій системі координат записуються алгебраїчними рівняннями другого степеня.

Обмежимось розглядом найпростіших (канонічних) рівнянь поверхонь другого роду і з’ясуємо питання про їх форму за допомогою головних перерізів.

 

1. Сфера

Сферою називається поверхня, яка в прямокутній декартовій системі координат визначається рівнянням:

x²+y²+z²=R² (1), де R – радіус сфери

Рівняння (1) є рівнянням сфери з центром в початку координат:

z

x

y

O

x

y

z

 

Головними перерізами сфери з площиною симетрії х=0, у=о, z=0 є кола.

 

2. Еліпсоїд.

Еліпсоїдом називається поверхня, яка в прямокутній декартовій системі координат визначається рівнянням: (2), де а, b, с – півосі.

3. Однопорожнинний гіперболоїд

Якщо гіперболу обертати навколо уявної осі, то отримаємо поверхню, яка називається одно порожнин­ним гіперболоїдом.

Якщо ця уявна вісь паралельна OZ, то рівняння канонічне має вигляд

Головними перерізами однопорожнинного гіперболоїда з площинами х=0, у=0 є гіперболи. Перерізом цієї поверхні площиною z=0 або z= h є еліпс

y

О

x

z

 

4. Двопорожниннний гіперболоїд

Двопоржнинний гіперболоїд – це поверхня. канонічне рівняння якої має вигляд:

 

z

O

c

-c

x

y

 

 

Лінії перерізу двопорожнинного гіперболоїда площинами z= h ( >c)є еліпсами, а лінії перерізу площинами х=м, у=n є гіперболи.

 

5. Гіперболічний параболоїд

 

Гіперболічний параболоїд – це поверхня, канонічне рівняння якої має вигляд: , p>0, g>0 (5)

x

O

z

y

 

 

Лініями перерізу поверхні площиною z=h, є гіперболи. Лініями перерізу поверхні площинами х=м, у=n є параболи.

 

6. Еліптичний параболоїд.

Еліптичний параболоїд – це поверхня, канонічне рівняння якої має вигляд: , p>0, g>0 (6)

y

O

c

z

x

 

Координатні площини ХОУ, ХОZ є площинами симетрії поверхні. Площина z=0 має з поверхнею одну спільну точку О(0,0,0) – вершину параболоїда. Площина z=h (h>0) перетинає поверхню по еліпсу. Площини х=м, у=n перетинають поверхню по параболах.

 

7. Конус другого порядку

Конусом другого порядку називається поверхня, задана рівнянням:

O

y

x

z

 

Перерізами конуса площинами z=h є еліпси. Еліпс, який отримують при перерізі конуса площиною z=0 вироджується в точку. Лінії перерізу конуса площинами х=м чи у=n є гіперболи, які вироджуються в пару прямих, якщо м=0 чи n=0.

 

8. Циліндри другого порядку

Поверхня, утворена рухом прямої І паралельній самій собі вздовж лінії L називається циліндричною поверхнею. Пряма І називається твірною, а L – напрямною лінією циліндричної поверхні.

Циліндрами другого порядку називаються циліндричні поверхні, напрямними яких є лінії другого порядку. Якщо за напрямну лінію в площині z=0 взяти одну з кривих другого порядку:

(8), (9), у²=2рх (10), то кожне з цих рівнянь, стосовно до просторової системи координат, зображатиме циліндр другого порядку з твірними, паралельними осі OZ. Перерізами такого циліндра площинами z=h відповідно будуть еліпси, гіперболи параболи. Такі циліндри відповідно називають еліптичними, гіперболічними, параболічними:

 

а) еліптичний циліндр

 

 

y

x

z

O

 

 

б) Гіперболічний циліндр

 

 

O

x

y

z

 

в) Параболічний циліндр

x

y

z

O

 

Приклад. Зобразити тіло, обмежене поверхнями х²+у²=4, z=0, x+y+z=6.

Рівняння х²+у²=4 визначає круговий циліндр з твірними паралельними осі ОZ, напрямна лінія якого коло х²+у²=2² радіусом R=2 лежить в площині XOY. Z=0 – координатна площина XOY.

x+y+z=6 або площина, яка відтинає від осей координат відрізки довжиною по шість одиниць. Зобразимо тіло в просторовій системі координат.

 

x

y

z

 

 

Список використаних джерел

 

1) Дубовик В. П. Вища математика: навчальний посібник / В. П. Дубовик, І. І. Юрик; за ред. В.П. Дубовика, І.І. Юрика. – К.: А.С.К., 2005. – 648 с.: іл., с.114-124.

 

Контрольні питання

 

 

1. Які рівняння поверхонь другого порядку?

2. Визначити вид поверхні та побудувати її: а) ; б) ;

в) ; г) ; д) .

 

 

Самостійна робота № 8

 

Тема. Формули Ейлера. Показникова форма комплексного числа.

 

Мета: знати формули Ейлера, показникову форму комплексного числа, вміти переходити від алгебраїчної та тригонометричної форм до показникової та навпаки, виконувати дії над комплексними числами в показниковій формі.

 

Кількість годин: 2

 

 

План

 

1. Формули Ейлера.

2. Показникова форма комплексного числа.

 

 

1. Формули Ейлера

 

Степінь з комплексним показником визначається рівністю:

Можна довести, що

тобто

Зокрема, при отримується відношення

яке називається формулою Ейлера.

Для комплексних показників залишаються в силі основні правила дій з показниками: при множенні чисел показники додаються, при діленні – віднімаються, при піднесенні до степеня – перемножуються.

Показникова функція має період, який дорівнює , тобто . Зокрема, при одержується відношення .

Формула Ейлера встановлює зв’язок між тригонометричними функціями і показниковою функцією. Замінивши в ній у на і на , отримаємо

Додаючи і віднімаючи ці рівності, отримаємо

Ці дві прості формули, які також називають формулами Ейлера, виражають тригонометричні функції через показникові і дозволяють алгебраїчним шляхом отримати основні формули тригонометрії.

 

2. Показникова форма комплексного числа.

 

Тригонометричну форму комплексного числа можна замінити показниковою формою:

Множення, ділення, піднесення до цілого додатного ступеня та добування кореня цілого додатного ступеня для комплексних чисел, заданих в показниковій формі, виконуються за наступними формулами:

 

Приклади. 1. Знайти показникову форму чисел: 1) ; 2) .

… 1) для заданого числа знаходимо , , тобто ;

2) для заданого числа знаходимо , , тобто . †

2. Знайти алгебраїчну форму чисел: 1) ; 2) ; 3) .

… 1) За умовою маємо ;

2) з умови маємо ;

3) маємо . †

3. Знайти добуток і частку комплексних чисел та записати результати в тригонометричній формі: 1) ; ; 2) ; .

… 1) ;

;

2) ;

†

4. Обчислити 1) ; 2) , де , та представити результати в тригонометричній формі.

1) ;

2) .

;

; ; ;

. †

 

Список використаних джерел

 

1) Дубовик В. П. Вища математика: навчальний посібник / В. П. Дубовик, І. І. Юрик; за ред. В.П. Дубовика, І.І. Юрика. – К.: А.С.К., 2005. – 648 с.: іл., с. 344-347

Контрольні питання

 

1. Який вигляд має формула Ейлера?

2. Яка форма комплексного числа називається показниковою? Як додати, відняти, помножити, поділити, піднести до ступеня, добути корінь з комплексного числа, записаного в показниковій формі?

3.Записати в показниковій формі: 1) –1– і; 2) ; 3) –3; 4) 2 і; 5) .

4. Знайти тригонометричну та алгебраїчну форму комплексних чисел:

1); 2); 3); 4); 5).

 

Самостійна робота № 9

 

Тема. Обмежені функції. Монотонні функції. Парні і непарні функції. Періодичні функції. Обернені функції.

 

Мета: знати поняття обмеженої, монотонної, парної, непарної, періодичної та обмеженої функції, вміти їх досліджувати.

 

Кількість годин: 2

 

План

 

1. Обмежені функції.

2. Монотонні функції.

3. Парні і непарні функції.

4. Періодичні функції.

5. Обернені функції.

 

 

1.Обмежені функції

Функцію f(х), визначену на множиys А, називають обмеженою на цій множині, коли існуе таке число М >0, що для всіх х є А виконується нерівність | f(х) |≤М. Таким чином, значения обмеженої функції не виходять за межі відрізка [— М, М ]. Тому її графік лежить між прямими у = —М та у = М (рис. 1). Наприклад, функцїї у = sin x та у = соs х обмежені на всій числовій осі, бо

Якщо для функщй f(х) або φ (х), визначених на множині А, існуе таке число N, що виконується нерівність f(х)≤N або φ (х)≥N, то функцію f(х) називають обмеженою зверху, а φ (х) - обмеженою знизу. Наприклад, функція у = а^х на інтервалі обмежена знизу прямою у = 0, але не обмежена зверху; функція у = — х² + 4х — 3 (рис. 2) обмежена зверху прямою у = 1, але не обмежена знизу; функція у =1/х— необмежена.

Розглядаючи обмеженість функції f(х), ми тим самим характеризуємо множину значень цієї функції.

 

 

Рис. 1 Рис. 2

 

2.Монотонні функції

Нехай функція f(х) визначена на множині А. Якщо для двох довільних різних значень х ₁ і х ₂ аргументу, взятих із множини А, з нерівності х ₁ < х ₂ випливає, що:

а) f (х ₁ )< f(х ₂), то функція називається зростаючою;

б) f (х ₁ )≤ f(х ₂), то функція називається неспадною;

в) f (х ₁ )> f(х ₂), то функція називається спадною;

г) f (х ₁ )≥ f(х ₂), то функція називається незростаючою.

Наприклад, функція у = а^х є зростаючою при а > 1 і спадною при 0 < а < 1 на інтервалі ; функція у = — х² + 4х — 3 (рис. 2) є зростаючою на інтервалі (-∞; 2) і
спадною на інтервалі (2; +∞).

Зростаючі, незростаючі, спадні й неспадні функції на множині А називаються монотонними на цій множині, а зростаючі і спадні — строго монотонними.

Нехай функція не є монотонною в усій своїй області визначення, але цю область можна розбити на деяке (скінченне чи нескінченне) число проміжків, які не перетинаються і на кожному з яких функція монотонна. Такі проміжки називаються проміжками монотонності функції.

Так, функція у = х² не є монотонною на всій числовій осі, але має два проміжки монотонності: (—∞; 0) і (0; +∞); на першому з них функція спадає, а на другому — зростає.

Функції у = sin х і у = соs х мають нескінченну кількість проміжків монотонності.

1. Парні і непарні функції

Нехай функція f(х) визначена на множині А точок осі Ох, розміщених симетрично відносно точки х = 0, тобто якщо х А, то й —х А.

Функцію f (х) називають парною, якщо f(-х) = f(х), х А, і непарною, якщо f(-х) = - f(х), х А.

Приклади

1. Функція у = не є парною і не є непарною, бо її область визначення не симетрична відносно точки х = 0: в точці х = 2 функція визначена, а в точці х = - 2 — не визначена.

 

2. Функція у = має область визначення (—∞; 0) U (0;+ ∞), симетричну відносно точки х = 0, але не є ні парною, ні непарною, бо

3. Область визначення функції симетрична відносно точки х = 0, і ця функція парна, бо = f (x).

4. Функції у = sin x, у = tg x, y = сtg x — непарні, а у = соs x — парна.
Графік парної функції симетричний відносно осі Оу, а непарної — відносно початку координат. Крім того, якщо парна чи непарна функція має певну властивість
для додатних значень х, то можна визначити відповідну властивість для від'ємних
значень х. Наприклад, якщо для х > 0 парна функція зростає, то для х < 0 ця функція спадає.

2. Періодичні функції

Функція f(х), визначена на всій числовій прямій, називається періодичною, якщо існує таке число Т, що f(х + T) = f(х). Число Т називається періодом функції. Якщо Т — період функції, то її періодами є також числа kT, де k дорівнює ±1, ±2,.... Найменший
з додатних періодів функції, якщо такий існує, називається основним періодом функції.

Ми визначили періодичну функцію, задану на всій числовій прямій. Більш загальним є таке означення.

Функція f(х), визначена на множині X, називається періодичною на цій множині, якщо існує таке число T ≠ 0, що х + Т Х і f(х + T) = f(х), х X.

З означення випливає, що для побудови графіка періодичної з періодом Т функції досить побудувати її графік на довільному проміжку довжини Т, а потім продовжити цей графік на всю область визначення, повторюючи його через кожний проміжок довжини Т.

Приклади

1. Основним періодом функцій у = sin х, у = соs х є число T = 2π.

2. Функції у = tg х і у = сtg х мають основний період Т = π.

3. Періодом функції у = С (С — стала) є довільне, відмінне від нуля число; ця функція не має основного періоду.

4. Знайти період функції у = sin (ах + b), х .

Якщо ця функція періодична, то існує таке число T ≠ 0, що

sin (a х + b) = sin (a (х + Т) + b),

звідки

2π n + ах + b = ах + аТ + b, Т = 2π n/a.

Отже, основним періодом даної функції є число T = 2π /| a |.

Періодичні функції відіграють важливу роль для математичного опису періодичних явищ, що спостерігаються в природі. Характерною особливістю цих явищ є періодичне повторення їх через певні проміжки часу. Прикладами можуть бути рух маятника навколо осі, рух небесних тіл (планети рухаються по еліптичних орбітах), робота майже всіх машин і механізмів пов'язана з періодичним рухом (pух поршнів, шатунів тощо).

 

 

3. Обернені функції

Нехай задана функція у = f(х) з областю визначення Х і множиною значень Y. Функція f(х) кожному значенню х₀ Х ставить у відповідність єдине значення у₀ Y. При цьому може виявитись, що різним значенням аргументу х ₁ і х ₂ відповідає одне й те саме значення функції у₁. Додатково вимагатимемо, щоб функція f (х) різним значенням х ставила у відповідність різні значення у. Тоді кожному значенню у Y відповідатиме єдине значення х X, тобто можна визначити функцію х = φ(у) з областю визначення Y і множиною значень X. Ця функція називається оберненою функцією до даної.

Рис. 1

Отже, функція х= φ(у) є оберненою до функції у = f(х), якщо:

1) областю визначення функції φ є множина значень функції f;

2) множина значень функції φ є областю визначення функції f;

3) кожному значенню змінної у Y відповідає єдине значення змінної
х X. З цього випливає, що кожна з двох функцій у = f(х) і х = φ(у)
може бути названа прямою або оберненою, тобто ці функції взаємно
обернені.

Щоб знайти функцію х = φ(у), обернену до функції у = f(х), достатньо розв'язати рівняння f(х) = у відносно змінної х (якщо це можливо). Оскільки кожна точка (х; у) кривої у = f(х) є одночасно точкою кривої х = φ(у), то графіки взаємно обернених функцій у = f(х) і х = φ(у) збігаються. Якщо ж додатково зажадати, щоб, як звичайно, незалежна змінна позначалась через х, а залежна — через у, то замість функції х = φ(у) матимемо функцію у = φ(х). Це означає, що кожна точка M₁ кривої у = f(х) стане точкою M₂ кривої у = φ(х). Оскільки в системі координат Oxy точки M₁ і M₂ симетричні відносно прямої у = х, то графіки взаємно обернених функцій симетричні відносно бісектриси першого і третього координатних кутів (рис. 1).

З означення оберненої функції випливає, що функція має обернену тоді і тільки тоді, коли ця функція задає взаємно однозначну відповідність між множинами Х і Y. Таку властивість мають, зокрема, зростаючі функції, оскільки для них, і спадні функції, тому що для них. Звідси випливає, що будь-яка строго монотонна функція має обернену функцію. При цьому, якщо пряма функція строго зростає (спадає), то обернена їй функція також строго зростає (спадає).

Якщо функція у = f(х) зростає (спадає) і неперервна на відрізку [а; b ], то вона має обернену функцію, яка зростає (спадає) і неперервна на відрізку [ f (a); f (b)].

Приклади

1. Функція у = 2 х - 1, має обернену функцію у = (рис. 2):

 

Рис. 3

Рис. 2

2. Функція у = х ² на множині не має оберненої, тому що вона не є монотонною; на множині вона має обернену функцію у = , х (рис. 3).

 

Список використаних джерел

 

1) Дубовик В. П. Вища математика: навчальний посібник / В. П. Дубовик, І. І. Юрик; за ред. В.П. Дубовика, І.І. Юрика. – К.: А.С.К., 2005. – 648 с.: іл., ст. 142-147

Контрольні питання

1. Які функції називаються обмеженими? Навести приклади.

2. Які функції називаються монотонними? Навести приклади.

3. Які функції називаються парними, непарними? Які особливості цих функцій? Навести приклади.

4. Які функції називаються періодичними? Що називається її основним періодом? Навести приклади.

5. Як знайти функцію, обернену до даної? За яких умов існує обернена функція? Навести приклади.

6. Довести: а) функція у = х⁴ + 2х², х не є ні парною, ні непарною; б) функція у = х² + cos x, парна; в) функція у = х³ -3 sin x, - непарна.

7. Довести, що функція неперіодична, а функція має основним періодом число Т = .

 

 

Самостійна робота № 10

 

Тема. Властивості функцій, неперервних на відрізку.

 

Мета: знати поняття функції, неперервної на відрізку, теореми

Больцано-Коші та теорему Вейєрштрасса, вміти застосовувати їх до дослідження функцій на неперервність.

 

Кількість годин: 2

 

 

План

 

1. Функція, неперервна на відрізку.

2. Перша теорема Больцано-Коші.

3. Друга теорема Больцано-Коші.

4. Теорема Вейєрштрасса.

 

 

1. Функція, неперервна на відрізку.

 

Означення. Функція у = f(x) неперервна на проміжку (а, b), якщо вона неперервна в кожній точці цього проміжку.

Означення. Функція у = f(x) неперервна на відрізку [а, b], якщо вона неперервна на проміжку (а, b) і неперервна в точці х = а справа і в точці х = b зліва.

Означення. Функція у = f(x) називається неперервною в точці х₀ справа (зліва), якщо

Функція

неперервна в точці х₀ зліва.

Теорема 1. Усі елементарні функції неперервні на інтервалах визначеності.

Теорема 2. Нехай функції у = f(x) i y = g(x) — неперервні на інтервалі (а, b). Тоді їх наведені далі комбінації також неперервні:

1) f(x) ± g(x); 3) const g(x);

2) f(x) g(x); 4) f(x) / g(x), g(x) ¹ 0.

Теорема 3. Якщо функція у = f(x) неперервна в будь-якій точці х₀ і u = F(y) неперервна в точці f(x₀), то їх композиція
f о F — cкладена функція і u = F(f(x)) — неперервна в точці х₀.

Доведення. За означенням

Довести, що функція

неперервна в будь-якій точці х.

· Функція у є композицією двох неперервних функцій

і

Функція f(x) і F(x) неперервна згідно з теоремою 1, а їх композиція f о F неперервна за теоремою 3.

 

2. Перша теорема Больцано-Коші.

 

Нехай функція неперервна на відрізку [а; b] і на кінцях його набуває значень різних знаків. Тоді на інтервалі (а; b) знайдеться точка с, в якій функція перетворюється на нуль.

Доведення. Припустивши, для визначеності, що , розіб’ємо відрізок [а; b] пополам. У точці значення функції f(x) може дорівнювати нулю. У такому разі теорему доведено. Якщо ця функція не перетворюється на нуль у зазначеній точці, то позначимо [а₁; b₁] ту з половин даного відрізка, де на кінцях функція f (x) набуває значень різних знаків. Аналогічно відрізок [а₁; b₁] також розіб’ємо пополам. Якщо в його середині функція перетворюється на нуль, то теорему доведено. Якщо в цій точці функція відмінна від нуля, то позначаємо [а₂; b₂] ту з половин відрізка [а₁; b₁], на кінцях якої набуває значень різних знаків. Міркуючи так, або дістанемо функцію, що стає нулем у середині одного з утворюваних відрізків, або утворимо нескінченну послідовність вкладених відрізків [а; b], [а₁; b₁], [а₂; b₂], ….

Довжина цих відрізків прямує до нуля. Отже, існує точка с, така що . За припущенням маємо тобто і . Це означає, що . ¨

 

3. Друга теорема Больцано-Коші.

Нехай функція у = f(x) неперервна на відрізку [а; b] і на його кінцях набуває різних значень. Позначимо і . Тоді при будь-якому С: А < C < B знайдеться точка с із [a, b], така що f(с) = С.

Доведення. Розглянемо допоміжну функ­цію . Вона неперервна як різниця неперервних функцій. Маємо:

Тоді за теоремою Больцано—Коші знайдеться значення с, для якого і ¨

 

 

4. Теорема Вейєрштрасса.

Якщо функція у = f(x) визначена і неперервна на деякому відрізку [а, b], то вона обмежена на цьому відрізку. Функція у = f(x), неперервна на відрізку [а, b], досягає на ньому свого найбільшого та найменшого значення.

Розглянемо функцію Вона неперервна на інтервалі (0; 1], але не обмежена.

Розглянемо функцію у = х на інтервалі (0; 1). Ця функція обмежена. Її значення мають точну верхню та точну нижню межі. Побудуємо графік.

Список використаних джерел   1) Дубовик В. П. Вища математика: навчальний посібник / В. П. Дубовик, І. І. Юрик; за ред. В.П. Дубовика, І.І. Юрика. – К.: А.С.К., 2005. – 648 с.: іл., ст. 189-190 Контрольні питання 1. Яка функція називається неперервною на проміжку? 2. Сформулювати теореми про властивості функції, неперервної на відрізку. Який геометричний зміст цих теорем?   Самостійна робота № 11

Тема. Диференціал першого порядку, його геометричний зміст та застосування в наближених обчисленнях.

 

Мета: знати поняття диференціала першого порядку, його геометричний зміст, вміти застосовувати до наближених обчислень.

 

Кількість годин: 2

 

 

План

 

1. Диференціал першого порядку, його геометричний та механічний зміст і властивості.

2.Застосування диференціала в наближених обчисленнях.

 

1. Диференціал першого порядку, його геометричний та механічний зміст і властивості.

Поняття диференціала взаємозв'язане з поняттям похідної, і є одним з фундаментальних в математиці. Сам термін "диференціал" (від латинського слова differentia – різниця) введений у математику Лейбніцом. Розглянемо виведення формули диференціалу.

 

Нехай функція у = f (x) диференційовна в інтервалі .
З означення диференційовності маємо:

Звідси можна записати:

(1)

де функція при задовольняє умову

Із (1) для приросту функції дістаємо:

Покладемо, що .

Означення. Величина f¢ (x)D х називається диференціалом функції f(x) за приростом Dх.

Позначення:

Геометрична інтерпретація:

Диференціал є лінійним наближенням (апроксимацією) до приросту функції: . Наскільки менше , настільки краще наближення (апроксимація) (рис. 5.13).

Рис. 5.13

Нехай . Знайдемо диференціал df (x) і приріст D f (x) для і і порівняємо їх.

Рис. 5.14

1) ;

(рис. 5.14).

2)

.

. ·

Важлива властивість диференціала функції полягає в тому, що його вигляд лишається незмінним навіть у тому разі, коли переходять до іншої незалежної змінної.

¨ Справді, нехай у = f (x). Тоді диференціал цієї функції записується у вигляді

. (1)

Виконаємо заміну змінних u = j(x). Тоді функція у = f (u) буде функцією від змінної х:

.

Обчислюючи диференціал цієї функції, дістаємо:

, (2)

або

. (3)

Вираз є диференціалом функції u, оскільки . Тому (3) можна подати у вигляді

.

Отже, ми повернулися до вигляду диференціала (1), який був записаний за припущення, що змінна u є незалежною. Маємо властивість диференціала, яка називається його інваріантністю:

 

Формула для знаходження диференціала

справджується в усіх випадках: як тоді, коли u є незалежною змінною, так і тоді, коли u є функцією іншої незалежної змінної. В останньому випадку під множником du слід розуміти диференціал функції u.

2. Застосування диференціала в наближених обчисленнях.

Обчислити наближене за допомогою повного диференціала

О Розглянемо функцію і застосуємо до неї формулу (6), поклавши

arctg

Маємо

 

Список використаних джерел

 

1) Дубовик В. П. Вища математика: навчальний посібник / В. П. Дубовик, І. І. Юрик; за ред. В.П. Дубовика, І.І. Юрика. – К.: А.С.К., 2005. – 648 с.: іл., ст. 218-222

 

Контрольні питання

1. Що таке дифеенціал?

2.Як обчислюється диференціал?

3.Які є властивості диференціала?

4. Знайти диференціал функцій: а) ; б) .

5. Обчислити наближено: а) ; б) .

 

Самостійна робота № 12

 

 

Тема. Теореми Ферма, Ролля, Коші, Лагранжа.

 

Мета: знати теореми Ферма, Ролля, Коші, Лагранжа, вміти застосовувати їх до задач.

 

Кількість годин: 2

 

 

План

 

1. Теореми про середнє значення.

 

2. Теорема Ферма.

 

3. Теорема Ролля.

 

4. Теорема Лагранжа.

 

5.Теорема Коші.

 

 

1. Теореми про середнє значення

 

Важливе значення у курсі математичного аналізу мають так звані

 

теореми про середнє значення диференціального числення, в яких під знаком

 

похідної знаходиться середнє значення незалежної змінної, котре взагалі нам

 

невідоме. Воно і похідній надає, в деякому розумінні, середнє значення. У

 

зв’язку з цим усі ці теореми називають “теоремами про середнє”.

 

2. Теорема Ферма

 

Теорема. Нехай функція визначена на інтервалі і в деякій точці має

 

найбільше або найменше значення. Тоді, якщо в цій точці існує похідна, то

 

вона рівна нулю, тобто .

 

Обертання в нуль похідної в точці, означає, що дотична до графіка

функції в точці з абсцисою паралельна осі.

 

Теорема Ферма неправильна, коли замість інтервалу розглядати відрізок.

 

 

 

3. Теорема Ролля

 

Теорема. Якщо функція визначена на відрізку і вона

 

1) неперервна в кожній точці відрізка.

 

2) диференційована на інтервалі.

 

3) на кінцях відрізка приймає рівні значення,

 

то існує точка така, що .

 

 

4.Теорема Лагранжа

 

Якщо функція визначена на відрізку і вона

 

1) неперервна в кожній точці відрізка,

 

2) диференційована на інтервалі, то існує точка така, що

 

.

 

Геометричний зміст теореми Лагранжа полягає в наступному. Якщо

 

функція задовольняє умовам теореми Лагранжа, то існує точка така, що

 

дотична до графіка функції у точці паралельна хорді, проведеній через точки.

 

 

5. Теорема Коші

 

Теорема. Якщо функції .неперервні на відрізку ,

 

2) диференційовані на інтервалі .

 

то існує точка с така, що .

 

 

Список використаних джерел

 

1) Дубовик В. П. Вища математика: навчальний посібник / В. П. Дубовик, І. І. Юрик; за ред. В.П. Дубовика, І.І. Юрика. – К.: А.С.К., 2005. – 648 с.: іл., ст. 228-233

Контрольні питання

 

1. Сформулювати теорему Ферма.

2. Сформулювати теорему Ролля.

3. Сформулювати теорему Лагранжа.

4. Сформулювати теорему Коші.

 

 

Самостійна робота № 13

 

Тема. Найбільше і найменше значення функції.

 

Мета: знати схему визначення найбільшого та найменшого значень функції, вміти знаходити найбільше та найменше значення функції.

 

Кількість годин: 2

 

 

План

 

1. Схема визначення найбільшого та найменшого зна