Вычисление вероятностей событий и комбинаторика.

Комбинаторные задачи в теории вероятностей имею большое практическое применение.. Рассмотрим решения некоторые из таких задач

Задание 3-1. Решить задачи средствами комбинаторики

1. Наудачу выбирается трехзначное число в десятичной записи числа, в которой нет нуля. Какова вероятность того, что у выбранного числа ровно 2 одинаковые цифры?

Решение. Представим себе, что на 9 одинаковых карточках написаны цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и эти карточки помещены в урну. Выбор наудачу трехзначного числа равносилен последова­тельному извлечению с возвращением из урны 3 карточек и записы­ванием цифр в порядке их появления. Следовательно, число всех элементарных исходов опыта равно 9³ = 729. Количество благо­приятных случаев для интересующего нас события подсчитаем так: 2 различные цифры х и у можно выбрать = 36 способами; если х и у выбраны, то из них можно составить 3 различных числа в которых встречается одна из выбранных цифр и другая – тоже три. Всего 6 раз, Число благоприятствующих случаев окажется равным 36. Искомая вероятность равна: P=216/729=8/27.

Рекомендуется решить эту задачу, если в записи числа используется и цифра 0.

 

2. Из букв слова "ротор", составленного с помощью разрезной азбуки, наудачу последовательно извлекаются 3 бук­вы и складываются в ряд. Какова вероятность того, что получится слово "тор"?

Решение. Чтобы отличать одинаковые буквы друг от дру­га, снабдим их номерами: p_lt p₂, o_lf o₃. Тогда общее число элемен­тарных исходов равно: размещению из 5 по 3, равное 60. Слово "тор" получится в 1 ·2 ·2= 4 случаях. Это понятно из того, что, буква "Т может быть выбранной только 1 раз, буквы "О" и "Р" каждая по 2 раза. Р=4/60=1/15.

При подсчете числа благоприятных случаев мы здесь восполь­зовались правилом произведения:

З. В партии из n деталей имеется f бракованных. Какова вероятность того, что среди наудачу отобранных k дета­лей окажется s бракованных?

Решение. Количество всех элементарных исходов равно числу сочетаний из n по k. Бракованные детали. могут быть выбранными только из бракованных. Число выбора их равно числу сочетаний из f по s. Остались k-s выбранные не бракованные детали. Они будут выбраны из не бракованных деталей, число которых равно n-f. Вариантов их выбора равно числу сочетаний из n-f по k-s. Ответ:

4. В бригаде 4 женщины и 3 мужчин. Среди членов бригады разыгрываются 4 билета в театр. Какова вероятность того, что среди обладателей билетов окажется 2 женщины и 2 мужчин?

Решение. Применим схему статистического выбора. Из 7членов бригады 4 человека можно выбрать 35 способами, сле­довательно, число всех элементарных исходов испытания равно 35. Далее, из 4 женщин можно выбрать 2 женщин 6 способами (число сочетаний из 4 по2). Аналогично, из 3 мужчин можно выбрать 2 мужчин 3 способами. Тогда число благоприятных случаев будет равно 6 · 3 = 18. Р=18/35

5 [3, №134] Игральная кость брошена 3 раза. Какова вероятность то­го, что при этом все выпавшие грани различны?

6. [3, №135]. На 6 одинаковых карточках написаны буквы "а", "в", "к", "М", "о", "с". Эти карточки наудачу разложены в ряд. Какова вероятность того, что получится слово "Москва"?

7 [3, №136] В урне 4 белых и 2 черных шара. Из этой урны наудачу извлечены 2 шара. Какова вероятность того, что эти шары разного цвета?

8 [3, №137] В урне 6 белых и 4 черных шара. Из этой урны наудачу извлекли 5 шаров. Какова вероятность того, что 2 из них белые, а 3 черные?

9 [3, №139] Какова вероятность того, что в написанном наудачу трех­значном числе 2 цифры одинаковы, а третья отличается от них?

9 [3, №140] В некоторый день недели во всех классах школы должно быть по 6 уроков. В этот день случайным образом ставятся в рас­писание 3 урока одного учителя и 2 урока другого. Какова вероят­ность того, что эти учителя не будут одновременно заняты?

10 [3, №141] 10 человек случайным образом рассаживаются на десяти­местную скамейку. Какова вероятность того, что 2 определенных лица окажутся рядом?

11 [3, №142] В урне 10 шаров, из которых 2 белых, 3 черных и 5 синих. Наудачу извлечены 3 шара. Какова вероятность того, что все 3 шара разного цвета?

12 [3, №143] В классе 40 учеников, из которых 10 отличников. Класс наудачу разделен на 2 равные части. Какова вероятность того, что в каждой части по 5 отличников?

13 [3, №144] На 10 карточках написаны буквы "а", "а", "а", "м", "м", "т", "т", "е", "и", "к". После тщательного перемешивания карточки раскладываются в ряд. Какова вероятность того, что получится слово "математика"?

14. [3, №152] Полная колода карт (52 листа) делится наугад на 2 равные части (по 26 карт). Найдите вероятности следующих событий:

А — в каждой части окажется по 2 туза;

В — в одной из частей не будет ни одного туза;

С — в одной из частей будет ровно один туз.

15. [3, №156] Из колоды в 36 карт наудачу извлекаются 3 карты. Опре­делите вероятность того, что сумма очков в этих картах равна 21, если валет составляет 2 очка, дама - 3, король - 4, туз- 11, а остальные карты -соответственно 6, 7, 8, 9, 10 очков.

16. [3, №158] Автобусу, в котором 15 пассажиров, предстоит сделать 20 остановок. Предполагая, что все возможные способы распределения пассажиров по остановкам равно возможны, найдите вероятность того, что никакие 2 пассажира не выйдут на одной остановке.

17. [3, №160] Из полной колоды карт (52 листа) извлекают сразу не­сколько карт. Сколько карт нужно извлечь для того, чтобы с ве­роятностью, большей, чем 0,5, утверждать, что среди них будут карты одной и той же масти?

18. [3, №164] 10 рукописей разложены по 30 папкам (одна рукопись занимает 3 папки). Найдите вероятность того, что в случайно вы­брошенных 6 папках не содержится целиком ни одной рукописи.

19. [3, №167] Вы задались целью найти человека, день рождения кото-' рого совпадает с Вашим. Сколько незнакомцев Вам придется опросить, чтобы вероятность встречи такого человека была бы не меньше чем 0,5?