Плотность распределения вероятности НВС.

Ранее говорилось, что функция распределения задает закон распределения случайной величины. Для НСВ удобнее закон распределения задавать при помощи плотности распределения вероятности. Плотностью распределения вероятности НСВ Х называется предел (если он существует)

.

Таким образом, плотность распределения является первообразной для функции распределения.

Свойства плотности вероятности.

1. Плотность вероятности является неотрицательной функцией.

Действительно, производная неубывающей функции неотрицательна.

2. . Это следует из того, что плотность распределения является первообразной для функции распределения.

3. . Это следует из формулы Ньютона-Лейбница:

4. . Это свойство называется свойством нормировки.

Действительно, .

Пример 3.4 Случайная величина Х называется равномерно распределенной на отрезке [a, b], если ее плотность распределения имеет вид

В дальнейшем равномерное распределение будем обозначать R(a, b).

Рисунок 3.2

График плотности и функции распределения приведены на следующих рисунке 3.2.

Пример 3.5 Экспоненциальное (или показательное) распределение имеет плотность распределения вида

В дальнейшем показательное распределение будем обозначать E(l).

Из практики известно, что время безотказной работы телевизора распределено по показательному закону. Смысл параметра l в том, что число 1/ l равно среднему времени безотказной работы телевизора.

.

Рисунок 3.3

3.3 Числовые характеристики случайных величин

Числовые характеристики ДСВ. Пусть дана ДСВ X своим законом распределения x_i ® p_i. Математическим ожиданием ДВС X называется число . М.о. – сокращение словосочетания “математическое ожидание”.

Смысл математического ожидания заключается в следующем: это вероятностное среднее значение случайной величины.

Дисперсией ДСВ X называется математическое ожидание квадрата отклонения ДСВ от ее математического ожидания:

Смысл дисперсии в том, что она является мерой рассеяния значений случайной величины от математического ожидания. Чем меньше дисперсия, тем меньше разброс значений от математического ожидания.

Сренеквадратическим отклонением случайной величины Х называется число . С.к.о. – сокращение словосочетания “Сренеквадратическое отклонение”.

Эта величина более точно характеризует степень рассеяния значений случайной величины от математического ожидания, чем дисперсия. Обоснуйте почему?

Числовые характеристики непрерывных случайных величин. Пусть имеется НСВ X с плотностью распределения f (x).

Математическим ожиданием НСВ X называется число .

Дисперсией НСВ X называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

.

Сренеквадратическим отклонением случайной величины Х называется число .

Смыслы м.о., дисперсии, с.к.о. для НСВ те же, что и для ДСВ.