III. Порядок выполнения работы

I. Теория метода

Моментом инерции материальной точки относительно какой-либо оси вращения называется произведение массы токи на квадрат расстояния ее до оси вращения .

Тело, подвешенное на стальной проволоке (рис.1), может совершать крутильные колебания вокруг вертикальной оси, совпадающей с осью проволоки. При повороте тела на угол проволока закручивается и возникает момент упругих сил , стремящийся вернуть тело в положение равновесия. Опыт показывает, что в довольно широких пределах изменения угла момент пропорционален

 

(1)

 

 

Коэффициент в формуле (1) называется модулем кручения проволоки. В соответствии с основным законом динамики вращательного движения угловое ускорение пропорционально М:

 

(2)

 

где - момент инерции тела относительно выбранной оси. Уравнение (2) является уравнением гармонических колебаний, математически эквивалентное уравнениям колебаний математического и пружинного маятников. Нетрудно убедиться, что согласно (2), в рассматриваемом нами случае тело будет совершать гармонические крутильные колебания с периодом

(3) Если провести опыт с двумя телами, то, исключая неизвестный модуль кручения , находим

(4)

Формула (4) позволяет экспериментально определить неизвестный момент инерции (например ), если известен момент инерции другого тела (), а также периоды колебаний и .

 

II. Описание установки

Экспериментальная установка (рис. 2) состоит из легкой рамки, закрепленной на упругой нити и электронного блока (таймера). Конструкция рамки позволяет закреплять грузики (12), значительно отличающиеся друг от друга по внешним размерам. Грузики крепятся при помощи подвижной балки, которая перемещается по направляющим между неподвижными балками. Балка устанавливается путем затягивания гаек на зажимных втулках, помещенных на подвижной балке.

 

В исходном положении отклоненная рамка удерживается электромагнитом. При нажатии клавиши «Пуск» электромагнит освобождает рамку, которая начинает совершать крутильные колебания. Таймер регистрирует время и число полных колебаний до нажатия клавиши «Стоп». Период колебаний рассчитывается по формуле

В соответствии с (4) неизвестный момент инерции связан с моментом инерции рамки соотношением

(5)

где - период колебаний ненагруженного маятника.

 

К сожалению, в техническом описании прибора РМ-05 не приводятся ни модуль кручения проволоки , ни момент инерции рамки.

 

В связи с этим, прежде чем находить момент инерции тел, необходимо определить момент инерции рамки. Для этого можно провести опыт с двумя эталонными цилиндрами. Обозначим через и моменты инерции цилиндров (эти значения должны различаться в 2-3 раза), согласно (4) имеем

Момент инерции тела, установленного в рамке, является линейной функцией квадрата периода колебаний :

(6) Если момент инерции второго тела больше, чем первого (), то значения , и будут представлены на графике как показано на рис. 3. Тангенс угла наклона прямой равен , откуда можно найти модуль кручения нити

(7)

и момент инерции «пустой» рамки

(8)

Рассчитав по периоду колебаний рамки с малым цилиндром

 

, (8')

 

можно оценить случайную погрешность определения , положив, что

(9) Заметим, что поскольку , расчет момента инерции по формуле (8) будет более точным, чем по формуле (8').

 

 

 

III. Порядок выполнения работы

1. Рассчитать моменты инерции эталонных цилиндров по формулам

, ,

где и - массы цилиндров, и - их радиусы.

 

2. Включить прибор нажатием клавиши «Сеть» и, отклонив маятник, зафиксировать его положение электромагнитом. Клавиши «Пуск» должна быть при этом в отжатом положении.

 

3. Нажать последовательно клавиши «Сброс» и «Пуск». При этом таймер начнет отсчет времени и числа колебаний. После того, как маятник совершит 10-20 колебаний, нажмите клавишу «Стоп», снимите отсчет времени и число колебаний . Затем рассчитайте период

 

4. Установите в рамке первый цилиндр (в вертикальном положении) и повторите опыт. После нахождения значения сделайте опыт со вторым, более массивным цилиндром и найдите .

 

5. По формулам (7) и (8) найдите модуль кручения нити и момент инерции «пустой» рамки.

 

6. Оцените случайную погрешность определения по формуле (9) и погрешность, обусловленную приборными погрешностями величин , , .

 

7. Поместите в рамку исследуемое тело (по указанию преподавателя или лаборанта), найдите период колебаний и по формуле

, (10)

вытекающей из (5), найдите его момент инерции . Проделайте опыт еще с двумя телами.

 

8. Если тело имеет форму цилиндра, диска, куба или стержня, рассчитайте его момент инерции, исходя из геометрии, массы тела и положения оси вращения. Сравните эти результаты со значениями, найденными из (10).

 

9. Результаты представьте в виде таблицы (см. ниже).

 

Примерный вид таблицы

	м
По ф-ле (10)	По геометрии тела

Обратите внимание на то, что для правильной записи результатов необходимо оценить погрешности всех представленных в таблице величин.