Формы законов распределения дискретной случайной величины

Рассмотрим дискретную случайную величину Х с конечным набором ее возможных значений х ₁, х ₂, …, х _n. В результате некоторого испытания случайная величина Х примет одно из этих значений. Иначе говоря, произойдет одно из следующих несовместных событий, образующих полную группу: Х = х ₁, Х = х ₂, …, Х = х _n. Обозначим вероятности этих событий через р ₁= Р (Х = х ₁), р ₂= Р (Х = х ₂), …, р _n= Р (Х = х _n). Рассматриваемые события образуют полную группу, поэтому сумма вероятностей этих событий или, иначе, сумма вероятностей появления возможных значений случайной величины равна единице, т.е.

(5.1)

Таким образом, каждому возможному значению случайной величины х _к поставлено в соответствие число р _к – вероятность появления этого значения, т.е. получена зависимость между возможными значениями случайной величины и вероятностями появления этих значений. Эта зависимость определяет основные формы закона распределения дискретной случайной величины. Она может быть представлена таблично, графически и аналитически. Простейшее представление такой зависимости в виде таблицы называется рядом распределения.

Рядом распределения вероятностей дискретной случайной величины называется ее закон распределения, записанный в виде таблицы, в первой строке которой приведены все возможные значения случайной величины (обычно в порядке возрастания), а во второй строке – соответствующие этим значениям вероятности.

Ряд распределения для дискретной случайной величины с конечным множеством значений имеет вид:

Для значений второй строки данной таблицы выполнена формула (5.1). Таким образом, само название этой таблицы говорит о том, что единица как бы распределена между всеми значениями случайной величины согласно имеющимся вероятностям.

Если множество значений дискретной случайной величины бесконечно (счетно): х ₁, х ₂, …, х _n, …, то ряд распределения будет представлен бесконечной таблицей, а формула (5.1) примет вид

.

В дальнейшем, в основном, будут рассматриваться дискретные случайные величины с конечным множеством значений.

Ряд распределения является табличной формой задания закона распределения. Однако он может быть задан, как и функция в математическом анализе, графическим способом. Если по оси абсцисс отложить возможные значения случайной величины, а по оси ординат – вероятности этих значений, то, соединив точки (х _к, р _к) последовательно отрезками прямой линии, получим ломаную, которая является графической формой закона распределения дискретной случайной величины и называется многоугольником распределения вероятностей. Иногда многоугольником распределения вероятностей называют, по аналогии с геометрическими фигурами, саму фигуру (многоугольник), расположенную под ломаной линией.

Покажем на конкретном примере, как, используя формулы первой главы, найти закон распределения случайной величины.

Пример 5.1. В денежной лотерее разыгрывается 10 выигрышей в 50 рублей и 20 выигрышей по 10 рублей при общем числе билетов 100. Найти закон распределения в виде ряда распределения и многоугольника распределения выигрыша Х для владельца одного лотерейного билета.

Решение. Возможные значения для случайной величины Х это 0 рублей, 10 рублей и 50 рублей. Вероятности этих значений могут быть найдены по классической формуле, т.е.

Таким образом, ряд распределения имеет вид:

Построим многоугольник распределения (рис.5.1):

Рис.5.1.

Многоугольник распределения в данном примере характеризует невыпуклое множество. ■

Закон распределения дискретной случайной величины может быть задан и аналитически, в виде функции , позволяющей находить вероятности какого-либо значения по определенной формуле, зная само это значение случайной величины. В зависимости от вида этой функции некоторые законы распределения получили свое название. Рассмотрению конкретных законов распределения посвящена 7 глава.

Ряд распределения для непрерывной случайной величины построен быть не может, так как невозможно даже записать первую строку этого ряда, т.е. перечислить все возможные значения случайной величины. Более того, в дальнейшем, будет показано, что вероятность отдельного значения непрерывной случайной величины просто равна нулю. Однако, несмотря на нулевые вероятности отдельных значений случайной величины, нахождение ее возможных значений в различных, иногда очень маленьких, интервалах обладает различными и отличными от нуля вероятностями. Поэтому распределение непрерывной случайной величины задают используя не отдельные значения этой величины, а интервалы, в которые могут попадать эти значения. С помощью интервалов может быть задано и распределение дискретной случайной величины. Таким образом, существует особая форма закона распределения, которая относится и к дискретной и к непрерывной случайным величинам, т.е. является универсальным законом распределения. Этой формой является функция распределения.