Туынды.Элементар функциялардың туындыларын есептеу.

Лекциялық сабақ.

Функцияны қарапайым қозғалыстар,құбылыстар мен процестерді және олардың өзгерісін математикалық модель тұрғысынан зерттеу мақсатында қолданылады.

Аргумент және функция өсімшелері ұғымдарына тоқталайық.

функциясы берілсін. және аругменттің мәндерін функцияның анықталу облысынан алынған.

Анықтама: айырымын аргументтің нүктесіндегі өсімшесі деп атайды.

Өсімшені деп белгілейді.

функциясының анықталу облысына тиісті кез келген нүктесін алайық.

Функцияның аргументі -ке өсімшесін берейік. өсімшесін қабылдағаннан кейін аргументтің мәні болады.Өсімшенің таңбасы оң да,теріс те болуы мүмкін.Егер болса,онда нүктесі нүктесінің оң жағына,ал болса,онда нүктесі нүктесінің сол жағына орналасады.

Сонда агрумент өсімшесін

(1)

теңдігімен жазуға болады.Демек,аргумент өсімшесі аргументтің екі нүктесіндегі мәндерінің айырымына тең.

Енді функция өсімшесіне тоқталайық.

Аргумент -ке өсімшесін бергенде функциясы да өсімше қабылдайды.Бұл функцияның өсімшесі деп белгіленіп,

немесе

(2)

теңдігімен анықталады.

Сонда функция өсімшесі функцияның екі нүктедегі мәндерінің айырымына тең.

Енді функцияның туындысына анықтама берейік.Ол үшін функция өсімшесінің аргумент өсімшесіне қатынасын

(3)

алайық.

Анықтама: айырымдық қатынастың аргумент өсімшесі нөлге ұмтылғандағы шегі бар болса,онда ол шекті функциясының нүктесіндегі туындысы деп атайды.

функциясының нүктесіндегі туындысының белгіленуі: .

Демек,

(4)

Функцияның туындысын табу амалын функцияны дифференциалдау деп атайды.

нүктесінде функцияның туындысы бар болса,онда функциясын осы нүктеде дифференциалданатын функция деп атайды.

Анықтама бойынша туынды табу алгоритмі:

1)аргументке өсімшесін беру;

2) өсімшеге сәйкес функция өсімшесін, анықтау;

3)функция өсімшесінің аргумент өсімшесіне қатынасын табу,яғни ;

4)соңғы теңдіктен аргумент өсімшесі ұмтылғандағы шекті анықтау: .

Туындыны табу ережелері. Туындыны табуыдың бірнеше ережелерін қарастырайық.

Алдымен және функцияларының нүктесіндегі мәндерін қысқаша былай белгілейік:

1-ереже. Егер және функцияларының нүктесінде туындылары бар болса,онда функциясының туындысы бар және ол

(1)

формуласымен анықталады.

2-ереже. Егер және функцияларының нүктесінде туындылары бар болса,онда берілген функциялардың көбейтіндісінің функциясының осы нүктесіндегі туындысы бар және ол

(2)

Формуласымен анықталады.

Салдар. Егер функциясының нүктесінде туындысы бар болып,ал С тұрақты сан болса,онда функциясының осы нүктесінде туындысы бар және ол

(3)

формуласымен анықталады.

3-ереже. Егер функциясының нүктесінде туындысы бар және болса,онда функциясының да нүктесінде туындысы бар және ол туындыны

(4)

формуласы арқылы анықталады.