Системи числення, їх класифікація, та характеристика.

Завдання

1. Засвоїти теоретичний матеріал згідно теми;

2. Дати відповіді на поставлені питання (лекція 2);

3. Виконати письмово приведені завдання;

4. Випишіть питання, що виникли в ході засвоєння матеріалу;

5. Зробіть висновки.

Рекомендована література:

1. Стрыгин В.В., Щарев Л.С. Основы вычислительной микропроцессорной техники и программирования: Учеб. для вузов. – М.: Высш. Шк., 1989. – 479с.

2. В.В. Коштоев, К.К. Кипиани „Основы прикладной теории_цифровых автоматов”: Учебное пособие. – Тбилиси:1998. – 155 с.(електронний посібник)

Системи числення, їх класифікація, та характеристика.

Найпростішим способом запису натурального числа є зображення його за допомогою відповідної кількості паличок або рисочок. Таким способом можна користуватися для невеликих чисел. Як відомо, в давнину люди використовували таку систему підрахунку кількості об’єктів. Але з розвитком відносин між людьми, зростали і кількості об’єктів для підрахунку. Пальців на руках і ногах не вистачало, носити кіпу паличок – прототипів об’єктів підрахунку – також не зручно.

Наступним кроком було винайдення спеціальних символів (цифр). З історії людства відомі різні набори символів для зображення числа. Але не тільки набори символів в числі визначають його величину. Адже числа 358 і 583 містять однакові символи, але це різні числа.

Сукупність прийомів та правил найменування й позначення чисел називається системою числення.

Розрізняють системи числення:

· позиційні

· змішані

· непозиційні

Позиційні системи числення: Винахід позиційної системи числення, заснованої на помісному значенні цифр, приписують шумерам і вавилонцям. Її було розвинуто індусами і вона отримала неоціненні наслідки для історії людської цивилізації.

Загальноприйнятою в сучасному світі є десяткова позиційна система числення, яка з Індії через арабські країни прийшла в Європу. Основою цієї системи є число десять.

Основою системи числення називається число, яке означає, в скільки разів одиниця наступного розрядку більше за одиницю попереднього, або, скільки одиниць попереднього розряду поєднано в одиницю поточного.

Загальновживана форма запису числа є насправді не що інше, як скорочена форма запису розкладу за степенями основи системи числення,

Для позиційної системи числення з основою q будь-яке натуральне число х можна подати у вигляді полінома: , де a_k — цілі (цифри, що утворюють число), такі, що 0≤a_k<q, дійсне число x_q = (a_na_n-1... a₀ , a_-1 a_-2... a_-m)_q= a_n*qⁿ + a_n-1*q^n-1 +…..+a_0*q⁰ +a_-1*q ^-1 +a_-2*q^-2 +...+ a_-m*q^-m

В математичній практиці зручною визнана десяткова позиційна система числення, тобто основою її є число 10, а саме число розписується як розкладення його по степеням з основою 10:

x_q = (a_na_n-1...a₀ , a_-1a_-2... a_-m)_q= a_n*10ⁿ + a_n-1*10^n-1 +.....+a_0*10⁰ +a_-1*10 ^-1 +a_-2*10^-2 +...+ a_-m*10^-m

Наприклад: 130678=1·10⁵+3·10⁴+0·10³+6·10²+7·10¹+8·10⁰

Тут 10 є основою системи числення, а показник степені - це номер позиції цифри в записі числа (нумерація ведеться зправо на ліво, починаючи з нуля).

У непозиційних системах числення величина, яку позначає цифра, не залежить від позиції її у числі. При цьому система може накладати обмеження на позиції цифр, например, щоб вони були розташовані по спаданню, чи згруповані за значенням. Проте це не є принциповою умовою для розуміння записаних такими системами чисел.

Римська цифра	Десяткове значення
I
V
X
L
C
D
M

Типовим прикладом непозиційної системи числення є римська система числення, в якій у якості цифр використовуються латинські букви:

Наприклад, VII = 5 + 1 + 1 = 7. Тут символи V і I означають 5 і 1, відповідно, незалежно від місця їх у числі.

Змішана система числення є узагальненням системи числення з основою b і її часто відносять до позиційниї систем числення. Основою змішаної системи є послідовність чисел, що зростає, і кожне число x представляється як лінійна комбінація: , де на коефіцієнти a_k (цифри) накладаються деякі обмеження.

Системи числення в ЕОМ

Двійкова система счислення: Основа q = 2, алфавіт – { 0, 1 }.

Найпоширенішою для подання чисел у пам'яті комп'ютера є двійкова система числення. Для зображення чисел у цій системі необхідно дві цифри: 0 і 1, тобто достатньо двох стійких станів фізичних елементів.

╔═ ··· Приклад 1. Визначити десяткове число в двійковій системі числення х=19₁₀.

Розв’язування. Кожні дві одиниці поєднуються в 1 десяток, кожні два десятка поєднуються в 1 сотню, дві сотні – в 1 тисячу, і т.д. Тобто 1₂=1₁₀, 10₂=2₁₀, 100₂=4₁₀, 1000₂=8₁₀, 10000₂=16₁₀, …

19₁₀=(16+2+1)₁₀=(10000+10+1)₂=10011₂.

╚═···

Для людини двійкова система, звісно, є громіздкою у використанні. Їй звичною є десяткова система числення, в якій вироблені прийоми запису чисел за «іменем», прийоми додавання, віднімання, множення і ділення будь-яких чисел. У двійковому записі числа важко визначити його значення, оскільки відсутнє поняття «імені» саме двійкового числа, важко зпівставити ланцюжок, особливо при великій його довжині, зі змістом. Виникає потреба перетворити двійковий запис у десятковий і навпаки, що не так то і легко. Але ці операції є необхідними тоді, коли людина змушена за якимись причинами користуватися двійковою системою поза ЕОМ.

╔═ ··· Приклад 2. Визначити десяткове значення числа, поданого в двійковій системі

числення х =10011011₂.

Розв’язування.

Згідно визначення число в позиційній системі числення можна розкласти у вигляді полінома:

10011011₂=(1·q⁷ + 0·q⁶ +0·q⁵ +1·q⁴ +1·q³ +0·q² +1·q¹ +1·q⁰)₂ =

=1·2⁷ + 0·2⁶ +0·2⁵ +1·2⁴ +1·2³ +0·2² +1·2¹ +1·2⁰ ==2⁷ + 2⁴ +2³ +2¹ +1=

=128+16+8+2+1=155.

╚═···

Не складно помітити, що результат складається з суми степенів основи 2^k, де k – позиції числа, що містять 1 (k=0, 1, …). То ж надалі для простоти переведення двійкового числа в десяткову систему числення будемо використовувати таблицю десяткових значень розрядів двійкового числа, що містять 1:

Табл.1

k	12	11	10	9	8	7	6	5	4	3	2	1	0
2k	4096	2048	1024	512	256	128	64	32	16	8	4	2	1

╔═ ··· Приклад 3. Визначити десяткове значення числа, поданого в двійковій системі числення х=101011010₂.

Розв’язування.

Згідно визначення число в позиційній системі числення можна розкласти у вигляді полінома:

101011010₂ =2+8+16+64+256=26+320=346.

╚═···

Вісімкова система счислення: Основа q = 8, алфавіт – { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 }.

В 8-й системі числення не існує цифра 8, 9. Адже 8 одиниць попереднього розряду поєднуємо в одиницю поточного, тобто 8 одиниць поєднуємо в один десяток, 8 десятків в одну сотню, 8 сотень в одну тисячу і т.д. Тоді 8₁₀ = 10₈, 9₁₀ = 11₈.

╔═ ··· Приклад 4. Визначити десяткове значення числа, поданого в вісімковій системі числення х=357₈.

Розв’язування.

Згідно визначення число в позиційній системі числення можна розкласти у вигляді полінома:

357₈ = (3·10² + 5·10¹ +7·10⁰)₈ = (3·8² + 5·8¹ +7·8⁰)₁₀ =192 + 40 + 7 = 239

╚═···

Спробуємо переводити десяткові числа в вісімкову систему.

╔═ ··· Приклад 5. Визначити десяткове число в вісімковій системі числення х=77, х₈-?

Розв’язування.

Кожні 8 одиниць поєднуємо в десятки. З 77-х одиниць утворюється 9 вісімкових десятків і 5 одиниць залишиться. З 9 десятків 8 десятків поєднаємо в одну сотню і 1 десяток залишиться. Одже отримали 1 сотню, 1 десяток і 5 одиниць: 77=115₈.

╚═···

Шістнадцятерична система счислення: Основа q = 16, алфавіт – { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F }.

В 16-й системі числення звичні для нас десяткові числа 10, 11, 12..15 менші ніж основа q = 16, то ж вони повинні бути записані однією цифрою. Щоб не вигадувати додаткові цифри для цього, в міжнародній спільноті з цією метою використовуються перші латинькі літери, тобто: A₁₆=10, B₁₆=11, C₁₆=12, D₁₆=13, E₁₆=14, F₁₆=15.

╔═ ··· Приклад 6. Визначити десяткове значення числа, поданого в 16-й системі числення х=2ЕА₁₆.

Розв’язування.

Згідно визначення число в позиційній системі числення можна розкласти у вигляді полінома:

2ЕА₁₆ = (2·10² + Е·10¹ +А·10⁰)₁₆ = (2·16² + 14·16¹ +10·16⁰)₁₀ =512 + 224 + 10 = 746

╚═···

10-а	8-ва	2-ва	16-ва
			A
			B
			C
			D
			E
			F

Приведемо таблицю значень десяткових чисел від 0 до 16 в розглянутих системах числення.

Для самостійної роботи

Критерії оцінювання:

1-5бали – конспект приведених прикладів;

Кожний розв’язаний приклад – 3 бали.

Максимальна кількість балів – 12.

 

Завдання 1. Визначити десяткове значення числа, поданого в двійковій системі числення.

 

Завдання 2. Визначити десяткове значення числа, поданого в вісімковій системі числення.

 

Завдання 3. Визначити десяткове значення числа, поданого в 16-ричній системі числення.

 

Завдання 4. Визначити десяткове число в вісімковій системі числення.

Варіант	Завдання 1	Завдання 2	Завдання 3	Завдання 4
			D1E6
			A0F5
			CC22
			B2A0
			9FC8
			E02B