Связь ускорения со смещением

Электричество и магнетизм

2.1 Заряды взаимодействуют между собой – одноименные отталкиваются, а разноименные притягиваются.

Точечный электрический заряд – это заряженное тело нулевых размеров. Точечным зарядом можно считать заряженное тело, размеры которого много меньше расстояния до других заряженных тел. Заряды создают в окружающем их пространстве электрические поля, посредством которых заряды взаимодействуют друг с другом.

З-н Кулона: 2 точечных заряда в вакууме взаимодействуют с силами, величина которых прямо пропорциональна величинам этих зарядов, и обратно пропорцион квадрату расстояния между ними.

Напряженностью называется векторная физ величина, численно равная отношению силы, действующей на заряд, помещенный в данную точку поля, к величине этого заряда.

.

Закон Кулона: . Напряженность поля: .

Тогда напряженность поля точечного заряда:

 

Принцип суперпозиции. Напряжённость поля, создаваемого системой неподвижных точечных зарядов q ₁, q ₂, q ₃,…, q_n, равна векторной сумме напряжённостей электрических полей, создаваемых каждым из этих зарядов в отдельности:

где r_i – расстояние между зарядом q_i и рассматриваемой точкой поля.

Потенциал электростатического поля – это скалярная энергетическая характеристика электростатич поля.

Wp=kq1q2/r

Потенциал поля точечного заряда Q в однородной изотропной среде с диэлектрической проницаемостью e:

.

Принцип суперпозиции. Потенциал есть скалярная функция, для неё справедлив принцип суперпозиции. Так для потенциала поля системы точечных зарядов Q _1, Q ₂¼, Q_n имеем

Работа электрического поля.

Разность потенциалов(U).

Разность потенциалов двух точек поля φ1 - φ2 называется н а п р я ж е н и е м, измеряется в вольтах и обозначается буквой U.

 

Связь разности потенциалов с напряженностью: A=Eq*dr, A=Uq, U=A/q=E*dr

 

2.2 Электрический конденсатор – это система из 2ух или более электродов (обкладок), разделенных диэлектриком, толщина которого мала по сравнению с размерами обкладок. Это устройство для накопления заряда и энергии электрического поля. (C)=(Ф)=(Кл/В)

Электроемкость плоского конденсатора.

, Согласно принципу суперпозиции: ,

 

Поверхностная плотность σ заряда пластин равна q / S, где q – заряд, а S – площадь каждой пластины.

Электроемкость плоского конденсатора прямо пропорциональна площади пластин (обкладок) и обратно пропорциональна расстоянию между ними. Если пространство между обкладками заполнено диэлектриком, электроемкость конденсатора увеличивается в ε раз:

Энергия электрического поля.

 

2.3 Электрический ток – это упорядоченное движение свободных электрически заряженных частиц (например, под воздействием электрического поля).

Сила тока – физ величина, равная отношению кол-ва заряда, прошедшего за некоторое время через поперечное сечение проводника, к величине этого промежутка времени. I=dq/dt (A=Кл/с)

Плотность тока – вектор, модуль которого равен отношению силы тока, протекающего через некоторую площадку, перпендикулярно направлению тока, к величине этой площадки.

Электродвижущая сила (ЭДС) — скалярная физическая величина, характеризующая работу сторонних (непотенциальных) сил в источниках постоянного или переменного тока.

, где — элемент длины контура. E=A/q, где А-работа сторонних сил

Напряжение – отношение работы электрического поля при переносе заряа из одной точки в другую к величине этого заряда.

U=A/q=E*dr

Электрическое сопротивление – физ величина, характеризующая св-ва проводника препятствовать прохождению электрического тока и равная отношению напряжения на концах проводника к силе тока, протекающей по нему.

где ρ — удельное сопротивление вещества проводника, l — длина проводника, а S — площадь сечения.

При протекании тока по металлическому проводнику не происходит переноса в-ва, ионы металла не принимают участия в переносе электрического заряда.

З-н Ома – физ закон, определяющий связь между напряжением, силой тока и сопротивлением проводника в электриче.

Закон Ома для полной цепи:

Для участка цепи:

 

Сопротивление зависит как от материала, по которому течёт ток, так и от геометрических размеров проводника.

Полезно переписать закон Ома в дифференциальной форме, в которой зависимость от геометрических размеров исчезает, и тогда закон Ома описывает исключительно электропроводящие свойства материала. Для изотропных материалов имеем:

где:

• — вектор плотности тока,
• — удельная проводимость,
• — вектор напряжённости электрического поля.

 

 

Работа электрического тока:

Δ A = (φ₁ – φ₂) Δ q = Δφ₁₂ I Δ t = U I Δ t, RI = U, R I² Δt = U I Δt = ΔA

Работа Δ A электрического тока I, протекающего по неподвижному проводнику с сопротивлением R, преобразуется в тепло Δ Q, выделяющееся на проводнике.

Δ Q = Δ A = R I ² Δ t.

З-н Джоуля-Ленца определяет кол-во тепла, выделяющегося в проводнике при прохождении через него электрического тока. Так как в их опытах единственным результатом работы было нагревание металлического проводника, то следовательно по закону сохранения энергии вся работу превращается в тепло.

 

2.4 Магнитное взаимодействие – это взаимодействие движущихся зарядов.

Магнитное поле создается: движущимися электрическими зарядами, проводниками с током, постоянными магнитами.

1)Индукция магнитного поля(В) – векторная величина, которая является характеристикой магнитного поля. Определяет с какой силой магнитное поле действует на заряд, движущийся со скоростью. (В)=(Тл)

B=Fлmax/q*V – если заряд попадает в поле перпендикулярно линиям м. индукции

2) В – это физ величин, равная max силе Ампера, действующей на единичный элемент проводника с током. B=dFamax/I*dl

Для определения направления вектора В используют правило правой руки (винта, буравчика).

Для магнитного поля справедлив принцип суперпозиции.

Вектор В является касательным к силовым линиям м. поля.

Если В в каждой точке поля остается постоянным как по величине, так и по направлению, то такое м. поле называется однородным. Такое поле можно создать с помощью бесконечно длиной катушки с током (соленоид).

Напряженность магнитного поля необходима для определения магнитной индукции поля, создаваемого токами различной конфигурации в различных средах. Напряженность магнитного поля характеризует магнитное поле в вакууме.

Напряженность магнитного поля (формула) векторная физическая величина, равная:

μ 0 – магнитная постоян, μ – м. проницаемость среды

Напряженность магнитного поля в СИ - ампер на метр (А/м).

Векторы индукции (В) и напряженности магнитного поля (Н) совпадают по направлению.

Напряженность магнитного поля зависит только от силы тока, протекающего по проводнику, и его геометрии.

Закон Ампера — закон взаимодействия электрических токов. Из закона Ампера следует, что параллельные проводники с электрическими токами, текущими в одном направлении, притягиваются, а в противоположных — отталкиваются.

На проводник с электрическим током, помещенный в магнитное поле действует сила Ампера.

, где — угол между векторами магнитной индукции и тока.

Сила максимальна когда элемент проводника с током расположен перпендикулярно линиям магнитной индукции ():

.

Направление определяется по правилу левой руки.

Закон Био — Савара — Лапласа и его применение к расчету магнитного поля

Магнитное поле постоянных токов различной формы изучалось французскими учеными Ж. Био (1774—1862) и Ф. Саваром (1791—1841). Результаты этих опытов были обобщены выдающимся французским математиком и физиком П. Лапласом.

Закон Био — Савара — Лапласа для проводника с током I, элемент dl которого создает в некоторой точке А (рис. 164) индукцию поля dB, записывается в виде

(110.1)

где dl — вектор, по модулю равный длине dl элемента проводника и совпадающий по направлению с током, r—радиус-вектор, проведанный из элемента dl проводника в точку А поля, r — модуль радиуса-вектора r. Направление dB перпендикулярно dl и r, т. е. перпендикулярно плоскости, в которой они лежат, и совпадает с касательной к линии магнитной индукции. Это направление может быть найдено по правилу нахождения линий магнитной индукции (правилу правого винта): направление вращения головки винта дает направление dB, если поступательное движение винта соответствует направлению тока в элементе.

Модуль вектора dB определяется выражением

(110.2)

где a — угол между векторами dl и r.

Для магнитного поля, как и для электрического, справедлив принцип суперпозиции: магнитная индукция результирующего поля, создаваемого несколькими токами или движущимися зарядами, равна векторной сумме магнитных индукций складываемых полей, создаваемых каждым током или движущимся зарядом в отдельности: Напряженность и потенциал поля диполя. Решение задач по физике

(110.3)

Расчет характеристик магнитного поля (В и Н) по приведенным формулам в общем случае сложен. Однако если распределение тока имеет определенную симметрию, то применение закона Био — Савара — Лапласа совместно с принципом суперпозиции позволяет просто рассчитать конкретные поля. Рассмотрим два примера.

1. Магнитное поле прямого тока — тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 165). В произвольной точке А, удаленной от оси проводника на расстояние R, векторы dB от всех элементов тока имеют одинаковое направление, перпендикулярное плоскости чертежа («к вам»). Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей. В качестве постоянной интегрирования выберем угол a (угол между векторами dl и r), выразив через него все остальные величины. Из рис. 165 следует, что

(радиус дуги CD вследствие малости dl равен r, и угол FDC по этой же причине можно считать прямым). Подставив эти выражения в (110.2), получим, что магнитная индукция, создаваемая одним элементом проводника, равна

(110.4)

Так как угол a для всех элементов прямого тока изменяется в пределах от 0 до p, то, согласно (110.3) и (110.4),

Следовательно, магнитная индукция поля прямого тока

(110.5)

2. Магнитное поле в центре кругового проводника с током (рис. 166). Как следует из рисунка, все элементы кругового проводника с током создают в центре магнитные поля одинакового направления — вдоль нормали от витка. Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей. Так как все элементы проводника перпендикулярны радиусу-вектору (sina =1) и расстояние всех элементов проводника до центра кругового тока одинаково и равно R, то, согласно (110.2),

Тогда

Следовательно, магнитная индукция поля в центре кругового проводника с током

 

Магнитное поле действует только на движущиеся электрические заряды и на частицы и тела, обладающие магнитным моментом.

На электрически заряженную частицу, движущуюся в магнитном поле со скоростью v, действует сила Лоренца, которая направлена всегда перпендикулярно направлению движения. Величина этой силы зависит от направления движения частицы по отношению к вектору магнитной индукции и определяется выражением

→

Движение заряженных частиц в электрическом и магнитном полях.

На заряженную частицу со стороны электрического поля действует постоянная сила F=qE, которая сообщает частице постоянное ускорение .

 

При движении заряженной частицы в однородном постоянном магнитном поле на нее действует сила Лоренца . Если начальная скорость частицы перпендикулярна вектору магнитной индукции поля, то заряженная частица движется по окружности.

 

2.5 Работа магнитного поля при движении проводника с током.

На проводник с током в магнитном поле действуют силы, которые определяются с помощью закона Ампера. Если проводник не закреплен, то под действием силы Ампера он в магнитном поле будет перемещаться. Значит, магнитное поле совершает работу по перемещению проводника с током.

Для вычисления этой работы рассмотрим проводник длиной l с током I (он может свободно двигаться), который помещен в однородное внешнее магнитное поле, которое перпендикулярно плоскости контура. Сила, направление которой определяется по правилу левой руки, а значение — по закону Ампера, рассчитывается по формуле

Под действием данной силы проводник передвинется параллельно самому себе на отрезок dx из положения 1 в положение 2. Работа, которая совершается магнитным полем, равна

так как l dx=dS — площадь, которую пересекает проводник при его перемещении в магнитном поле, BdS=dФ — поток вектора магнитной индукции, который пронизывает эту площадь. Значит,

т. е. работа по перемещению проводника с током в магнитном поле равна произведению силы тока на магнитный поток, пересеченный движущимся проводником.

Магнитный поток (Ф)=(Вебер,Вб).

1)Магнитным потоком называется физ величина, численно равная скалярному произведению потока вектора магнитной индукции на площадь малой площадки.

dФ = B*dS(вектор), где dS(вектор) = n(вектор)*dS. n(вектор) – нормаль к площадке, dS – размер площадки

dФ = B*dS = B*dS*cosa = Bn*dS, угол а = (n,B), Bn = B*cosa

2) Магнитным потоком через произвольную пов-ть S называется скалярная физ величина, численно равная интегралу, взятому по пов-ти S от скалярного произведения B*dS

3) Потоком вектора Ф через замкнутую пов-ть называется интеграл, взятый от B*dS

Теорема Гаусса. В соответствии с теоремой Гаусса для магнитной индукции поток вектора магнитной индукции через любую замкнутую поверхность равен нулю:

Физический смысл: эта теорема утверждает, что магнитных зарядов в природе не существует.

Индуктивность (или коэффициент самоиндукции) — коэффициент пропорциональности между электрическим током, текущим в каком-либо замкнутом контуре, и магнитным потоком, создаваемым этим током через поверхность, краем которой является этот контур.

— магнитный поток, — ток в контуре, — индуктивность

Индуктивность соленоида:

Магнитная индукция в соленоиде определяется по формуле:

где μ₀ - магнитная постоянная, равна 4p×10^-7 Гн/м,

μ - магнитная проницаемость среды, заполняющей соленоид,

N - число витков соленоида,

I - сила тока.

Магнитный поток через N витков соленоида будет равен

,

где S – площадь сечения соленоида. Сравнивая формулы легко найти, что индуктивность соленоида

 

2.6 Электромагнитная индукция — явление возникновения электрического тока в замкнутом контуре при изменении магнитного потока, проходящего через него.

1)Электродвижущая сила, возникающая в замкнутом проводящем контуре, пропорциональна скорости изменения магнитного потока через поверхность, ограниченную этим контуром.

Величина электродвижущей силы (ЭДС) не зависит от того, что является причиной изменения потока — изменение самого магнитного поля или движение контура (или его части) в магнитном поле. Электрический ток, вызванный этой ЭДС, называется индукционным током.

Согласно закону электромагнитной индукции Фарадея:

, — магнитный поток через один виток.

2) Рассмотрим возникновение ЭДС индукции в прямоугольном контуре, помещенном в однородное магнитное поле В перпендикулярное плоскости контура.

Пусть одна из сторон контура длиной l скользит со скоростью по двум другим сторонам

На свободные заряды на этом участке контура действует сила Лоренца. Одна из составляющих этой силы, связанная с переносной скоростью зарядов, направлена вдоль проводника. Эта составляющая указана на рис. 1.20.3. Она играет роль сторонней силы. Ее модуль равен

F Л = e υ B

Работа силы F _Л на пути l равна

A = F Л · l = e υ Bl.

По определению ЭДС

В других неподвижных частях контура сторонняя сила равна нулю. Соотношению для _инд можно придать привычный вид. За время Δ t площадь контура изменяется на Δ S = l υΔ t. Изменение магнитного потока за это время равно ΔΦ = Bl υΔ t. Следовательно,

 

Самоиндукция — возникновение ЭДС индукции в замкнутом проводящем контуре при изменении тока, протекающего по контуру.

При изменении тока в контуре пропорционально меняется и магнитный поток через поверхность, ограниченную этим контуром. Изменение этого магнитного потока, в силу закона электромагнитной индукции, приводит к возбуждению в этом контуре индуктивной ЭДС. Это явление и называется самоиндукцией.

Направление ЭДС самоиндукции всегда оказывается таким, что при возрастании тока в цепи ЭДС самоиндукции препятствует этому возрастанию (направлена против тока), а при убывании тока — убыванию (сонаправлена с током).

.

Коэффициент пропорциональности называется коэффициентомсамоиндукции или индуктивностью контура (катушки).

Энергия магнитного поля.

Проводник, c протекающим по нему электрическим ток, всегда окружен магнитным полем, причем магнитное поле исчезает и появляется вместе с исчезновением и появлением тока. Магнитное поле, подобно электрическому, является носителем энергии. Логично предположить, что энергия магнитного поля совпадает с работой, затрачиваемой током на создание этого поля.

Рассмотрим контур индуктивностью L, по которому протекает ток I. С этим контуром сцеплен магнитный поток Ф=LI, поскольку индуктивность контура неизменна, то при изменении тока на dI магнитный поток изменяется на dФ=LdI. Но для изменения магнитного потока на величину dФ следует совершить работу dА=IdФ=LIdI.

Тогда работа по созданию магнитного потока Ф равна

Значит, энергия магнитного поля, которое связано с контуром,

 

2.7 Колебательный контур — осциллятор, представляющий собой электрическую цепь, содержащую соединённые катушку индуктивности и конденсатор. В такой цепи могут возбуждаться колебания тока (и напряжения). Колебательный контур — простейшая система, в которой могут происходить свободные электромагнитные колебания.

Принцип действия:

Пусть конденсатор ёмкостью C заряжен до напряжения . Энергия, запасённая в конденсаторе составляет

 

При соединении конденсатора с катушкой индуктивности, в цепи потечёт ток , что вызовет в катушке электродвижущую силу (ЭДС) самоиндукции, направленную на уменьшение тока в цепи. Ток, вызванный этой ЭДС (при отсутствии потерь в индуктивности) в начальный момент будет равен току разряда конденсатора, то есть результирующий ток будет равен нулю. Магнитная энергия катушки в этот (начальный) момент равна нулю.

Затем результирующий ток в цепи будет возрастать, а энергия из конденсатора будет переходить в катушку до полного разряда конденсатора. В этот момент электрическая энергия конденсатора . Магнитная же энергия, сосредоточенная в катушке, напротив, максимальна и равна

, где — индуктивность катушки, — максимальное значение тока.

После этого начнётся перезарядка конденсатора, то есть заряд конденсатора напряжением другой полярности. Перезарядка будет проходить до тех пор, пока магнитная энергия катушки не перейдёт в электрическую энергию конденсатора. Конденсатор, в этом случае, снова будет заряжен до напряжения .

Электромагнитные колебания - взаимосвязанные колебания электрического и магнитного полей.

Электромагнитные колебания появляются в различных электрических цепях. При этом колеблются величина заряда, напряжение, сила тока, напряженность электрического поля, индукция магнитного поля и другие электродинамические величины.

Свободные электромагнитные колебания возникают в электромагнитной системе после выведения ее из состояния равновесия, например, сообщением конденсатору заряда или изменением тока в участке цепи. Это затухающие колебания, так как сообщенная системе энергия расходуется на нагревание и другие процессы.

Вынужденные электромагнитные колебания - незатухающие колебания в цепи, вызванные внешней периодически изменяющейся синусоидальной ЭДС.

Электромагнитные колебания описываются теми же законами, что и механические, хотя физическая природа этих колебаний совершенно различна.

Электрические колебания - частный случай электромагнитных, когда рассматривают колебания только электрических величин. В этом случае говорят о переменных токе, напряжении, мощности и т.д.

Период колебаний в контуре дается формулой (Томсона):

Формула Томсона устанавливает связь между периодом собственных колебаний в контуре без активного сопротивления с индуктивностью и электроемкостью контура.

 

Величина:

является циклической частотой.

 

Электромагнитные колебания, возникшие в замкнутом контуре, в окружающее его пространство практически не излучаются. Для этих целей примеряется открытый колебательный контур, который называется антенной или вибратором.
Если раздвигать пластины конденсатора, интенсивность излучения электромагнитных волн в окружающее пространство будет возрастать, а замкнутый колебательный контур превратится в открытый.

2.8 Основные положения теории электромагнитного поля Максвелла:

• Электромагнитное поле реально и существует независимо от того, имеются или нет проводники и магнитные полюса, обнаруживающие его. Максвелл определял это поле следующим образом:

«...электромагнитное поле - это та часть пространства, которая содержит в себе и окружает тела, находящиеся в электрическом или магнитном состоянии».

• Изменение электрического поля ведет к появлению магнитного поля и наоборот.

Векторы напряженности электрического и магнитного полей перпендикулярны. Это положение объясняло, почему электро­магнитная волна исключительно поперечна.

• Передача энергии происходит с конечной скоростью. Таким образом обосновывался принцип близкодействия.

• Скорость передачи электромагнитных колебаний равна ско­рости света (с). Из этого следовала принципиальная тождественность электромагнитных и оптических явлений. Оказалось, что различия между ними только в частоте колебаний электромагнитного поля.

Возникновение электромагнитной картины мира характеризует качественно новый этап эволюции науки.

Из уравнений Максвелла следует, что источниками электрического поля могут быть либо электрические заряды, либо изменяющиеся во времени магнитные поля, а магнитные поля могут возбуждаться или движущимися электрическими зарядами (электрическими токами), или переменными электрическими полями.

Из уравнений Максвелла следует, что переменное магнитное поле всегда связано с порождаемым им электрическим полем, а переменное электрическое поле - с порождаемым им магнитным, т.е. электрическое и магнитное поля неразрывно взаимосвязаны и образуют единое электромагнитное поле.

Электромагнитные волны возникают при ускоренном движении электрических зарядов. Электромагнитные волны – это взаимосвязанное распространение в пространстве изменяющихся электрического и магнитного полей. Совокупность этих полей, неразрывно связанных друг с другом, называется электромагнитным полем.

Скорость распространения электромагнитных волн в вакууме не зависит от длины волны и равна: С = 2,997925 • 108 м/с.

Электромагнитная волна, распространяясь в неограниченном пространстве со скоростью света, создает переменное электромагнитное поле, которое способно воздействовать на заряженные частицы и токи, в результате чего происходит превращение энергии поля в другие виды энергии.

В настоящее время все электромагнитные волны разделены по длинам волн (и, соответственно, по частотам) на шесть основных диапазонов: радиоволны, инфракрасное излучение, видимое излучение, ультрафиолетовое излучение, рентгеновские лучи, γ-излучение.

 

3. Колебания. Волны. Волновая оптика.

3.1. Механические колебания. Смещение, амплитуда, период, частота, фаза и циклическая частота колебаний. Гармонические колебания. Уравнение гармонических колебаний. Скорость и ускорение движения при гармонических колебаниях. Связь ускорения со смещением.
Механическими колебаниями называют движения тел, повторяющиеся точно (или приблизительно) через одинаковые промежутки времени.

ЧАСТОТА КОЛЕБАНИЙ, число колебаний в 1 с. измеряется в герцах (Гц).

ПЕРИОД колебаний, наименьший промежуток времени, через который совершающая колебания система возвращается в то же состояние, в котором она находилась в начальный момент, выбранный произвольно.

АМПЛИТУДА наибольшее отклонение от равновесного значения величины, колеблющейся по определенному закону.

S(t)=A sin(ωt+φ₀), где ω=2π/T=2πν=const – циклическая частота гармонических колебаний.
φ – постоянная величина.

A = S_max=const>0 – максимальное значение колеблющейся величины S, называемое амплитудой колебаний.

Значение S в произвольный момент времени t определятся значением фазы колебаний Ф (t) = (ωt+φ₀). Величина φ₀ представляет собой начальную фазу колебаний.

 

Пусть материальная точка осуществляет прямолинейные гармонические колебания вдоль оси координат х вокруг положения равновесия, которое принято за начало координат. Тогда зависимость координаты х от времени t определяется уравнением:

(1)

Продифференцировав (1) получим, что скорость ν и ускорение а колеблющейся точки равны соответственно

(2)

V=Aω₀ – амплитуда скорости. A=Aω² =Vω- амплитуда ускорения.

Сила F=m a, которая действует на колеблющуюся материальную точку массой m, с учетом (1) и (2) будет равна

Значит, сила прямо пропорциональна смещению материальной точки из положения равновесия и направлена в противоположную сторону (т.е. к положению равновесия).

Связь ускорения со смещением

Величина   - максимальное ускорение (амплитуда колебаний ускорения). Следовательно, для ускорения имеем: ,   а для случая нулевой начальной фазы: (см. график).
Из анализа процесса колебательного движения, графиков и соответствующих математических выражений видно, что при прохождении колеблющимся телом положения равновесия (смещение равно нулю) ускорение равно нулю, а скорость тела максимальна (тело проходит положение равновесия по инерции), а при достижении амплитудного значения смещения – скорость равна нулю, а ускорение максимально по модулю (тело меняет направление своего движения).
Сравним выражения для смещения и ускорения при гармонических колебаниях: и .
Можно записать: -   т.е. вторая производная смещения прямо пропорциональна (с противоположным знаком) смещению. Такое уравнение наз. уравнением гармонического колебания. Эта зависимость выполняется для любого гармонического колебания, независимо от его природы. Поскольку мы нигде не использовали параметров конкретной колебательной системы, то от них может зависеть только циклическая частота.

 

3.2 Представление гармонических колебаний в виде вращающегося вектора. Сложение двух гармонических колебаний с одинаковыми частотами, совершающихся в одном направлении. Условия усиления и максимального усиления колебаний. Условия ослабления и наибольшего ослабления колебаний.

· Гармоническое (то есть синусоидальное) колебание может быть представлено графически в виде проекции на некоторую ось (обычно берут ось координат Оx) вектора, вращающегося с постоянной угловой скоростью ω. Длина вектора соответствуетамплитуде, угол поворота относительно оси (Ox) - фазе.

Сумма (или разность) двух и более колебаний на векторной диаграмме представлена при этом (геометрической) суммой^[1] (или разностью) векторов этих колебаний. Мгновенное значение искомой величины определяется при этом проекцией вектора суммы на ось Оx, амплитуда - длиной этого вектора, а фаза - углом его поворота относительно Ox.

· Колеблющееся тело может принимать участие в нескольких колебательных процессах, тогда следует найти результирующее колебание, другими словами, колебания необходимо сложить. В данном разделе будем складывать гармонические колебания одного направления и одинаковой частоты

применяя метод вращающегося вектора амплитуды, построим графически векторные диаграммы этих колебаний (рис. 1). Tax как векторы A₁ и A₂ вращаются с одинаковой угловой скоростью ω₀, то разность фаз (φ₂ - φ₁) между ними будет оставаться постоянной. Значит, уравнение результирующего колебания будет

(1)

В формуле (1) амплитуда А и начальная фаза φ соответственно определяются выражениями

(2)

Значит, тело, участвуя в двух гармонических колебаниях одного направления и одинаковой частоты, совершает при этом также гармоническое колебание в том же направлении и с той же частотой, что и складываемые колебания. Амплитуда результирующего колебания зависит от разности фаз (φ₂ - φ₁) складываемых колебаний.

 

 

3.3 Квазиупругая сила. Математический и физический маятники. Циклическая частота гармонического осциллятора. Энергия колебаний.

• 

Такая зависимость силы от смещения характерна для упругой силы силы. Поэтому силы иной физической природы удовлетворяющие тому же виду зависимости, называются квазиупругими.

· Математи́ческий ма́ятник — осциллятор, представляющий собой механическую систему, состоящую из материальной точки, находящейся на невесомой нерастяжимой нити или на невесомом стержне в однородном поле сил тяготения. Период малых собственных колебаний математического маятника длины l неподвижно подвешенного в однородном поле тяжести с ускорением свободного падения g равен

и не зависит^[1] от амплитуды и массы маятника.

Физический маятник — осциллятор, представляющий собой твёрдое тело, совершающее колебания в поле каких-либо силотносительно точки, не являющейся центром масс этого тела, или неподвижной оси, перпендикулярной направлению действия сил и не проходящей через центр масс этого тела.
Пренебрегая сопротивлением среды, дифференциальное уравнение колебаний физического маятника в поле силы тяжести записывается следующим образом:

.

· гармонический осциллятор — это система, уравнение движения которой описывается дифференциальным уравнением 2 x + ω0 x = 0, ¨ (1) где x — величина, совершающая колебания, ω0 — циклическая частота.

· При механических колебаниях колеблющееся тело (или материальная точка) обладает кинетической и потенциальной энергией. Кинетическая энергия тела W:

·

(Скорость тела v = ds/dt)

Для вычисления потенциальной энергии тела воспользуемся самой общей формулой, связывающей силу и потенциальную энергию тела в поле этой силы:

где U - потенциальная энергия, набираемая (или теряемая) телом, движущимся в силовом поле F от точки 0 (точки, в которой потенциальная энергия принимается равной 0) до точки х.

Для силы, линейно зависящей от смещения (как в случае наших механических маятников, такие силы носят общее название квазиупругих сил) мы имеем:

; ; .

 

 

Сравнивая формулы для кинетической и потенциальной энергии, можно сделать выводы:
1. Полная механическая энергия тела не изменяется при колебаниях:
2. Частота колебаний кинетической и потенциальной энергии в 2 раза больше частоты колебаний маятника.
3. Колебания кинетической и потенциальной энергии сдвинуты друг относительно друга по фазе на p (на полпериода). Когда кинетическая энергия достигает максимума, потенциальная - минимума (нуля) и наоборот. Энергия при колебаниях постоянно перекачивается из потенциальной в кинетическую и обратно.

 

3.4 Упругие (механические) волны. Механизмы и условия возникновения упругих волн. Поперечные и продольные упругие волны, условия их возникновения. Формула скорости упругих волн в различных средах. Длина волны. Циклическое волновое число. Уравнение плоской волны.

 

Механической волной называется процесс распространения колебаний в упругой среде, который сопровождается передачей энергии от одной точки среды к другой.

Источником механической волны является колеблющее тело. Если источник колеблется синусоидально, то и волна в упругой среде будет иметь форму синусоиды. Колебания, вызванные в каком-либо месте упругой среды, распространяются в среде с определенной скоростью, зависящей от плотности и упругих свойств среды.

Подчеркнем, что при распространении волны отсутствует перенос вещества, т. е. частицы только колеблются вблизи положений равновесия.

Различают продольные и поперечные волны.

Упругая волна называется продольной, если частицы среды колеблются в направле­нии распространения волны. Продольные волны связаны с объемной деформацией упругой среды и потому могут распространяться в любой среде — твердой, жидкой и газообразной. Примером таких волн являются звуковые волны в воздухе.

Упругая волна называется поперечной, если частицы среды колеблются, оставаясь в плоскостях, перпендикулярных направлению распространения волны. Поперечные волны связаны с деформацией сдвига упругой среды и, следовательно, могут об­разовываться и распространяться только в средах, обладающих упругостью формы, т. е. в твердых телах. Примером поперечных волн могут, служить волны, распространя­ющиеся вдоль струн музыкальных инструментов.

 

 

Фазовая скорость различна для разных сред. В случае упругих поперечных волн (в твердом теле) фазовая скорость равна:

,где - модуль сдвига среды, -ее плотность в невозбужденном состоянии (т.е. когда в этой среде не распространяется упругая волна).

Фазовая скорость упругих продольных волн в твердом теле равна

,

где Е - модуль Юнга, - плотность невозмущенной среды (твердого тела до момента распространения по нему волны).

Фазовая скорость продольных волн в жидкости и газе определяется соотношением:

,где К – модуль объемной упругости среды – величина, характеризующая способность среды сопротивляться изменению ее объема, - плотность невозмущенной среды.

Фазовая скорость продольных волн в идеальном газе задается формулой:

- показатель адиабаты, - молярная масса, Т – абсолютная температура, R – универсальная газовая постоянная. Фазовая скорость в газе зависит от сорта газа () и от его термодинамического состояния (Т).

Длина́ волны́ — расстояние между двумя ближайшими друг к другу точками, колеблющимися в одинаковых фазах, обычно длина волны обозначается греческой буквой . По аналогии с возникающими волнами в воде от брошенного в неё камня — расстояние между двумя соседними гребнями волны. Одна из основных характеристикколебаний. Измеряется в единицах расстояния (метры, сантиметры и т. п.). Величина , обратная длине волны, называется волновым числом и имеет смысл пространственной частоты.

Получить соотношение, связывающее длину волны с фазовой скоростью () ичастотой() можно из определения. Длина волны соответствует пространственному периоду волны, то есть расстоянию, которое точка с постоянной фазой проходит за время, равное периоду колебаний , поэтому

Уравнение плоской волны:
Волна называется плоской, если ее волновые поверхности представляют совокупность плоскостей, параллельных друг другу. В плоской волне, распространяющейся вдоль оси ОХ, все величины s, характеризующие колебательные движение среды, зависят только от времени и координаты х точки М среды. Колебания происходят по закону s=f(t), но сдвинуты во времени на x\v. Поэтому ур-ие плоской волны имеет вид: s=f(t-x\v). Синусоидальная волна:

s=Asin(wt-wx\v+j₀). A=const – амплитуда колебаний (амплит. волны). w=2p\T.

 

 

3.5 энергетические характеристики волн: объёмная плотность энергии волны, поток энергии волны, плотность потока энергии волны, интенсивность волны, спектральная плотность потока энергии излучения. Уровень интенсивности, уровень звукового давления, уровень громкости звука.

 

При волновом движении происходит перенос энергии, которая состоит из кинетической и потенциальной энергий колеблющихся частиц среды. Причем потенциальная энергия обусловлена деформацией вещества при взаимном смещении частиц. В отличие от колебаний свободного тела в волне не происходит взаимного перехода кинетической и потенциальной энергии частиц. Мгновенные значения той и другой энергии изменяются одновременно (в фазе) соответственно изменению смещения частиц.

Для мгновенного значения энергии (потенциальной и кинетической) одной частицы можно записать:

 

, (18)

где S- смещение частицы, w- частота колебания частицы, A- амплитуда колебания частицы, V- скорость волнового процесса, в котором участвует частица, m – масса одной частицы.

Из формулы 18 следует, что мгновенные значения энергии каждой частицы среды изменяются во времени с удвоенной частотой колебания, причем в каждый момент времени эти значения для различных частиц отличаются. Однако среднее значение энергии за период колебания для всех частиц одинаково и составляет:

eср = .

Рассчитаем энергию волны для некоторого объема DV среды, в которой она распространяется.

 

Если в единице объема среды содержится N частиц, то r = Nm —плотность среды и среднее значение энергии волны в объеме D V будет:

Е_ср = (19)

 

где — объемная плотность энергии волны.

Величина, численно равная средней энергии Е_ср, переносимой волной в единицу времени t через заданную поверхность S, перпендикулярную направлению распространения волны, называется потоком энергии через эту поверхность:

Ф = (20)

и измеряется в единицах мощности - Вт.

Поток энергии, приходящийся на единицу поверхности, называется плотностью потока энергии:

(21)

и измеряется в Вт/м2. Плотность потока энергии называют также интенсивностью волны.

В векторной форме:

. (22)

Плотность потока энергии, переносимого волной, можно рассматривать как вектор, совпадающий по направлению с вектором скорости волны.

 

Уровень интенсивности звука = 10 lg (J/J₀) дБ
Поскольку звуки столь сильно различаются по интенсивности, удобнее рассматривать ее как логарифмическую величину и измерять в децибелах. Логарифмическая величина интенсивности представляет собой логарифм отношения рассматриваемого значения величины к ее значению, принимаемому за исходное. Уровень интенсивности J по отношению к некоторой условно выбранной интенсивности J₀ равен

Таким образом, один звук, превышающий другой по уровню интенсивности на 20 дБ, превышает его в 100 раз по интенсивности.

В практике акустических измерений принято выражать интенсивность звука через соответствующую амплитуду избыточного давления Р_е. Когда давление измеряется в децибелах относительно некоторого условно выбранного давления Р₀, получают так называемый уровень звукового давления. Поскольку интенсивность звука пропорциональна величине P_e², а lg(P_e²) = 2lgP_e, уровень звукового давления определяется следующим образом:

Уровень звукового давления = 20 lg (P_e/P₀) дБ

Условное давление Р₀ = 2Ч10^—5 Па соответствует стандартному порогу слышимости для звука с частотой 1 кГц.
Уровень громкости звука — относительная величина, которая выражается в фонах и численно равна уровню звукового давления (в децибелах — дБ), создаваемого синусоидальным тоном частотой 1 кГц такой же громкости, как и измеряемый звук (равногромким данному звуку).

 

 

3.6 Электромагнитная волна, условие и механизм ее возникновения. Скорость и длина электромагнитной волны в вакууме и в различных средах. Показатель преломления среды. Шкала электромагнитных волн. Характеристика электромагнитных волн различных интервалов длин волн.

 

Электромагнитные волны-это процесс распространения переменных магнитного и электрического полей. Переменное электрическое поле порождает магнитное, которое оказывается переменным. Оно порождает электрическое. Если возбудить с помощью колеблющихся зарядов переменное электромагнитное поле, то в окружающем заряды пространстве возникнет последовательность взаимных превращений электрического и магнитного полей, распространяющихся от точки к точке.

Скорость в вакууме: Е=М=1 V=C=3*10^8(м/с) V=C/((E*M)^1/2),

Где E-диэлектрическая проницаемость среды, M-магнитная проницаемость среды.

Показатель преломления(абс.)- отношение скорости волны в вакууме к скорости в среде.

n=C/V =лямда(0)/лямда лямда(0)=С/ню лямда=V/ню

3.7 Интерференция когерентных волн. Амплитуда результирующего колебания при интерференции 2х волн, условия максимумов и минимумов амплитуды. Интерференционный спектр.

 

Интерференция- такое положение когерентных волн, при которой имеет место перераспределение энергии волн в пространстве и устойчивое во времени и пространстве усиление колебаний в одних местах и ослабление в других.

Когерентные волны- волны одинаковой частоты, разность фаз которых не зависит от времени.

Если источник света монохромотичный (одного цвета)-то на интерференционной картине полосы черные и цвета соответствуют источнику. Если источник излучает белый (сложный) свет, то интерференционная картина представляет собой чередующиеся спектры цветов (от фиолетового до красного)=> максимумы разлагаются в спектры.

 

 

3.8. Осуществление интерференции света с помощью тонкой пленки. Интерференционные полосы равной толщины и равного наклона.

Кольца Ньютона (пример полос равной толщины) При отражении от соприкосновения плоскопараллельной толстой стеклянной пластины и плосковыпуклой линзы с большим радиусом кривизны. Радиус темных колец в отраженном и светлых в проходящем: r=(nRh)^1/2

Где h(лямда)-длина волны,R- радиус кривизны линзы.

Радиус светлых колец в отраженном и темных в проходящем:r=((n-1/2)Rh)^1/2

3.9. Стоячая волна как частный случай интерференции. Уравнение плоской стоячей волны. Амплитуда, узлы и пучности стоячей волны. Превращения энергии в стоячей волне. Образование стоячей волны в сплошной ограниченной среде. Условия возникновения волны в стержне, в столбе воздуха, в натянутой струне. Стоячая волна в сплошной ограниченной среде как резонансное колебание.

 

 

 

3.10. Дифракция волн. Объяснение дифракции волн на основе принципа Гюйгенса-Френеля. Дифракция Фраунгофера на одной щели и на дифракционной решетке. Дифракционный спектр.

 

4.1 Тепловое Излучение, его энергетические характеристики. Закон Кирхгофа, Стефана-Больцмана, Вина. Постулат Планка.

Тепловое излучение — электромагнитное излучение, испускаемое нагретыми телами за счёт их тепловой энергии.
Примером теплового излучения является свет от лампы накаливания.

Энергетические характеристики:

· Энергетическая светимость тела.
Энергетическая светимость тела- физическая величина, являющаяся функцией температуры и численно равная энергии, испускаемой телом в единицу времени с единицы площади поверхности по всем направлениям и по всему спектру частот.
Или (по лекции):
Это физическая величина, численно равная мощности излучения единицы поверхности нагретого тела по всему диапазону длин волн.
, Дж/с·м²=Вт/м²

· Спектральная плотность энергетической светимости.
Спектральная плотность энергетической светимости — функция частоты и температуры характеризующая распределение энергии излучения по всему спектру частот (или длин волн).
Или (по лекции):
Это физическая величина, численно равная энергии, излучаемой телом с единицы поверхности в единицу времени в единичном диапазоне длин волн.

· Поглощающая способность тела.
Поглощающая способность тела - функция частоты и температуры, показывающая, какая часть энергии электромагнитного излучения, падающего на тело, поглощается телом в области частот вблизи.

То, что не было в лекции:

· Отражающая способность тела.
Отражающая способность тела - функция частоты и температуры, показывающая какая часть энергии электромагнитного излучения, падающего на тело, отражается от него в области частот вблизи.

· Объемная плотность энергии излучения.
Объемная плотность энергии излучения - функция температуры, численно равная энергии электромагнитного излучения в единицу объема по всему спектру частот

· Спектральная плотность энергии.
Спектральная плотность энергии - функция частоты и температуры, связанная с объемной плотностью излучения формулой.

Закон излучения Кирхгофа — физический закон, установленный немецким физиком Кирхгофом в 1859 году. В современной формулировке закон звучит следующим образом:
Отношение излучательной способности любого тела к его поглощательной способности одинаково для всех тел при данной температуре для данной частоты и не зависит от их формы и химической природы.
Или (по лекции):
Для всех тел, нагретых до одинаковой температуры, отношение спектральная плотности энергетической светимости к Поглощающей способности тела есть величина постоянная.

Закон Стефана-Больцмана — закон излучения абсолютно чёрного тела. Определяет зависимость мощности излучения абсолютно чёрного тела от его температуры. Формулировка закона:
Мощность излучения абсолютно чёрного тела прямо пропорциональна четвёртой степени температуры тела.
Дж·с⁻¹·м⁻² · К^−4.

Закон смещения Вина даёт зависимость длины волны, на которой поток излучения энергии чёрного тела достигает своего максимума, от температуры чёрного тела.
Или (по лекции):
обратно пропорциональна термодинамической температуре.

Постулат Планка:
Тела излучают энергию не непрерывно, а порциями. Энергия такой порции(кванта) равна:
h – постоянная Планка(6.63*10^-34Дж*с), - частота излучения

 

4.2 Фотоэлектрический эффект. Вольт-амперная характеристика фототока. Опытные закономерности фотоэффекта. Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта.

Фотоэффект - это испускание электронов веществом под действием света