Пересечение конуса плоскостями различного направления. Виды линии сечения.

Для построения кривой ли­нии, получаемой при пересечении конической поверхности плоскостью, в общем случае находят точки пересечения прямоли­нейных или круговых образующих конической поверхности с секу­щей плоскостью. Соответствующий пример в случае пересечения фронтально-проецирующей плоскостью P (P_v) конуса с вершиной S приведен на рисунке 9.8.

Построение линии пересечения плоскости с конической поверхностью обыч­но выполняют в следующем порядке. Основание конуса делят на несколько равных частей (обычно 12), проводят горизон­тальные проекции s – 1, s – 2,..., s – 12 образующих и строят их фронтальные проекции. На фронтальной проекции отмечают фронтальные проекции точек пересечения построенных обра­зующих на видимой поверхности конуса с секущей плоскостью P (P_v): c', d', f', q', а также крайних точек а' и b'. Горизон­тальные проекции строят в проекционной связи на соответ­ствующих проекциях образующих – точки а, с, d, f, q, b на проекциях образующих s–1, s–2, s–3, s–5, s–6, s–7, a так­же симметричные им точки на проекциях образующих s–12, s–11, s–9, s–8. Горизонтальную проекцию e точки E на об­разующей S–4 и симметричной точки на образующей S–10 строят с помощью окружности радиуса е'е'₁, проведенной на поверхности конуса.

На фронтальной проекции большая ось AB эллипса – линии пересечения фронтально-проецирующей плоскости с кону­сом – проецируется в натуральную величину: AB = a'b'. Ма­лая ось MN эллипса перпендикулярна большой и проецируется в точку m'(n') в середине фронтальной проекции a'b' боль­шой оси.

 

 

Построение горизонтальной проекции малой оси эллипса выполнено с помощью параллели с проекциями m'14' и m – 14 – n. Горизонтальная проекция mn малой оси эллипса построена в проекционной связи как хорда горизонтальной проекции m–14–n этой параллели. Профильная проекция ли­нии среза конуса также построена по фронтальной и горизон­тальной проекциям точек в проекционной связи.

Отметим, что на профильной проекции точки а" и а" низ­шая и высшая, m" и n"– край-ние (правая и левая), е" и сим­метричная ей – точки касания проекций крайних образующих.

Построение натурального вида фигуры среза A₀M₀B₀N₀ вы­полнено по координатам в системе координат х₁ у₁.

Наряду с построением эллипса по точкам возможно пост­роение его по большой и малой осям.

При пересечении конической поверхности вращения плос­костью получаются различные линии – прямые, замкнутые кривые – окружности и эллипсы, незамкнутые кривые – па­раболы и гиперболы, а также точка. Вид указанных линий определяется положением секущей плоскости относительно вершины конической поверхности и соотношением между ве­личинами углов наклона секущей плоскости и образующей ко­нической поверхности к ее оси.

 

 

Рис. 9.6

Если секущая плоскость P (Р_v) проходит через вершину (рис. 9.6, а), то пересечение плоскости с конической поверх­ностью в зависимости от угла а наклона плоскости к оси по­верхности образует:

при β < α < (180° – β) – точку,

при α = β – прямую, по которой плоскость касается кони­ческой поверхности;

при 0 ≤α < β – две прямые (образующие).

Если плоскость пересекает коническую поверхность и при этом не проходит через вершину, то в их пересечении имеют место (рис. 9.6, б, в):

при α = 90° – окружность (плоскость, перпендикулярная оси, окружность AMB (a'm'b') в пересечении с плоскостью P (P_v) – рис. 9.6, б);

при β < α <(180⁰ – β) – эллипс (эллипс CMD (c'm'd') в пересечении с плоскостью Q (Q_v) – рис. 9.6, б – плоскость пересекает все образующие конической поверхности);

при α < β – гипербола (плоскость параллельна двум образу­ющим и пересекает коническую поверхность по обе стороны от вершины, например гипербола с вершинами E (e') и

F (f') в пересечении с плоскостью T (T_v) или с вершинами 1 (1') и 2 (2') в пересечении с плоскостью Т₁ (Т _1v) – рис. 9.6, в);

при α = β – парабола (плос­кость, параллельная одной из об­разующих, например парабола с вершиной К (k') в пересечении с плоскостью R (R_v) – рис. 9.6, в).

Наглядное изображение кри­вых – эллипса, гиперболы,

па­раболы, получающихся при пере­сечении конической поверхности плоскостями Q, T, R, приведено на рисунке 9.7.