Решение нелинейных уравнений методом ньютона и комбинированным методом

Метод Ньютона (касательных). Пусть – отрезок, содержащий только один корень уравнения .

В качестве начального приближения к корню выбирается одна из концевых точек отрезка, для которой выполняется условие

Следующее приближение находится по формуле Ньютона:

Вычисления завершаются тогда, когда для найденного значения выполняется условие , значение корня будет равно .

Геометрическая интерпретация – построение касательных на каждом шаге итераций и нахождение их точек пересечения с осью Ох, которые и будут являться приближенным значением корня.

Пример 1: Найти корень уравнения методом касательных с точностью

Выбираем один из найденных отрезков, содержащих только один корень. Для выбранного отрезка находим точку начального приближения.

Для каждого из концов отрезка проверяем условие, обязательно оно будет выполнено только в одной точке и именно ее выбираем. В нашем случае это точка .

В ячейку А2, В2 (рис. 11) записываем исходные данные. В ячейку А5 записываем ссылку на А2. В ячейку В5 формулу метода Ньютона, аргументом будет относительная ссылка А5. Заполнить остальные ячейки самостоятельно.

В А6 записать ссылку на ячейку В5. Далее с помощью автозаполнения находим корень.

Рис. 11. Вид экрана для метода Ньютона (касательных)

Комбинированный метод хорд и касательных. Пусть – отрезок, содержащий только один корень уравнения Приближение к корню происходит с двух сторон отрезка, на котором отделен корень уравнения, разными методами.

В качестве начального приближения методом касательных выбирается одна из концевых точек отрезка, для которой выполняется условие , другой конец отрезка при этом приближается методом хорд.

Пусть, например, тогда итерационные формулы будут выглядеть следующим образом:

Если итерационные формулы примут вид:

Вычисления завершаются тогда, когда для найденных значений выполняется условие , значение корня принимается равным середине отрезка или любому из его концов.

Геометрическая интерпретация – построение касательных и хорд на каждом шаге итераций и нахождение их точек пересечения с осью Ох.

Пример 2: Найти корень уравнения комбинированным методом касательных и хорд с точностью

Выбираем один из найденных отрезков, содержащих только один корень.

Для каждого из концов отрезка проверяем условие . В нашем случае это точка .

Для вычисления корня комбинированным методом (рис. 12) в ячейки А5, В5 записываем относительные ссылки на исходные концевые точки отрезка, далее находим значение данной функции в этих точках С5, D5. В ячейку Е5, записываем формулу производной функции и аргументом будет В ячейку F6 записываем формулу оценки погрешности и поиска корня.

В ячейки А6, В6 записываем формулы, с аргументами из пятой строки:

(ячейка А6), (ячейка B6).

С помощью маркера автозаполнения находим ответ.

 

Рис. 12. Вид экрана для комбинированного метода

Задания для самостоятельного выполнения.

Из таблицы 2 приложения взять исходные данные своего варианта. Вариант определяется по порядковому номеру в списке группы. Найти корни уравнения методом касательных и комбинированным методом для всех отрезков, содержащих единственный корень.

 

Контрольные вопросы

1. Метод Ньютона решения нелинейных уравнений.

2. Графическая реализация метода Ньютона.

3. Комбинированный метод решения нелинейных уравнений.

4. Графическая реализация комбинированного метода.