Если точка принадлежит прямой, то проекция этой точки принадлежит проекции прямой.

По принципу центрального проецирования работают фотоаппараты и кинокамеры. Упрощенная схема работы человеческого глаза близка к этому виду проецирования: роль центра проецирования выполняет оптический центр хрусталика, роль проецирующих прямых – лучи света; плоскостью проекций служит сетчатка глаза. Поэтому изображения, построенные по принципу центрального проецирования, наиболее наглядны и их широко используют в своей работе художники, архитекторы, дизайнеры и многие другие специалисты.

 

Рисунок 4. Параллельное проецирование

 

Частный случай центрального проецирования – параллельное проецирование, когда центр проецирования удален в бесконечность, при этом проецирующие лучи можно рассматривать как параллельные проецирующие прямые. Положение проецирующих прямых относительно плоскости проекций определяется направлением проецирования S (рис.4). В этом случае полученное изображение называют параллельной проекцией объекта.

При параллельном проецировании сохраняются свойства центрального и добавляются следующие:

1. проекции параллельных прямых параллельны между собой;

2. отношение отрезков прямой равно отношению их проекций;

3. отношение отрезков двух параллельных прямых равно отношению их проекций.

В свою очередь параллельные проекции подразделяются на прямоугольные, когда проецирующие лучи перпендикулярны плоскости проекций, и косоугольные, когда направление проецирования образует с плоскостью проекций угол не равный 90⁰.

Прямоугольное (ортогональное) проецирование является частным случаем параллельного.

Проекция объекта, полученная с использование этого метода, называется ортогональной.

Ортогональному проецированию присущи все свойства параллельного и центрального проецирования и кроме того, справедлива теорема о проецировании прямого угла: если хотя бы одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, а вторая не перпендикулярна ей, то прямой угол на эту плоскость проецируется в прямой угол.

К проекционным изображениям в начертательной геометрии предъявляются следующие основные требования:

1. Обратимость – восстановление оригинала по его проекционным изображениям (чертежу) – возможность определять форму и размеры объекта, его положение и связь с окружающей средой.

2. Наглядность – чертеж должен создавать пространственное представление о форме предмета.

3. Точность – графические операции, выполненные на чертеже, должны давать достаточно точные результаты.

4. Простота – изображение должно быть простым по построению и допускать однозначное описание объекта в виде последовательности графических операций.

Проекции с числовыми отметками

 

Рисунок 5. Метод с числовыми отметками

 

В проекциях с числовыми отметками плоскость проекций П _i называют плоскостью нулевого уровня и обозначают П ₀. Идея этого метода состоит в том, что на плоскость П ₀ ортогонально проецируют точку и вместе с проекцией точки задают ее расстояние до плоскости П ₀ (рис. 5). Это расстояние называют числовой отметкой точки и задают обычно в метрах. Числовую отметку точки пишут внизу справа от обозначения ее изображения.

Если плоскость нулевого уровня расположена горизонтально, то чертеж называют планом. На плане всегда указывают линейный масштаб и при необходимости дают ориентацию относительно сторон света.

Очень удобно в проекциях с числовыми отметками изображать линии уровня, все точки которых имеют одинаковые отметки. Линии уровня проецируются на П ₀ без искажения своей формы (применяется в картографии).Проекции с числовыми отметками позволяют просто решать многие задачи. Обратимость чертежей в проекциях с числовыми отметками очевидна.

Зарождение идеи этого метода относят к средним векам. Уже тогда многие народы, пользующие картами с показаниями морских глубин, умели изображать точку при помощи ее проекции и отметки. Однако теоретическое обоснование метод получил лишь в 19 веке, благодаря французскому военному инженеру – капитану Нуазе (1823 г.).

Чертежи в проекциях с числовыми отметками построены на одной плоскости проекций – на одной картине и часто называются однокартинными.

метод монжа

Если информацию о расстоянии точки относительно плоскости проекции дать не с помощью числовой отметки, а с помощью второй проекции точки, построенной на второй плоскости проекций, то чертеж называют двухкартинным или комплексным. Основные принципы построения таких чертежей изложены Гаспаром Монжем - крупным французским геометром конца 18, начала 19 веков, 1789-1818 гг. одним из основателей знаменитой политехнической школы в Париже и участником работ по введению метрической системы мер и весов.

Изложенный Монжем метод ортогонального проецирования на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций был и остается основным методом составления технических чертежей.

В соответствии с методом предложенным Г. Монжем рассмотрим в пространстве две взаимно перпендикулярные плоскости проекций (рис.6). Одну из плоскостей проекций П ₁ располагают горизонтально, а вторую П ₂ - вертикально. П ₁ - горизонтальная плоскость проекций, П ₂ - фронтальная. Плоскости бесконечны и непрозрачны.

Плоскости проекций делят пространство на четыре двугранных угла – четверти. Рассматривая ортогональные проекции, предполагают, что наблюдатель находится в первой четверти на бесконечно большом расстоянии от плоскостей проекций.

 

Рисунок 6. Пространственная модель двух плоскостей проекций

 

Линия пересечения плоскостей проекций называется осью координат и обозначается x ₂₁.

Так как эти плоскости непрозрачны, то видимыми для наблюдателя будут только те геометрические объекты, которые располагаются в пределах той же первой четверти.

Чтобы получить плоский чертеж, состоящий из указанных проекций, плоскость П ₁ совмещают вращением вокруг оси x ₁₂ с плоскостью П ₂ (рис.6).Проекционный чертеж, на котором плоскости проекций со всем тем, что на них изображено, совмещенные определенным образом одна с другой, называется эпюром Монжа (франц. Epure – чертеж.) или комплексным чертежом.

Геометрические объекты делятся на: линейные (точка, прямая, плоскость), нелинейные (кривая линия, поверхность) и составные (многогранники, одномерные и двумерные обводы).

Рассмотрим способы их образования, графического задания и возможные варианты положения по отношению к плоскостям проекций

Точка

Геометрический объект любой сложности можно рассматривать как геометрическое место точек, по взаимному расположению, которых можно составить представление об объекте, а по расположению их относительно системы координат можно судить о положении его в пространстве.

Точка *- одно из основных понятий геометрии.

Точка в ортогональной системе двух плоскостей проекций

 

При построении проекции необходимо помнить, что ортогональной проекцией точки на плоскость является основание перпендикуляра, опущенного из данной точки на эту плоскость. На рисунке 7 показана точка А и ее ортогональные проекции А ₁ и А ₂, которые называют соответственно горизонтальной и фронтальной проекциями.

Проекции точки всегда расположены на прямой, перпендикулярной осиx ₂₁ и пересекающей эту ось в точке А _x.

 

а) модель б) эпюр

Рисунок. 7. Точка в системе двух плоскостей проекций

 

Справедливо и обратное, т. е. если на плоскостях проекций даны точки А ₁ и А ₂ расположенные на прямой, пересекающей ось x ₂₁ в точке А _x под прямым углом, то они являются проекцией некоторой точки А.

На эпюре Монжа проекции А ₁ и А ₂ расположены на одном перпендикуляре к оси x ₂₁. При этом расстояние А ₁ А _x - от горизонтальной проекции точки до оси равно расстоянию от самой точки А до плоскости П ₂, а расстояние А ₂ А _x - от фронтальной проекции точки до оси равно расстоянию от самой точки А до плоскости П ₁.

Прямые линии, соединяющие разноименные проекции точки на эпюре, называются линиями проекционной связи.

а) модель б) эпюр

Рисунок 8 Точки в различных четвертях пространства

На рисунке 8 представлены точки A, B, C и D,расположенные в разных четвертях пространства и их эпюр (A - в первой, B - во второй, C - в третьей и D - в четвертой четвертях)

Точка в ортогональной системе трех плоскостей проекций

В практике изображения различных геометрических объектов, чтобы сделать проекционный чертеж более ясным, возникает необходимость использовать третью – профильную плоскость проекций П ₃, расположенную перпендикулярно к П ₁ и П ₂. Плоскости проекций П ₁, П ₂ и П ₃ являются основными плоскостями проекций.

а) модель	б) эпюр
Рисунок 9. Точка в системе трех плоскостей проекций

 

 

 

 

Рисунок 10. Получение эпюра

 

Модель трех плоскостей проекций показана на рисунке 9. Третья плоскость, перпендикулярная и П ₁, и П ₂, обозначается буквой П ₃ и называется профильной.

Проекции точек на эту плоскость обозначаются прописными буквами латинского алфавита или цифрами с индексом 3.

Плоскости проекций, попарно пересекаясь, определяют три оси 0x, 0y и 0z, которые можно рассматривать как систему декартовых координат в пространстве с началом в точке 0.

Три плоскости проекций делят пространство на восемь трехгранных углов - октантов. Как и прежде, будем считать, что зритель, рассматривающий предмет, находится в первом октанте.

Для получения эпюра точки в системе трех плоскостей проекций плоскости П ₁ и П ₃ вращают, как показано на рисунке 10, до совмещения с плоскостью П ₂. При обозначении осей на эпюре отрицательные полуоси обычно не указывают. Если существенно только само изображение предмета, а не его положение относительно плоскостей проекций, то оси на эпюре не показывают.

Координаты (от лат. со — совместно и ordinatus — упорядоченный, определенный) — числа, заданием которых определяется положение точки на плоскости, на поверхности или в пространстве.

В трехмерном пространстве положение точки устанавливают с помощью прямоугольных декартовых координат x, y и z (абсцисса, ордината и аппликата).

Положение точки относительно плоскостей проекций

Положение точки в пространстве определяется тремя координатами x,y,z. Точка может занимать в пространстве как общее, так и частное положение по отношению к плоскостям проекций.

1. Точка не принадлежащая ни одной из плоскостей проекций - точка общего положения. Координаты точки общего положения не равны нулю (x≠0,y≠0,z≠0), и в зависимости от знака координаты точка может располагаться в одном из восьми октантов, как показано в таблице 1 и на рисунке 11.

2. Точка принадлежит плоскости проекций (рис.12).

· Точка А принадлежит горизонтальной плоскости проекций (x≠0,y≠0,z=0) - фронтальная проекция точки лежит на оси x, а профильная на оси y.

· Точка B принадлежит фронтальной плоскости проекций (x≠0,y=0,z≠0) - горизонтальная проекция точки лежит на оси x, а профильная на оси z.

· Точка С принадлежит профильной плоскости проекций (x=0,y≠0,z≠0) - горизонтальная проекция точки лежит на оси y, а фронтальная на оси z.

3. Точка принадлежащая одновременно двум плоскостям проекций - точка на оси (рис.12).

· Точка D лежит на оси x, принадлежит одновременно горизонтальной и фронтальной плоскостям проекций (x≠0,y=0,z=0).

 

	Таблица 1 Знаки координат в октантах точка октант координаты x y z A I + + + B II + - + D III + - - C IV + + - E V - + + F VI - - + N VII - - - G VIII - + -
а) модель I-IV октантов
б) модель V-VIII октантов	в) эпюр
Рисунок 11. Точки общего положения

 

 

а) модель	б) эпюр
Рисунок 12. Точки частного положения

· Точка E лежит на оси y, принадлежит одновременно горизонтальной и профильной плоскостям проекций (x=0,y≠0,z=0).

· Точка F лежит на оси z, принадлежит одновременно фронтальной и профильной плоскостям проекций (x=0,y=0,z≠0).

4. Точка принадлежит одновременно трем плоскостям проекций - 0 (x=0,y=0,z=0) - начало координат.

 

взаимное расположение точек

Рассмотрим три основных варианта взаимного расположения точек, в зависимости от соотношения координат определяющих их положение в пространстве:

1. Рассмотрим точки А и В (рис.13), все три координаты которых отличаются, их взаимное расположение можно оценить по удаленности к плоскостям проекций:

- Y_А>Y_В. Тогда точка А расположена дальше от плоскости П ₂ и ближе к наблюдателю, чем точка В;

- Z_А>Z_В. Тогда точка А расположена дальше от плоскости П ₁ и ближе к наблюдателю, чем точка В;

- X_А<X_В. Тогда точка В расположена дальше от плоскости П ₃ и ближе к наблюдателю, чем (при взгляде слева) точка А.

2. На рисунке 14 представлены точки А, В, С, D, у которых одна из координат совпадает, а две другие отличаются, их взаимное расположение можно оценить по удаленности к плоскостям проекций следующим образом:

– Y_А=Y_В=Y_D, то точки А, В и D равноудалены от плоскости П ₂ и их горизонтальные и профильные проекции расположены, соответственно, на прямых А ₁ В ₁//x₁₂ и А ₃ В ₃// z. Геометрическим местом таких точек служит плоскость, параллельная П ₂;

 

а) модель	б)эпюр
Рисунок 13. Взаимное расположение точек

– Z_А=Z_В=Z_С, то точки А,В и С равноудалены от плоскости П ₁ и их фронтальные и профильные проекции расположены, соответственно, на прямых А ₂ В ₂//x₁₂ и А ₃ С ₃// y. Геометрическим местом таких точек служит плоскость, параллельная П ₁;

– X_А=X_C=X_D, то точки А,C и D равноудалены от плоскости П ₃ и их горизонтальные и фронтальные проекции расположены, соответственно, на прямых А ₁ C ₁// y и А ₂ D ₂//z. Геометрическим местом таких точек служит плоскость, параллельная П ₃.

3. Если у точек равны две одноименные координаты, то они называются конкурирующими. Конкурирующие точки расположены на одной проецирующей прямой. На рис. 14. даны три пары таких точек, у которых:

а) модель	б) эпюр
Рисунок 14. Конкурирующие точки

4. X_А=X_D;Y_А=Y_D;Z_D>Z_А;

5. X_A=X_C;Z_A=Z_C;Y_C>Y_A;

6. Y_A=Y_B;Z_A=Z_B;X_B>X_A.

Соответствующие проекции конкурирующих точек совпадают.

Различают: горизонтально конкурирующие точки А и D, расположенные на горизонтально проецирующей прямой АD; фронтально конкурирующие точки A и C расположенные на фронтально проецирующей прямой AC; профильно конкурирующие точки A и B, расположенные на профильно проецирующей прямой AB.

При проецировании на соответствующую плоскость проекций одна точка «закроет» другую точку, конкурирующую с ней, соответствующая проекция которой окажется невидимой.

Прямая линия

Прямая линия *- одно из основных понятий геометрии. При систематическом изложении геометрии прямая линия обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется аксиомами геометрии.

 

Если основой построения геометрии служит понятие расстояния между двумя точками пространства, то прямую линию можно определить как линию, вдоль которой расстояние между двумя точками является кратчайшим.

Прямая линия - алгебраическая линия первого порядка: в декартовой системе координат прямая линия задается на плоскости уравнением 1 - ой степени (линейное уравнение).

Общее уравнение прямой (полное):

Ах + Ву + С =0,

где А, В и С - любые постоянные, причем А и В одновременно не равны нулю. Если один из коэффициентов равен нулю, уравнение называется неполным.

Способы графического задания прямой линии

Для определения положения прямой в пространстве существуют следующие методы:

1.Двумя точками (А и В).

Рассмотрим две точки в пространстве А и В (рис. 15). Через эти точки можно провести прямую линию. Для того чтобы найти проекции отрезка [BA] на плоскости проекций необходимо найти проекции точек А и В и соединить их прямой. Каждая из проекций отрезка на плоскости проекций меньше самого отрезка: