Законы распределения непрерывных случайных величин

Равномерное распределение

Непрерывная случайная величина X имеет равномерный закон распределения на отрезке [a, b], если ее плотность вероятности постоянна на этом отрезке и равна нулю вне его:

Равномерное распределение случайной величины X на участке [a, b] (или (a, b)) обозначают следующим образом: .

Функция распределения F(x) для равномерно распределенной случайной величины X имеет вид:

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины X, имеющей равномерное распределение, находятся по формулам:

Существуют также частные преобразования, позволяющие на основе равномерного распределения получить случайные распределения другого вида.

Задача:

Функция плотности:

Функция распределения:

=8,(3).

Квантиль

Экспоненциальное распределение

Непрерывная случайная величина X имеет экспоненциальный закон распределения с параметром λ, если ее плотность вероятности имеет вид:

Функция распределения имеет вид:

Экспоненциальное распределение моделирует время между двумя последовательными свершениями одного и того же события.

Рассмотрим графики функций плотности и распределения при изменении λ:

Задача:

Квантиль

Нормальное распределение

Нормальный закон распределения (закон Гаусса) играет исключительную роль в теории вероятностей. Главная особенность закона Гаусса состоит в том, что он является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения при определенных условиях. Нормальный закон распределения наиболее часто встречается на практике.

Непрерывная случайная величина X имеет нормальный закон распределения (закон Гаусса) с параметрами a и σ, если ее плотность вероятности имеет вид:

Функция распределения имеет вид:

erf – это функция ошибок (Лапласа).

Нормальный закон распределения говорит, что средние значения имеют наибольшую вероятность.

Математическое ожидание и дисперсия вычисляются по следующим формулам:

Нормальный закон распределения случайной величины с параметрами и называется стандартным или нормированным.

Рассмотрим графики функций плотности и распределения при изменении разных параметров:

1. Постоянное a, σ изменяется

2. Постоянное σ, a меняется

Вероятность попадания в интервал (a, b) случайной величины X, подчиненной нормальному закону, определяется формулой:

Вероятность попадания случайной величины X в интервал , симметричный относительно центра рассеяния , находится по формуле:

В частности, , т. е. практически достоверно, что случайная величина X принимает свои значения в интервале . Это утверждение называется “правилом трех сигм”.

Задача:

Функция плотности:

Функция распределения:

Квантиль

Распределение хи-квадрат

Пусть — совместно независимые случайные величины, распределенные по стандартному нормальному закону. Тогда случайная величина

имеет распределение хи-квадрат с k степенями свободы.

Математическое ожидание и дисперсия вычисляются по следующим формулам:

Если , то распределение совпадает с экспоненциальным:

Рассмотрим графики функций плотности и распределения при изменении k:

Задача:

Квантиль

Распределение Стьюдента

Распределение Стьюдента играет важную роль в некоторых широко используемых системах статистического анализа. Пример такой системы – t-критерий Стьюдента для оценки статистического значения разницы между двумя выборочными средними, построения доверительных интервалов разницы между двумя доверительными средними, а также в линейном регрессионном анализе.

Распределение Стьюдента может быть использовано для оценки того, насколько вероятно, что истинное среднее находится в каком-либо заданном диапазоне.

График плотности распределения Стьюдента, как и нормального распределения, является симметричным и колоколообразным, но с более тяжелыми хвостами, из-за этого величины с распределением Стьюдента чаще сильно отличаются от математического ожидания.

Пусть – независимые случайные величины, распределенные по стандартному нормальному закону. Тогда распределение случайной величины , где