Метод Крамера для СЛАУ третьего порядка.

Рассмотрим СЛАУ:

 

~

(7.1)

 

По аналогии со СЛАУ второго порядка выпишем , , и .

 

, , , .

(7.2)

Тогда получим:

 

; ; .

(7.3)

Пример №7.1:

Решите систему линейных алгебраических уравнений третьего порядка методом Крамера.

 

 

Решение:

Решим данную СЛАУ методом Крамера. Для этого выпишем сначала расширенную матрицу этой:

 

 

Далее воспользуемся формулами Крамера (7.2):

 

 

 

 

 

Тогда используя формулы (7.3) получим:

 

;

;

 

.

 

Ответ: , , .

 

Решение СЛАУ методом Гаусса.

Рассмотрим СЛАУ:

 

~

 

Метод Гаусса это итерационный метод решения СЛАУ. Эти итерации основаны на равносильных преобразованиях СЛАУ. Для того чтобы дать представление о равносильных преобразованиях систем сформулируем несколько определений и правил. Для определенности перечисленные определения и понятия дадим для случая трех переменных.

Определение №1: Равенство будем называть линейным уравнением с тремя неизвестными.

Пусть , тогда , тоже линейное уравнение с тремя неизвестными.

Определение №2: Два линейных уравнения с тремя неизвестными и называются равносильными, если каждое решение первого есть решение второго, а каждое решение второго есть решение первого. При этом пишут: .

 

Правило равносильных преобразований систем.

Дадим несколько основных правил равносильных преобразований СЛАУ. Для простоты будем говорить о СЛАУ третьего порядка. Заметим, что все правила перечисленные здесь для СЛАУ третьего порядка справедливы и для СЛАУ второго порядка и порядка большего трех.

8.2.1°. Если в СЛАУ одно уравнение заменить на равносильное ему уравнение, то получим систему, равносильную данной.

8.2.2°. Система содержит уравнение вида , где – некоторое неизвестное, – функция, не зависящая от . Тогда, если во всех оставшихся уравнениях СЛАУ вместо подставить , то полученная таким образом система будет равносильна исходной.

8.2.3°. Допустим, что СЛАУ содержащей уравнение и . Если в этой СЛАУ уравнение заменить уравнением , где , то получим систему, равносильную данной.

 

Метод Гаусса.

Опишем теперь сам алгоритм метода Гаусса для нахождения решения СЛАУ.

1. Выписать расширенную матрицу СЛАУ.

2. В таблице в первом столбце выбрать ведущий элемент и эту строку поменять местами с первой строкой таблицы.

3. С помощью правил 3° сделать так, чтобы элементы выбранного столбца под ведущим элементом обратились в ноль.

4. Выбрать ведущий элемент в следующем столбце и поменять строку с выбранным элементом со строкой, стоящей ниже строки с прошлым выбранным элементом и снова повторить п.3, продолжая делать это, пока таблица не примет один из видов:

а. 1) В одной из строк все элементы , а система решений не имеет.

б. 2) Если в одной из строк все и , то поменять эту строку с самой нижней строкой, в которой хотя бы одно и снова перейти к п.3. Когда исчерпаются все такие строки, принимая неизвестные, которые находятся в конце таблицы, за независимые функции, по правилу 8.2.2⁰, найдем решение СЛАУ. Заметим, число таких неизвестных равно числу нулевых строк. В этом случаи СЛАУ имеет бесконечное множество решений.

3) Если мы получим таблицу вида (в частности):

 

 

Тогда, используя правило 8.2.2°, получим, что . Подставляя, полученный в строку выше, снова используя правило 8.2.2°, найдем . Продолжая этот процесс далее, последовательно найдем оставшиеся . Очевидно, что в этом случаи СЛАУ имеет единственное решение.

Пример №8.3.1:

Решите систему линейных алгебраических уравнений третьего методом Гаусса.

 

 

Решение:

Решим данную систему методом Гаусса. Для этого выпишем сначала расширенную матрицу этой:

 

 

Далее начнем производить шаги метода Гаусса. Ведущий элемент будем обозначать квадратиком. Строки будем обозначать буквой С, а действия производимые над строками будем писать правее матрицы.

 

 

 

 

Сопоставив последней расширенной матрице СЛАУ, получим

 

 

Заметим, что решение данной СЛАУ, полученное с помощью метода Гаусса, совпадает с решением, полученным с помощью метода Крамера.

Ответ: , , .

 

9 Решение систем двух уравнений с двумя неизвестными, когда одно линейное, а другое – второй степени.

Запишем еще одно правило равносильного преобразования систем:

9.4°. Система, содержащая уравнение вида , распадается на две системы: в одной это уравнение заменено на , а в другой – уравнением . При этом, если уравнение равносильно совокупности уравнений и , то данная система равносильна совокупности этих систем, то есть множество решений данной системы есть объединение множеств решений этих систем.

Пример №9.1:

Решить систему уравнений

 

 

Решение:

Для решения данной системы применим сначала правило 8.2.2^о, тогда получим

 

 

Применив к последней системе правило 9.4^о получим

 

 

Ответ: (5;0) и (0;-5).

10 Практические задания

 

1. По заданной системе линейных алгебраических уравнений постройте ее расширенную матрицу:

 

1.1 1.2 1.3

 

1.4 1.5 1.6

 

1.7 1.8 1.9

 

1.10 1.11 1.12

 

1.13 1.14 1.15

 

1.16 1.17 1.18

 

1.19 1.20 1.21

 

1.22 1.23

 

2. Найдите значение определителя методом разложения и графическим методом. Сравните результаты.

 

2.1 2.2 2.3 2.4

 

2.5 2.6 2.7 2.8

 

2.9 2.10 2.11

2.12 2.13 2.14

 

2.15 2.16 2.17

 

2.18 2.19 2.20

2.21 2.22

 

3. Найдите корни уравнения:

 

3.1 3.2

 

3.3 3.4

 

3.5

 

3.6 3.7

 

3.8 3.9

 

3.10

 

4. Приведите уравнения к каноническому уравнению эллипса, гиперболы, параболы или окружности и найдите для кривых второго порядка заданных данными уравнениями оси, фокусы, асимптоты, директрису и эксцентриситет:

4.1 4.2

4.3 4.4

 

 

4.5 4.6

4.7 4.8

 

5. Решите систему линейных уравнений методом подстановки, методом Крамера и методом Гаусса:

 

5.1 5.2 5.3

 

5.4 5.5 5.6

 

5.7 5.8 5.9

 

5.10 5.11 5.12

 

5.13 5.14 5.15

 

5.16 5.17 5.18

 

6. Найдите все значение параметра, при котором система алгебраических уравнений имеет единственное решение, бесконечно много решений и является несовместной:

 

6.1 6.2 6.3

6.4 6.5 6.6

 

6.7 6.8 6.9

 

6.10

 

7. Решите систему уравнений

 

7.1 7.2 7.3

 

7.4 7.5 7.6

 

7.7