Это так называемый биноминальный закон распределения

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

 

Оглавление.

1. Дискретные случайные величины.

2. Часто встречающиеся распределения дискретной случайной величины.

3. Функция распределения вероятностей случайной величины и ее свойства.

4. Непрерывные случайные величины.

5. Равномерное распределение.

6. Нормальное распределение.

7. Экспоненциальное распределение.

8. Двумерные случайные величины.

 

 

Понятие случайной величины является основным в теории вероятностей и ее приложениях. Случайными величинами, например, является число выпавших очков при однократном бросании игральной кости, число распавшихся атомов радия за данный промежуток времени, число вызовов на телефонной станции за некоторый промежуток времени, отклонение от номинала некоторого размера детали при правильно налаженном технологическом процессе и т. д.

Таким образом, случайной величиной называется переменная величина, которая в результате опыта может принимать то или иное числовое значение.

В дальнейшем мы рассмотрим два типа случайных величин — дискретные и непрерывные.

1. Дискретные случайные величины.

Рассмотрим случайную величину (случайные величины будем обозначать прописными буквами латинского алфавита: ) , возможные значения которой образуют конечную или бесконечную последовательность чисел . Такая случайная величина называется дискретной (прерывной).

На первый взгляд может показаться, что для задания дискретной случайной величины достаточно пере­числить все ее возможные значения. В действительности это не так: случайные величины могут иметь одинако­вые перечни возможных значений, а вероятности их – различные. Поэтому

 

для задания дискретной случайной величины недостаточно перечислить все возможные ее значения, нужно еще указать их вероятности.

Важнейшей характеристикой случайной величины служит ее распределение вероятностей.

Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями; его можно задать таблично, аналити­чески (в виде формулы) или графически.

При табличном задании закона распределения дискрет­ной случайной величины первая строка таблицы содержит возможные значения, а вторая - их вероятности:

 

			…
			…

 

Приняв во внимание, что в одном испытании случайная величина принимает одно и только одно возможное зна­чение, заключаем, что события , , …, образуют полную группу; следовательно, сумма вероят­ностей этих событий, т. е. сумма вероятностей второй строки таблицы, равна единице:

.

(3.1)

Эту таблицу называют рядом распределения случайной величины . Наглядно функцию р(х) можно изобразить в виде графика. Для этого возьмем прямоугольную систему координат на плоскости. По горизонтальной оси будем откладывать возможные значения случайной величины , а по вертикальной оси - значения функции . График функции р(х) изображен на рис. 3.1. Если соединить точки этого графика прямолинейными отрезками, то получится фигура, которая называется многоугольником распределения.

Пример 3.1. Пусть событие А — появление одного какого-либо очка при бросании игральной кости. Как мы знаем, вероятность выпадения какого-либо очка для всех цифр (1, 2, 3, 4, 5, 6) одинакова и равна Р(A)=1/6. Рассмотрим случайную величину — число наступлений события А (т.е. число т) при десяти бросаниях игральной кости (т.е. n=10). Значения функции р(х ) (закона распределения) приведены в следующей таблице:

Значения								…
Вероятности	0,162	0,323	0,291	0,155	0,054	0,013	0,002	…

 

означает, что цифра 1 (или любая другая из шести, могущих выпасть) при десяти бросаний кости не выпала ни разу. - цифра 1 при десяти бросаний выпала один раз. - два раза и т.д.

Вероятности приведенные в таблице, вычислены по формуле Бернулли () при n=10. Для x>6 они практически равны нулю:

График функции p(x) изображен на рис. 3.2.

Это так называемый биноминальный закон распределения