Формула интегрирования по частям

Неопределенный интеграл

 

Функция F (x) называется первообразной для функции f (x) на промежутке (a; b), если для всех x∈(a; b) выполняется равенство F′ (x) = f (x).

Например, для функции x ² первообразной будет функция x ³/3.

Если для F (x) установлено равенство dF (x) = f (x) dx, то F (x) – первообразная для f (x), так как.

Рассмотрим две теоремы, которые называются теоремами об общем виде всех первообразных данной функции.

Теорема 1. Если F (x) – первообразная для f (x) на (a; b), то F (x) + C, где C – число, тоже первообразная для f (x) на (a; b).

Доказательство: (F + C) ′ = F′ + C′ = f + 0 = f

По определению F + C – первообразная для f.

Прежде чем рассмотреть теорему 2, докажем две вспомогательные теоремы.

Если функция g (x) постоянна на (a; b), то g′ (x) = 0.

Доказательство: Так как g (x) = C, справедливы равенства: g′ (x) = C′ = 0 (здесь, как и ниже, через C обозначено произвольно выбранное число).

Если g′ (x) = 0 при всех x ∈(a; b), то g (x) = C на (a; b).

Доказательство: Пусть g′ (x) = 0 во всех точках (a; b). Зафиксируем точку x ₁∈(a; b). Тогда для любой точки x ∈(a; b) по формуле Лагранжа имеем g (x) – g (x ₁) = g′ (ξ)(x – x ₁). Так как ξ ∈(x; x ₁), а точки x и x ₁ принадлежат промежутку (a; b), то g′ (ξ) = 0, откуда следует, что g (x) – g (x ₁)=0, то есть g (x) = g (x ₁)= const.

Теорема 2. Если F (x) есть первообразная для f (x) на промежутке (a; b), а G (x) – другая первообразная для f (x) на (a; b), то G = F + C, где C –число.

Доказательство: Возьмем производную от разности G – F: (G – F) ′ = G′ – F′ = f – f = 0. Отсюда следует: G – F = C, где C – число, то есть G = F + C.

Множество всех первообразных для функции f (x) на промежутке (a; b)называется неопределенным интегралом и обозначается _∫ f (x) dx. Если F (x) – первообразная для f (x), то _∫ f (x) dx = F (x) + C, где C – произвольное число.

Вычисление неопределенного интеграла от заданной функции называется интегрированием.

Из определения неопределенного интеграла следует, что каждой формуле дифференциального исчисления F′ (x) = f (x) соответствует формула _∫ f (x) dx = F (x) + C интегрального исчисления. Отсюда получается таблица неопределенных интегралов:

 

Таблица 5.1. Неопределенные интегралы

1) ∫ dx = x + C	7) ∫ cos x dx = sin x + C
2) ∫ xαdx =(α ≠1)	8)
3)	9)
4) ∫ exdx = ex + C	10)
5) ∫ axdx = ax log ae + C (α ≠1)	11)
6) ∫ sin x dx=- cos x + C	12)

 

Неопределенный интеграл обладает следующими свойствами:

 

Таблица 5.2.

1) (∫ f (x) dx) ′=f (x);	4) ∫ d f (x)= f (x)+ C;
2) ∫ f′ (x) dx = f (x)+ C;	5) ∫ kf (x) dx=k ∫ f (x) dx;
3) d ∫ f (x) dx= f (x) dx;	6) ∫(f (x)+ g (x)) dx= ∫ f (x) dx +∫ g (x) dx;
7. Если ∫ f (x) dx = F (x) + C, то ∫ f (ax+b) dx = (a ≠ 0).

Все эти свойства непосредственно следуют из определения.

Замена переменной в неопределенном интеграле

 

Если функция f (x) непрерывна, а функция φ (t) имеет непрерывную производную φ′ (t), то имеет место формула _∫ f (φ (t)) φ′ (t) dt = _∫ f(x) dx, где x = φ (t).

Можно привести примеры вычисления интеграла с помощью перехода от левой части к правой в этой формуле, а можно привести примеры обратного перехода.

Примеры. 1. I = _∫ cos(t ³) t ² dt. Пусть t ³ = x, тогда dx = 3 t ² dt или t ² dt = dx/ 3.

.

. Пусть ln t = x, тогда dx = dt/t.

 

. Пусть x = cos t, тогда dx = - sin t dt, и

.

. Пусть x = sin t, тогда dx = cos dt, и

.

Формула интегрирования по частям

 

Пусть u (x) и v (x) – дифференцируемые на некотором промежутке функции. Тогда (uv) ′ = u′v + v′u

Отсюда следует _∫ (uv) ′dx = _∫ (u′v + v′u) dx = _∫ u′v dx + _∫ v′u dx

Или _∫ uv′ dx = uv – _∫ u′v dx.

Отсюда следует формула, которая называется формулой интегрирования по частям: _∫ u (x) dv (x) = u (x) v (x) – _∫ v (x) du (x)

Приведем примеры применения формулы интегрирования по частям.

Примеры. 1. I = _∫ x cos x dx. Пусть u = x; dv = cos x dx, тогда du = dx; v = sin x. Отсюда по формуле интегрирования по частям получается: I = x sin x – _∫ sin x dx = x sin x + cos x + C. I = _∫ (x² – 3 x + 2) e^5xdx. Пусть x² – 3 x + 2 = u; e^5xdx = dv.

Тогда du = (2 x – 3) dx;..

К последнему интегралу применим метод интегрирования по частям, полагая 2 x - 3 = u; e^5xdx = dv. Отсюда следует: du = 2 dx;, и окончательно получаем:

 

;

 

В заключение покажем метод вычисления неопределенного интеграла, стоящего в приведенной выше таблице под номером 12:

.

Представим дробь в виде суммы двух дробей: и, и попытаемся найти неизвестные величины параметров A и B. Из равенства получим систему уравнений

 

с решением. Отсюда следует:.

Полученный интеграл в обиходе обычно называют «высоким логарифмом». Метод, которым он был найден, называется методом «неопределенных коэффициентов». Этот метод применяется при вычислении интегралов от дробей с числителем и знаменателем в виде многочленов.