Пример 1. Выбор оптимальной стратегии при завоевании рынка сбыта

Фирмы Ф ₁ и Ф ₂ производят однородный сезонный товар, пользующийся спросом в течение n единиц времени. Доход от продажи товара в единицу времени составляет С ден. ед. Фирма Ф ₂, будучи более состоятельной, в ходе конкурентной борьбы стремится вытеснить фирму Ф ₁ с рынка сбыта, способствуя своими действиями минимизации ее дохо­да, не считаясь при этом с временными потерями части своего дохода в надежде наверстать упущенное в будущем. Действующее законодатель­ство не позволяет злоупотреблять для этого заведомым занижением цены на товар (прибегать к демпинговым ценам). Единственным допустимым способом достижения своей цели для фирмы Ф ₂ (как и для фирмы Ф ₁ в целях защиты своих интересов на рынке сбыта) остаются повышение качества товара и надлежащий выбор момента времени поставки его на рынок сбыта. Уровень спроса на товар зависит от его качества, и в дан­ный момент реализуется тот товар, качество которого выше. Повышение же качества требует дополнительных затрат времени на совершенство­вание технологии его изготовления и переналадки оборудования. В свя­зи с этим будем предполагать, что качество товара тем выше, чем позже он поступает на рынок. Придать описанной ситуации игровую схему и построить платежную матрицу. Дать рекомендации фирмам Ф ₁ и Ф ₂ по оптимальным срокам поставки товара на рынок сбыта, обеспечи­вающие фирме Ф ₁ наибольший средний доход, а фирме Ф ₂ – наименьшие потери.

Решение. Если фирма Ф ₁ предложит свой товар в момент i, а фирма Ф ₂ в момент j > i, то фирма Ф ₁, не имея конкурента в течение (j - i) единиц времени, получит за этот период доход в C (j - i) ден. ед. В момент j на рынке появляется товар фирмы Ф ₂ более высокого качества (ведь j > i!), и фирма Ф ₁ теряет рынок и дохода не получает.

Если i > j, то фирма Ф ₁, предлагая товар более высокого качества, будет единолично получать доход на отрезке от t до n, состоящем из (n - i + 1) единиц времени. Доход фирмы Ф ₁ на нем будет равен С (n – i +1) ден. ед.

Наконец, если i = j, т. е. если на рынок одновременно поступает товар обеих фирм, то он реализуется с одинаковым спросом, а потому доход как фирмы Ф ₁, так и фирмы Ф ₂, будет составлять 0,5 С (n - i + 1) ден. ед.

А теперь формализуем рассмотренную ситуацию в терминах теории игр. Фирмы Ф ₁ и Ф ₂ примем соответственно за игроков А и В. Через обозначим чистую стратегию игрока А, состоящую в том, что он поставляет свой товар на рынок сбыта в i -ю единицу времени; через чистую стратегию игрока В, в соответствии с которой он по­ставляет свой товар для реализации в j -ю единицу времени. Игрок А, выбирая i -ю единицу времени поставки товара, стремится максимизиро­вать свой доход, а игрок В, выбирая j -ю единицу времени поставки своего товара, преследует прямо противоположную цель – минимизировать до­ход игрока А. В этом проявляется антагонистичность конфликта между игроками.

Что же касается выигрышей a_ij игрока А, то ими будут величины дохода фирмы Ф ₁, найденные нами выше для всех возможных случаев. Их можно компактно записать в виде следующей функции выигрыша игрока А:

(6.5)

Если, например, n = 5 и С = 1, то функцию выигрыша (6.5) можно записать в форме следующей платежной матрицы (табл. 6.2):

Таблица 6.2

Найдем решение игры, заданной этой платежной матрицей. Посколь­ку , то решать игру в чистых стратегиях нельзя. Найдем оптимальные смешанные стратегии игроков.

Задача нахождения оптимальной смешанной стратегии игрока A сводится к задаче линейного программирования (6.1), (6.2). В нашем случае она примет вид

где P_i = p_i / v, .

Задача нахождения оптимальной смешанной стратегии игрока B сводится к задаче линейного программирования (6.3), (6.4). В нашем случае она примет вид

где Q_i = p_i / v.