Напружений та деформований

Модуль 1

Вступ

Предмет опору матеріалів. Роль опору матеріалів в сучасній технічній цивілізації. Зв'язок опору матеріалів з агропромисловим виробництвом, його роль у розв’язанні народногосподарських завдань в сучасних умовах. Основні етапи розвитку опору матеріалів. Значення опору матеріалів для підготовки фахівців агропромислового комплексу України. Зміст дисципліни та її зв'язок з іншими дисциплінами. Література.

 

Рекомендована література.

[1] – ст. 55…56;

[2] – ст. 129…130;

[3] – ст. 150…151;

[6] – ст. 4…5;

[8] – ст. 5…6;

[9] – ст. 5…6;

[10] – ст. 3…4.

 

2. Основні положення опору матеріалів

Завдання й методи опору матеріалів. Деформоване тіло. Пружність і пластичність. Попередні питання про розрахунки на міцність, жорсткість і стійкість. Класифікація навантажень.

Основні гіпотези і припущення. Метод перерізів. Основні види навантаження (деформації) бруса. Напруження повне, нормальне, дотичне.

 

ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

Опір матеріалів є одним з напрямків механіки деформованого твердого тіла. На основі методів опору матеріалів та суміжних областей механіки деформованого тіла (математичної та прикладної теорії пружності і пластичності, статики та динаміки будов) виконують розрахунки машин, апаратів, приладів, споруд. Ці розрахунки служать для забезпечення надійності та довговічності проектованих конструкцій при мінімальній витраті матеріалів на їх виготовлення.

На відміну від теоретичної механіки, де всі тіла ми вважали абсолютно твердими та абсолютно жорсткими (див. рис. 2.1), в опорі матеріалів розглядаються тіла, виготовлені із реальних матеріалів, які мають здатність деформуватися.

Деформація – це зміна форми і розмірів деталі під дією зовнішніх навантажень чи інших причин (див. рис. 2.2).

Деформації бувають пружними (зникають після припинення дії навантажень, які їх викликають) та пластичними (залишаються після припинення дії відповідних навантажень)

Рис.2.3

Рис.2.2

Рис.2.1

Якщо деталь не витримує прикладеного навантаження, то відбувається втрати міцності, тобто руйнування деталі (див. рис. 2.3).

В більшості випадків для нормальної роботи конструкції вона не тільки не повинна руйнуватися, але в ній не повинні виникати і пластичні деформації. Міцність конструкції повинна забезпечуватися не тільки при заданих навантаженнях. Але й при умові деякого їх перевищення, викликаного випадковими причинами, тобто конструкція повинна мати певний запас міцності.

Крім того пружні деформації, які виникають в конструкції при її навантаженні, не повинні перевищувати певних значень, тобто конструкція повинна мати достатню жорсткість.

 

Рис.2.5

Рис.2.4

 

В ряді випадків, коли порівняно довгий та тонкий стержень працює на стиск

(див. рис. 2.4), він при досягненні силою F певного критичного значення, раптово прогинається (див. рис. 2.5), тобто втрачає повздовжню стійкість і в такому стані витримує навантаження, але при цьому конструкція, в яку входить такий стержень, як правило, стає непрацездатною чи навіть руйнується.

Звідси випливають задачі опору матеріалів.

Перша задача: розрахунок елементів конструкцій на міцність.

Друга задача: розрахунок елементів конструкцій на жорсткість.

Третя задача: розрахунок елементів конструкцій на стійкість.

Таким чином опір матеріалів дає основи розрахунку елементів конструкцій на міцність, жорсткість та стійкість.

З курсу теоретичної механіки відомо, що зовнішні сили, що діють на елементи конструкцій, діляться на активні та реактивні (реакції зв’язків).

Активні зовнішні сили називають навантаженнями. У випадку, коли елемент конструкції, що розглядається, рухається з прискоренням, то до діючих на нього навантажень відносяться, також, сили інерції.

Сили ваги конструкції та сили інерції, що виникають при її прискореному русі, є об’ємними силами, тобто вони діють на кожний безкінечно малий елемент об’єму конструкції. Навантаження, що передаються від одних елементів конструкції до інших, відносяться до поверхневих сил.

Поверхневі сили в більшості випадків зводяться до трьох основних різновидів: зосереджена сила (див. рис 2.6), розподілене навантаження (див. рис 2.7) та пара сил

(див. рис 2.8).

 

Рис.2.8

Рис.2.9

Рис.2.7

Рис.2.6

 

 

Сила розглядається як зосереджена, коли вона передається на деталь на площадці, розміри якої малі в порівнянні з розмірами деталі.

Навантаження, розподілене по поверхні (див. рис 2.7)., характеризується тиском, тобто відношенням сили, діючої на елемент поверхні нормально до неї, до площі даного елемента і виражається в Паскалях, чи мегапаскалях (; ).

Навантаження, розподілене по довжині елемента конструкції (див. рис. 2.9), характеризується інтенсивністю (це сила, що дії на одиницю довжини ділянки, навантаженої розподілено).

За характером зміни в часі навантаження поділяють на статичні, повторні, ударні.

Статичні – це навантаження, що наростають повільно і плавно від нуля до свого кінцевого значення і, досягнувши його, в подальшому не змінюються.

Повторні (повторно-змінні, циклічні) – це навантаження, що багаторазово повторюються, змінюючись з часом за певним законом.

Ударні – (динамічні) – це навантаження, що прикладаються до конструкції за малий проміжок часу.

Форми елементів, з яких складаються конструкції (машини, механізми, споруди…) досить різноманітні, але їх в опорі матеріалів зводять до таких різновидів, як брус, оболонка, пластина, масив.

Рис.2.13

Рис.2.12

Рис.2.11

Рис.2.10

 

 

Брус (див. рис.2.10) – це тіло, два виміри якого невеликі в порівнянні з третім (довжиною). Розрізняють бруси прямі чи криві, з сталим чи змінним поперечним перерізом.

Оболонка (див рис. 2.11) та пластина (див рис. 2.12) характеризується тим, що їх товщина невелика в порівнянні з іншими розмірами. Пластину можна розглядати як частковий випадок оболонки, так би мовити “розгорнуту” оболонку.

Масивом називають тіло, всі три виміри якого величини одного порядку.

Рекомендована література

[1] – ст. 55…65;	[6] – ст. 4…26;
[3] – ст. 150…159;	[7] – ст. 3…11;
[2] – ст. 129…134;	[8] – ст. 5…16;
[4] – ст.153…159;	[10] – ст.5…11.
[5] – ст. 176…180;

 

Вправи:

– підібрати приклади технологічних процесів в сільському господарстві, де використовуються: а) пружні деформації; б) пластичні деформації;

– підібрати приклади технологічних процесів в сільському господарстві, де: а) повинна відбутися втрата міцності певних тіл; б) не повинна відбутися втрата міцності тіл;

– з області сільського господарства підібрати приклади тіл, що працюють як стиснуті стержні.

– привести конкретні приклади навантажень, що діють як: а) зосереджена сила; б) розподілене навантаження; в) пара сил;

– привести конкретні приклади навантажень, які можна вважати: а) статичними; б) повторними; в) ударними;

– привести конкретні приклади елементів сільськогосподарських конструкцій, які можна вважати: а) брусами; б) оболонками; в) пластинами; г) масивами.

 

 

Контрольні запитання

1. Що таке: – деформація?

– пружна деформація?

– пластична деформація?

2. Пояснити терміни: – втрата міцності;

– запас міцності.

3. Що таке втрати поздовжньої стійкості, з якими об’єктами та за яких умов вона відбувається?

4. Сформулювати задачі опору матеріалів.

5. Дати класифікацію навантажень.

6. Дати класифікацію форм елементів, з яких складаються конструкції.

 

3. Розтяг – стиск

Поздовжні сили та їх епюри. Нормальні напруження в поперечних перерізах та їх епюри. Повздовжні та поперечні деформації при розтягу (стиску). Закон Гука. Модуль поздовжньої пружності, коефіцієнт поперечної деформації (коефіцієнт Пуассона). Жорсткість перерізів та жорсткість бруса при розтягу і стиску. Визначення осьових переміщень поперечних перерізів бруса. Експериментальне дослідження розтягу й стиску матеріалів. Коефіцієнт запасу міцності при статичному навантаженні по межі міцності та межі текучості. Допустимі напруження. Розрахунки на міцність: перевірка міцності, визначення допустимого навантаження, визначення необхідних розмірів поперечного перерізу.

 

ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

Прямий брус працює на розтяг чи стиск, коли зовнішнє навантаження, що діє на нього – це сила, що діє вздовж повздовжньої осі бруса (див. рис. 3.1). Такі бруси ще називають стержнями. Брус працюватиме на розтяг чи стиск і тоді, коли зовнішнє навантаження буде представлене і кількома силами, що виходять з однієї точки, при умові, що їх рівнодійна співпадатиме з повздовжньою віссю бруса (див. рис. 3.2), або коли зовнішнє навантаження – це кілька сил, прикладених в різних поперечних перерізах бруса, але направлених вздовж поздовжньої осі бруса (див. рис. 3.3).

 

Рис.3.1

Рис.3.2

Рис.3.3

При розтягу-стиску в поперечних перерізах бруса виникає тільки один внутрішній силовий фактор – повздовжня сила N (див. рис. 3.4), величину якої знаходимо за методом перерізів. Розділивши нормальну силу N на площу поперечного перерізу бруса А, одержимо нормальне напруження ( див. рис. 3.5), що вимірюється в паскалях (па) чи мегапаскалях (мПа).

 

Рис.3.5

Рис.3.4

 

, Па

;

Для того, щоб знати величину повздовжньої сили та нормального напруження в довільному поперечному перерізі бруса, будують їх епюри (тобто графіки, які показують, як змінюється повздовжня сила чи нормальне напруження по довжині бруса).

Рис.3.6

 

Для прикладу розглянемо побудову цих епюр для бруса, зображеного на рис 3.6. при умові, що F₁=10кН; F₂=15кН; А=1см².

Розділимо брус на ділянки 1,2,3, починаючи від вільного його кінця. Межами ділянок будуть початок і кінець бруса, та перерізи, в яких прикладені зовнішні сили та змінюється площа поперечного перерізу бруса.

На кожній з ділянок методом перерізів знайдемо поздовжню силу:

N₁=F₁=10кН;

N₂=F₁ – F₂=10-15= –5кН;

N₃=F₁ – F₂=10-15= –5кН;

За одержаними даними будуємо епюру поздовжніх сил (епюра N);

На кожній з ділянок підраховуємо нормальне напруження:

За одержаними даними будуємо епюру нормальних напружень (епюра )

Оскільки брус виготовлено з реального матеріалу, то при навантаженні він деформується (див. рис. 3.7).

 

Рис.3.7

 

Нехай в не навантаженому стані брус мав довжину та діаметр d. Очевидно, що при навантаженні силою F довжина бруса збільшиться на деяку величину , а діаметр його дещо зменшиться і стане рівний d₁.

– абсолютна повздовжня деформація (абсолютне видовження);

– абсолютна поперечна деформація

Відносні поздовжня та поперчена деформації зв’язані між собою коефіцієнтом Пуассона :

Для переважної більшості матеріалів:

,

Зокрема для сталі =0,25...0,3;

для гуми = 0,47

Дослідним шляхом встановлено, що при навантаженні бруса нормальні напруження ,що виникають в поперечних перерізах бруса, прямо пропорційні його відносному видовженню , а коефіцієнт пропорційності Е враховує механічні властивості матеріалу, з якого виготовлено брус. Математичний вираз цієї залежності

– закон Гука, або ж основний закон опору матеріалів, де Е – модуль повздовжньої пружності (модуль пружності першого роду).

Наприклад, для сталі Е = (1,96...2,16)10⁵ мПа;

для чавуну Е = (1,5...1,6)10⁵ мПа;

для дерева (вздовж волокон) Е = (0,1...0,16)10⁵ мПа;

Закон Гука справедливий тільки в межах пружних деформацій.

Підставивши в закон Гука значення , та розв’язавши одержане рівняння відносно , одержимо формулу для визначення абсолютної деформації бруса:

Визначимо за цією формулою абсолютну деформацію бруса на рис. 3.6, прийнявши, що брус стальний, та що см. Враховуючи, що на різних ділянках бруса в його поперечних перерізах виникають різні нормальні напруження, застосуємо принцип незалежної дії сил. Тоді одержимо:

 

Отже, брус в цілому видовжиться на 0,0125 мм.

Для розрахунку деталей на міцність, жорсткість чи стійкість треба знати механічні властивості матеріалів, з яких будуть виготовляти деталі.

Основні механічні характеристики матеріалів.

Міцність – здатність матеріалу не руйнуючись сприймати зовнішні механічні навантаження.

Пластичність – здатність матеріалу витримувати значні пластичні деформації не руйнуючись.

Пружність – здатність матеріалу відновлювати свої початкові форму та розміри після зняття навантаження.

Твердість – здатність матеріалу протистояти проникненню в нього іншого тіла, яке практично не має при цьому остаточних деформацій.

Механічні властивості матеріалів визначаються в процесі їх механічних випробувань.

За характером навантаження розрізняють випробування статичні, динамічні та на витривалість (при змінних циклічних навантаженнях).

По виду деформації розрізняють випробування на розтяг, стиск, зріз, кручення, згин, на складне навантаження (наприклад, на спільну дію згину та кручення).

Випробовують зразки стандартних розмірів за стандартною методикою. Одержані в результаті механічних випробувань числові значення механічних властивостей заносять до довідників. Дані довідників використовуються при проектуванні деталей, вузлів і механізмів.

Основний вид механічних випробувань – випробування на розтяг статичним навантаженням. Випробування проводять на розривній машині. Результати випробувань представляють у вигляді діаграми.

Рис.3.9

Рис.3.8

 

На рис. 3.8. показана умовна діаграма розтягу пластичних матеріалів (наприклад, маловуглецевої сталі). Умовність діаграми полягає в тому, що для її побудови використані початкова площа поперечного перерізу зразка А₀ та початкова його довжина , які в процесі випробувань в дійсності змінюються внаслідок деформації зразка, що випробовується.

Ділянка ОВ діаграми – прямолінійна, це – зона пружних деформацій, в якій справедливий закон Гука, а відносне видовження Е зразка, що випробовується, та нормальні напруження ,що виникають в його поперечних перерізах, зв’язані між собою прямо пропорційною залежністю.

Ділянка ВС діаграми – це зона виникнення пластичних (остаточних) деформацій.

Ділянка СД – (практично горизонтальна лінія) – це площадка текучості. Їй відповідає інтенсивне видовження зразка без збільшення розтягуючої сили (явище текучості металу).

По закінченні стадії текучості матеріал зразка, що випробовується, знову починає чинити опір деформації (ділянка ДК діаграми), але видовження зростає швидше від навантаження. при навантаженні, що відповідає точці L діаграми, на зразкові виникає місце звуження (“шийка”), а точці К діаграми відповідає розрив зразка.

Характерні параметри діаграми:

_П – межа пропорційності – найбільше напруження, до якого справедливий закон Гука.

_Т – межа текучості – напруження, при якому відбувається зростання пластичної деформації зразка при незмінній розтягуючій силі;

_м– межа міцності – умовне напруження, що відповідає найбільшому навантаженню, витримуваному зразком до руйнування.

Значення _П і _Т для пластичних матеріалів при випробуванні на стиск такі ж, як і при випробуванні на розтяг.

Для крихких матеріалів (наприклад сірого чавуну) явище текучості практично відсутнє, до того ж на стиск такі матеріали, як правило, витримують значно більше навантаження, ніж на розтяг. Тому в процесі випробувань крихких матеріалів визначають тільки один параметр – межу міцності (див. рис. 3.9) окремо на розтяг і на стиск. Приклади окремих механічних характеристик деяких матеріалів приведені в табл. 3.1.

 

Таблиця 3.1 Механічні характеристики деяких матеріалів

Матеріал	мр, мПа	мс, мПа	т, мПа
Сталі: СТ3 40Х	388...470	– – – –	220...240
Чавуни: СЧ12 СЧ 21			– –

 

Рекомендована література

[1] – ст. 65...77;	[6] – ст. 27…62;
[2] – ст. 137...150;	[7] – ст. 90…108;
[3] – ст. 159...176;	[8] – ст. 16…27;
[4] – ст.163…173;	[9] – ст. 7…33;
[5] – ст. 185…204;	[10] – ст. 20…42.

Вправи:

– привести кілька прикладів, коли деталі машин чи елементи сільськогосподарських конструкцій працюють як стиснуті чи розтягнуті бруси;

– привести приклади деталей чи елементів конструкцій, для яких абсолютна деформація =1 см була б:

а) дуже малою;

б) дуже великою;

довести це, підрахувавши для цих випадків відносну поздовжню деформацію;

– проаналізувати основні технологічні процеси слюсарної обробки металів з точки зору взаємодії матеріалів з різною твердістю.

Задачі, рекомендовані для самостійного розв’язання

Для заданого бруса побудувати епюри повздовжніх сил та нормальних напружень, визначити абсолютну деформацію бруса, якщо брус стальний,

 

Задача 3.1 – див рис.. 3.10

Задача 3.2 – див рис.. 3.11

Задача 3.3 – див рис.. 3.12

Задача 3.4 – див рис.. 3.13

 

Рис.3.13

Рис.3.12

Рис.3.11

Рис.3.10

 

Контрольні запитання:

1. Яким повинне бути зовнішнє навантаження, щоб брус працював на розтяг-стиск?

2. Які внутрішні силові фактори діють в поперечних перерізах брус а при його розтязі-стиску?

3. Що таке епюра? Які епюри і для чого будують для бруса, що працює на розтяг-стиск?

4. Що таке деформація: а) абсолютна; б) відносна?

5. Сформулювати закон Гука. В яких межах він справедливий?

6. Назвати та пояснити основні механічні властивості матеріалів.

7. Для чого проводяться механічні випробування матеріалів? Які види механічних випробувань Ви знаєте?

8. Назвати та пояснити основні характерні параметри діаграм розтягу і стиску пластичних та крихких матеріалів.

 

Перелік питань для здачі модуля 1.

Вступ. Основні положення опору матеріалів.

 

1. Тіла ідеальні і реальні. Деформації реальних тіл.

2. Основне завдання опору матеріалів.

3. Основні допущення опору матеріалів.

4. Внутрішні силові фактори.

5. Метод перерізів.

6. Напруження: нормальне, дотичне, повне. Одиниці виміру.

 

Розтяг - стиск.

 

7. Поздовжня сила, нормальне напруження, їх епюри.

8. Абсолютна та відносна деформації.

9. Закон Гука. Модуль поздовжньої пружності.

10. Поперечні деформації. Коефіцієнт Пуассона.

11. Механічні властивості та випробування матеріалів.

12. Діаграма розтягу - стиску пластичних матеріалів. Межа пропорційності. Межа текучості. Межа міцності.

13. Діаграма розтягу і стиску для крихких матеріалів.

14. Допустимі напруження для пластичних і для крихких матеріалів. Коефіцієнт запасу міцності.

15. Умова міцності. Розрахунки на міцність: проектний, допустимого навантаження, перевірковий.

16. Статично - невизначені системи. Коефіцієнт статичної невизначеності. Рівняння деформацій.

17. Температурні зусилля, напруження, деформації. Коефіцієнт лінійного розширення.

 

Модуль 2

Напружений та деформований

стан в точці деформованого тіла

Напруження в нахилених перерізах стержня. Поняття про головні напруження. Види напруженого стану.

Рекомендована література.

[1] – ст. 113…114;

[3] – ст. 165…167;

[6] – ст. 102…113;

[8] – ст. 12…15;

[10] – ст. 42…62.

Контрольні запитання:

1. Що таке головні напруження?

2. Що таке:

– лінійний (одновісний) напружений стан?;

– плоский (двовісний) напружений стан?;

– об’ємний (тривісний) напружений стан?.

 

 

5. Зріз і зминання

Поняття про зріз та зминання. Внутрішні силові фактори. Розрахункова площа зминання. Умови міцності на зріз і на зминання.

 

ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

 

Рис.5.2

Рис.5.1

Деталі, що служать для з’єднання окремих елементів машин чи споруд, в багатьох випадках сприймають навантаження, перпендикулярні їх поздовжній осі (див. рис. 5.1.). У випадку недостатньої міцності руйнування таких деталей відбувається в результаті їх перерізання по площині, яка співпадає з площиною дотикання з’єднуваних деталей (площина ). Тому кажуть, що деталі працюють на зріз.

Дійсні умови роботи деталей на зріз – досить складні і багато в чому залежать від технології виготовлення окремих елементів конструкції та її складання. Тому практичні розрахунки таких деталей базуються на наступних основних допущеннях:

– в поперечному перерізі деталі виникає тільки один внутрішній силовий фактор – поперечна сила Q;

– дотичні напруження, що виникають в поперечному перерізі, розподілені по його площі рівномірно;

– у випадку, коли з’єднання виконане кількома однаковими деталями - ці деталі навантажені однаково.

При цих допущеннях умова міцності на зріз має вигляд:

де та [ ] – відповідно розрахункове та допустиме напруження зрізу;

Q – поперечна сила;

S_зр. – площа зрізу однієї з’єднуючої деталі.

При застосуванні в з’єднанні кількох однакових з’єднуючих деталей:

,

де F – загальне навантаження з’єднання;

і– кількість з’єднуючих деталей

Допустиме напруження зрізу залежить від матеріалу з’єднуючих деталей та умов роботи конструкції.

Як правило, приймають

де _т – межа текучості матеріалу з’єднуючої деталі.

Розрахунок на зріз забезпечує міцність з’єднуючих елементів, але не гарантує надійність конструкції в цілому. Якщо товщина з’єднуваних елементів недостатня, то стінки їх отворів деформуються і з’єднання стає ненадійним. Частина з’єднуваного елементу може навіть виколотись (див. рис. 5.2.) і з’єднання зруйнується, тобто відбудеться зминання з’єднуваних деталей.

Розрахунок на зминання виконується при допущенні, що сили взаємодії між деталями рівномірно розподілені по поверхні контакту та у всіх точках нормальні до цієї поверхні.

Умова міцності на зминання має вигляд:

,

де – та – відповідно розрахункове та допустиме напруження зминання;

 

– навантаження на одну з’єднувану деталь;

– розрахункова площа зминання;

– для деталей із маловуглецевої сталі;

– для деталей із середньовуглецевої сталі;

– для чавунного литва.

Розрахункова площа зминання – це площа проекції дійсної поверхні контакту на площину, перпендикулярну навантажуючій з’єднання силі.

Для з’єднання на рис. 51

При різній товщині з’єднуваних деталей в формулу слід підставити

 

Рекомендована література

[1] – ст. 77...82;	[6] – ст. 113…125;
[2] – ст. 151...158;	[7] – ст. 176…187;
[3] – ст. 177...180;	[8] – ст. 27…30;
[4] – ст.181…186;	[9] – ст. 33…49;
[5] – ст. 216…223;	[10] – ст.62…74.

Вправи:

– привести кілька прикладів вузлів с.г. техніки, в яких деталі працюють на зріз і зминання;

– проаналізувати можливий характер руйнування цих вузлів: а) при зрізі; б) при зминанні відповідних деталей;

– для кожної з деталей, що працює на зминання, визначити розрахункову площу зминання.

Контрольні запитання.

1. Що таке: а) зріз; б) зминання?

2. Основні допущення при розрахунках: а) на зріз; б) на зминання.

3. Привести розрахункові формули: а) на зріз; б) на зминання та назвати параметри, що входять до цих формул.

4. Що таке розрахункова площа зминання?

 

 

6. Геометричні характеристики плоских перерізів

Осьові, відцентровий та полярний моменти інерції перерізу. Зв’язок між осьовими полярними моментами інерції перерізу. Моменти інерції простих перерізів: прямокутника, круга, кільця.

 

ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

Візьмемо плоский переріз (див. рис. 6.1.), та введемо плоску Декартову систему координат ХОУ з центром в довільній точці О. В перерізі виділимо елементарну площадку dА, розміри і площа якої малі в порівнянні з характерними розмірами та площею всього перерізу. Знайдемо координати елементарної площадки (х, у) та відстань від неї до початку координат .

Тоді можемо ввести такі геометричні характеристики перерізу.

Форма – довільна.

Площа – визначається накладанням сіточки чи інтегруванням, якщо форма перерізу описується математичним рівнянням:

Статичні моменти перерізу відносно осі х (S_х) та відносно осі у(S_y):

Моменти інерції перерізу: полярний (І_р), осьові (І_х та І_у), відцентровий (І_ху):

Рис.6.2

Рис.6.1

 

;

;

; [м²]

 

 

Виходячи з структури формул для визначення осьових та полярного моментів інерції, можна зробити висновок, що завжди (для будь-якого перерізу)

І_х > 0

І_y>0

I_xy= I_x+I_y

З математики відомо, що для роботи в площині можна ввести безліч плоских Декартових систем координат. Очевидно, що числові значення моментів інерції перерізу в різних системах координат будуть різними. Розглянемо закономірності, що виникають при цьому.

Якщо точка С буде центром ваги перерізу (див. рис. 6.2), то осі ХСУ, що проходять через центр ваги будуть центральними осями, а осьові моменти інерції відносно цих осей

(І_х, І_у) – центральними моментами інерції.

Тоді моменти інерції Іх₁ та Іу₁ відносно довільних осей х₁ та у₁, відповідно паралельним осям Х та У, визначаються за формулами:

 

де та – відповідно відстані між осями та ; та ;

А – площа перерізу.

При повороті центральних осей навколо точки С (наприклад, система координат ) значення центральних моментів інерції перерізу змінюються. Причому, якщо зростає, то – зменшується, і навпаки.

Завжди можна знайти такі центральні осі, відносно яких

Ці осі називаються головними центральними осями, а моменти інерції перерізу відносно цих осей називаються головними центральними моментами інерції.

Площини, проведені через поздовжню вісь бруса та головні центральні осі його поперечного перерізу, називаються головними площинами.

Якщо переріз має вісь симетрії, то вона обов’язково буде головною центральною віссю, а друга головна центральна вісь пройде через центр ваги перерізу перпендикулярно першій.

Для прикладу,приведемо головні центральні моменти інерції деяких найпростіших перерізів: прямокутного (див. рис. 6.3), трикутного (див. рис. 6.4), круглого суцільного

(див. рис. 6.5) та кільцевого (див. рис. 6.6)

 

Рис.6.6

Рис.6.5

Рис.6.4

Рис.6.3

Рекомендована література.

 

[1] – ст.49...53;	[6] – ст.152...169;
[2] – ст.158...163;	[7] – ст.13...32;
[3] – ст.192...201;	[8] – ст.36...44;
[4] – ст.189...195;	[9] – ст.49...73;
[5] – ст.246...256;	[10] – ст.12...18.

 

Вправи:

– виходячи з структури відповідних формул, пояснити, чому статичні моменти перерізу вимірюютьсяв м³, а моменти інерції перерізу мають одиницю виміру;

– пояснити, чому осьові моменти інерції перерізу можуть набувати тільки додатних значень;

– визначити, яких значень може набувати відцентровий момент інерції перерізу, пояснити чому;

– визначити, скільки головних площин має брус, поперечний переріз якого є:

а)квадратом; б) рівностороннім трикутником; в) правильним шестикутником; г) кругом.

Задачі, рекомендовані для самостійного розв’язування

Задача 6.1. Визначити момент інерції перерізу, зображеного на рис.6.3 відносно осі Х₁, що паралельна осі Х та знаходиться від неї на відстані h.

Задача 6.2. Момент інерції виразити в [ дм⁴ ], [ см⁴ ], [ мм⁴ ].

Контрольні запитання

1. Які геометричні характеристики плоских перерізів Ви знаєте?

2. В яких одиницях вимірюються: а) статичні моменти перерізу; б) моменти інерції перерізу?

3. Що таке: а) центральні моменти інерції;

б) головні центральні осі;

в) головні центральні моменти інерції;

г) головні площини?

 

Перелік питань для здачі модуля 2.

Напружений та деформований стан в точці деформованого тіла.

 

Зріз і зминання.

18. Види напруження станів.

19. Деформації зсуву. Зріз. Поперечна сила. Дотичне напруження зрізу.

20. Умова міцності при зрізі. Допустиме напруження зрізу.

21. Зминання. Розрахункова площа зминання.

22. Умова міцності при зминанні. Допустиме напруження зминання.

23. Осьові та відцентрований моменти інерції. Одиниці виміру.

24. Центральні моменти інерції. Моменти інерції при паралельному переносі центральних осей.

25. Головні центральні осі та головні центральні моменти інерції. Головні площини.

26. Головні центральні моменти інерції прямокутника, трикутника, круга, кільця.

 

Модуль 3

 

Кручення

Чистий зсув. Закон Гука для зсуву. Модуль зсуву. Крутний момент. Побудова епюр крутних моментів. Кручення прямого бруса круглого поперечного перерізу. Напруження в поперечному перерізі бруса. Кут закручування. Полярні моменти опору для круга і кільця. Розрахунки на міцність і жорсткість при крученні. Розрахунок циліндричних гвинтових пружин розтягу і стиску з малим кроком витка.

 

ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

 

Рис.7.1

Брус працює на кручення (див.рис.7.1), коли його зовнішнє навантаження – це пара сил, що діє в площині, перпендикулярній поздовжній осі бруса (тобто в площині ХУ). При цьому в поперечних перерізах бруса діє тільки один внутрішній силовий фактор – крутний момент Мк.

 

Крутний момент в довільному поперечному перерізі бруса рівний алгебраїчній сумі зовнішніх моментів, прикладених до відрізаної частини бруса.

Для того, щоб знати крутний момент в будь-якому поперечному перерізі бруса, будують епюру крутних моментів, користуючись методом перерізів (див. рис.7.2).

Ділянка 1.

Ділянка 2.

Ділянка 3.

Епюра М_к, Н·м

Рис.7.2

 

 

Знак крутного моменту не має фізичної суті, але, щоб не зробити помилку при розв’язуванні задачі, треба вводити правило знаків: якщо момент, який намагається повертати переріз за годинниковою стрілкою, вважати додатнім, то момент, що намагається обертати переріз проти годинникової стрілки, треба вважати від’ємним.

Рекомендована література

[1] – ст.82...89;	[6] – ст.125...135;
[2] – ст.163...168;	[7] – ст.237...245;
[3] – ст.180...192;	[8] – ст.30...36;
[4] – ст.195...201;	[9] – ст.73...80;
[5] – ст.223...233;	[10] – ст.74...81;

Вправи

– привести приклади сільськогосподарських машин і механізмів, в яких є ланки, що працюють на кручення; вказати ці ланки.

Задачі, рекомендовані для самостійного розв’язування

Для заданого бруса побудувати епюри крутних моментів, визначити найбільший за абсолютною величиною крутний момент, якщо

 

Задача 7.1 – див.рис.7.3

Задача 7.2 – див. рис.7.4

Задача 7.3 – див. рис.7.5

Рис.7.5

Рис.7.4

Рис.7.3

Контрольні запитання

1. Яким повинне бути зовнішнє навантаження, щоб брус працював на кручення?

2. Які внутрішні силові фактори виникають в поперечних перерізах брусів, що працюють на кручення?

3. Як знайти крутний момент в довільному поперечному перерізі бруса?

4. Як визначається знак крутного моменту?

 

Розрахунки на міцність і жорсткість при крученні

Міцність бруса, що працює на кручення вважають забезпеченою, коли найбільші дотичні напруження, що виникають в небезпечному перерізі , не перевищують допустимих напружень . Тому умова міцності на кручення має вигляд:

,

де – найбільший за абсолютною величиною крутний момент, що діє в небезпечному поперечному перерізі бруса (береться з епюри крутних моментів);

– полярний момент опору поперечного перерізу бруса.

При розрахунках приймають:

– для сталі;

– для чавуну;

де – відповідне допустиме напруження на розтяг.

В багатьох випадках брус повинен бути розрахований не тільки на міцність, але й на жорсткість (наприклад ходовий гвинт токарного верстата, при деформації якого змінюється крок його різьби, а значить і крок різьби, що нарізається на виготовлюваній деталі).

За міру жорсткості при крученні приймають відносний кут закручування

() – кут закручування одиниці довжини бруса.

Умова жорсткості на кручення має вигляд:

,

де G – модель зсуву (враховує властивості матеріалу, з якого виготовлений брус; для сталі G= 0,8 10⁵ MПа);

– полярний момент інерції поперечного перерізу бруса;

– допустимий відносний кут закручування бруса.

На відміну від допустимого напруження, яке залежить в першу чергу від матеріалу вала, допустимий кут закручування залежить від призначення вала. При проектуванні с.-г. техніки в більшості випадків можна приймати

Як з умови міцності, так і з умови жорсткості виконують три види розрахунків:

Проектний розрахунок:	визначення необхідного діаметру вала при відомому зовнішньому навантаженні

Із двох одержаних значень діаметру (d_мта d_ж) приймають більше значення, округлюючи його до цілого числа парного, або такого, що закінчується на 5.

Розрахунок допустимого навантаження: визначення максимального зовнішнього навантаження, з яким можна експлуатувати брус

 

 

Із двох одержаних значень зовнішнього навантаження (М_м та М_ж) – приймають менше.

Перевірковий розрахунок: чи можна вже спроектований брус експлуатувати даним навантаженням?

<[ ] >   ?   Порівняти, зробити висновок

?   Порівняти, зробити висновок

Брус експлуатувати можна, коли одночасно виконуються умови:

;

Полярний момент опору () та полярний момент інерції () обчислюються за формулами:

а) для круглого суцільного перерізу діаметром d:

б) для кільцевого поперечного перерізу з внутрішнім діаметром та зовнішнім діаметром :

де

Рекомендована література

 

[1] – ст.89...92;	[6] – ст.135...152;
[2] – ст.168...172;	[7] – ст.245...277;
[3] – ст.167...192;	[8] – ст.30...36;
[4] – ст.201...205;	[9] – ст.81...103;
[5] – ст.233...246;	[10] – ст.81...87;

Вправи

– з області сільськогосподарської чи побутової техніки підібрати кілька конкретних прикладів валів, проаналізувати умови їх роботи, та показати, якою буде працездатність відповідного вузла машини:

а) при недостатній міцності вала;

б) при достатній міцності, але недостатній жорсткості вала;

– привести приклади валів, для яких:

а) розрахунок на жорсткість не потрібний (досить розрахунку на міцність):

б) розрахунок на жорсткість потрібний (розрахунку на міцність не досить).

– проаналізувати переваги й недоліки валів з круглим поперечним перерізом:

а) суцільним; б) кільцевим – спроектованих з одного й того ж матеріалу для роботи під однаковим навантаженням в однакових умовах.

Задачі, рекомендовані для самостійного розв’язування

Задача 7.4. Визначити необхідний діаметр вала, що передає обертаючий момент М=100 Нм, якщо вал стальний, допустиме напруження на кручення =100 МПа, а допустимий відносний кут закручування . Одержане значення діаметру округлити до цілого числа міліметрів парного, або такого, що закінчується на 5.

Задача 7.5. З умови міцності на кручення, прийнявши =100МПа, підібрати геометричні розміри поперечного перерізу вала, що передає обертаючий момент М=50кН м, в двох випадках: а) переріз круглий суцільний; б) переріз кільцевий, для якого с = 0,6.

Задача 7.6. За даними задачі 7.5. порівняти витрати матеріалу для виготовлення бруса за варіантами а) і б).

Контрольні запитання

1. Привести умову міцності при крученні та пояснити параметри, що входять до неї.

2. Привести умову жорсткості при крученні та пояснити параметри, що входять до неї.

3. Назвати види розрахунків на міцність і жорсткість та пояснити їх суть.

 

 

Перелік питань для здачі модуля 3.

Кручення.

27. Крутний момент. Епюра крутних моментів.

28. Чистий зсув. Закон Гука при зсуві. Модуль зсуву.

29. Повний та відносний кути закручування бруса. їх одиниці виміру.

30. Полярний момент інерції та полярний момент опору поперечного перерізу бруса. їх одиниці виміру.

31. Полярний момент інерції та полярний момент опору круга і кільця.

32. Розподіл дотичних напружень по поперечному перерізі брусів. Максимальне дотичне напруження.

33. Умова міцності при крученні. Види розрахунків на міцність.

34. Умова жорсткості при крученні. Види розрахунків на жорсткість.

35. Циліндричні пружини розтягу (стиску): внутрішні силові фактори, умова міцності, діаметр витка, осадка.

Модуль 4

Прямий згин

Основні поняття та визначення.. Внутрішні силові фактори при прямому інші. Диференціальні залежності між згинаючим моментом, поперечною силою га інтенсивністю розподіленого навантаження. Побудова епюр попереч­них сил та згинаючих моментів. Нормальні напруження в поперечних перерізах при згині. Основі моменти опору. Розрахунки на міцність при згині. Раціональні форми поперечних перерізів балок при згині. Поняття про дотичні напруження при прямому поперечному згині. Лінійні та кутові переміщення при прямому згині. Розрахунки на жорсткість при згині.

 

ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

Рис.8.2

Рис.8.1

 

Деталі машин та елементи конструкцій, що працюють на згин, називаються балками.

При прямому згині (найпростіший випадок згину) зовнішні сили діють в головній площині (площина чи , див. рис. 8.1) та перпендикулярні поздовжній осі балки (вісь Z). При цьому балка деформується так, що в ній виникають зона розтягу або зона стиску (див. рис. 8.2), розмежовані нейтральною віссю (на плоскому зображенні балки) чи нейтральним шаром (в реальній балці чи її об’ємній моделі).

Нейтральна вісь (як і нейтральний шар) обов’язково проходить через центри ваги поперечних перерізів балки.

 

Рис.8.4

Рис.8.3

Рис.8.5

 

При прямому згині в поперечних перерізах балки виникають два внутрішні силові фактори: поперечна сила та згинаючий момент (див. рис. 8.3). Будь-яка відрізана частина балки під дією зовнішніх сил та внутрішніх силових факторів в перерізі знаходиться в рівновазі. Звідси слідує, що:

а) поперечна сила рівна алгебраїчній сумі всіх зовнішніх сил, що діють на залишену частину балки;

б) згинаючий момент – рівний алгебраїчній сумі моментів всіх сил, що діють на залишену частину балки, відносно перерізу.

Оскільки в ці визначення входить поняття алгебраїчної суми, то треба ввести правила знаків.

Правило знаків для поперечної сили.

Уявимо, що в поперечному перерізі балки циліндричний шарнір (див. рис.8.4). Тоді, якщо зовнішня сила намагається обертати залишену частину балки навколо перерізу за годинниковою стрілкою, її треба враховувати із знаком “плюс”, а якщо проти годинникової стрілки – то із знаком “мінус”.

Правило знаків для згинаючого моменту. Уявимо, що в поперечному перерізі балки защемлення (див. рис. 8.5.). Тоді, якщо зовнішня сила згинає залишену частину балки так, що зона стиску буде вгорі, а зона розтягу внизу, то згинаючий момент від цієї сили треба враховувати із знаком “Плюс” і навпаки.

Для того, щоб знати та в будь-якому поперечному перерізі балки, будують їх епюри.

Розглянемо побудову епюр на конкретному прикладі.

Рис.8.6

 

Нехай маємо консольну балку (див. рис.8.6), навантажену зосередженою силою , прикладеною в перерізі А, парою сил з моментом М=6Н м, прикладеною в перерізі В, та розподіленим навантаженням з інтенсивністю , що діє на ділянці СД. , де

Розділимо балку на ділянки 1,2,3 – межами яких будуть початок і кінець балки, точки прикладан