Прямая линия на плоскости.

Скалярное произведение двух векторов.

. Следствия: а) ,

б) .

 

Геометрическое свойство: .

Алгебраические свойства: 1. ;

2. ;

3. ;

4. ; причем .

 

Выражение скалярного произведения в декартовых координатах:

Пусть , . Тогда .

Следствия: 1.

2.

3. Пусть - углы, которые вектор образует с осями координат ОХ, ОУ, ОZ.

Тогда , , , и

. ( называются направляющими

косинусами).

 

Векторное произведение двух векторов.

: ;

- правая тройка;

.

 

Геометрические свойства: 1. .

2. есть площадь параллелограмма, построенного на

приведенных к общему началу векторах .

Алгебраические свойства: 1. ;

2. ;

3. ;

4. для любого .

 

Выражение векторного произведения в декартовых координатах:

Пусть , . Тогда .

 

Следствие: .

 

 

Смешанное произведение трех векторов.

умножим векторно на ; полученный вектор умножим скалярно на . Получившееся

число называется смешанным произведением векторов .

 

Геометрический смысл: Смешанное произведение векторов равно объему параллелепипеда,

построенного на приведенных к общему началу векторах , взятому со знаком “+”, если

тройка правая, со знаком “-“, если тройка левая. Если же векторы компланарны, их смешанное

произведение равно нулю.

 

Следствия: 1.

2. компланарны

3. если среди два вектора коллинеарны, то .

 

Выражение смешанного произведения в декартовых координатах:

Пусть , , . Тогда .

Следствие: компланарны .

.

 

 

.

 

 

Вопросы к коллоквиуму по векторной алгебре и аналитической геометрии.

(Учебник: В.А.Ильин, Э.Г.Поздняк “ Аналитическая геометрия “)

 

1. Скалярное произведение двух векторов (глава 2 параграф 2 пункты 2,3,4).

2. Векторное произведение двух векторов (глава 2 параграф 3 пункты 2,3,5,6).

3. Смешанное произведение трех векторов (глава 2 параграф 3 пункт 4).

4. Преобразование декартовых прямоугольных координат на плоскости (глава 3 параграф 1).

5. Различные виды уравнения прямой на плоскости. Угол между прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности прямых (глава 5 параграф 1 пункты 1,2,4,5,6).

6. Расстояние от точки до прямой на плоскости.

7. Плоскость в пространстве. Угол между плоскостями. Условие параллельности и перпендикулярности плоскостей. Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки (глава 5 параграф 3 пункты 1,3,4).

8. Расстояние от точки до плоскости.

9. Различные способы задания прямой линии в пространстве. Угол между прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности прямых (глава 5 параграф 4 пункты 1,2,3,4).

10. Угол между прямой и плоскостью. Условие параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости (глава 5 параграф 4 пункт 6).

11. Эллипс: определение, каноническое уравнение (глава 6 параграф 1 пункт 1).

12. Парабола: определение, каноническое уравнение (глава 6 параграф 1 пункт 3).

13. Гипербола: определение, каноническое уравнение, асимптоты (глава 6 параграф 1 пункт 2,

параграф 2 пункт 2).

 

 

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.

 

Прямая линия на плоскости.

1. Преобразование декартовых прямоугольных координат на плоскости.

 

Пусть точка О’(a,b) – начало новой системы

координат O’X’Y’, оси которой повернуты на угол .

Тогда координаты точки в исходной и новой системах

координат связаны соотношениями

 

2. Общее уравнение прямой L: .

Cледствия: а) Пусть L: . Тогда вектор - нормальный вектор прямой

(т.е. ).

б) Пусть L проходит через точку и перпендикулярна вектору .

Тогда L: .

 

3. Каноническое уравнение прямой.

Пусть L проходит через точку и параллельна вектору . (q называется

направляющим вектором прямой).

Тогда L: .

Следствие: Пусть L проходит через точки и .

Тогда L: .

 

4. Параметрические уравнения прямой.

Пусть L проходит через точку и параллельна вектору .

Тогда L: .

 

5.Прямая с угловым коэффициентом.

L: , где , b – смещение.

Следствие: Пусть L проходит через точку

и имеет угловой коэффициент k.

Тогда L: .

6. Угол между прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности прямых.

Пусть ; .

Тогда один из углов между прямыми совпадет с углом между их нормалями. Следовательно,

а) ,

б) ,

в) .

 

7. Расстояние от точки до прямой L: :

.

Следствие: Точки и лежат по одну сторону от прямой L (т.е. отрезок

не пересекает прямую L) в том и только в том случае, когда числа

и одного знака.

 

Плоскость в пространстве.

1. Общее уравнение плоскости .

Cледствия: а) Пусть . Тогда вектор - нормальный вектор

плоскости (т.е. ).

б) Пусть проходит через точку и перпендикулярна вектору

. Тогда : .

2. Угол между плоскостями. Условие параллельности и перпендикулярности плоскостей.

Пусть ; .

Тогда один из углов между плоскостями совпадет с углом между их нормалями. Следовательно,

а) ,

б) ,

в) .

 

3.Уравнение плоскости , проходящей через три различные точки , ,

, не лежащие на одной прямой:

: .

4. Расстояние от точки до плоскости :

.

Следствие: Точки и лежат по одну сторону от плоскости (т.е.

отрезок не пересекает плоскость ) в том и только в том случае, когда числа

и одного знака.