Принцип гарантованого результату

 

Так як антагоністичні ігри володіють тієї властивістю, що виграш одного (А) дорівнює програшу іншого (В), то всі необхідні дані можна помістити в таблицю (матрицю). Елементи матриці, числа a_ij. Така матриця - це нормальна форма подання ігри і називається вона платіжною (ігровою) матрицею, a_ij - виграш (програш) гравців. Гру, що представлена матрицею, називають грою m´n.

Табл.1.1

В А	S1b	S2b	- - -	Snb
S1a	a11	a12	- - -	a1n
- - - -
Sma	am1	am2	- - -	amn

 

Нехай задана антагоністична гра в нормальній формі, тобто матрицею табл.1.1.

Знайдемо оптимальну стратегію гравців.

Очевидно, що для А при використанні стратегії S_1а гарантованим виграшем буде найменше з a₁₁, a₁₂,..., a_1n, тобто a₁. Кращого результату, при правильній стратегії В, очікувати не доводиться.

Таким же чином А може розраховувати при виборі стратегії S_2a, на min {a₂₁,..., a_2n}=a₂, тобто у випадку стратегії S_ka на min {a_kj}=a _k і т. і.

Найкращої з всіх стратегій для А буде та, для якої a _k - max, тобто виграш А ((гарантований) a =max a _k =max min {a_kj}

1<k<m 1<k<m 1<j<n

Така стратегія називається максимінною.

Якщо А буде дотримуватись максимінної стратегії, то поза залежністю від стратегії В він виграє не менше a.

Тому a - це нижня ціна гри або максимінний виграш.

Аналогічне міркування для В, оскільки йдеться про програші сторони А, так як в антагоністичній грі ПВ(U_kj)=-ПА(U_kj)=-a_kj. Тоді при стратегії S_kb це найкращий показник. В_j=max{a_kj} =>В=minВ_j= min max a_kj

1<k<m 1<j<m 1<j<n 1<k<m

- де В - min програш з усіх max. Така стратегія B називається мінімаксною, а В - верхньою ціною гри або мінімаксним програшем. Це результат, що не залежить від поведінки А.

В проведеному аналізі кожна із сторін була орієнтована на гіршу, з її точки зору ситуацію, а після цього з всіх гірших вибиралася найкраща. Цей принцип - принцип гарантованого результату (або принцип мінімаксу). Він припускає відсутність ризику.

ПРОБЛЕМА РІВНОВАГИ В ГРІ, ЧИСТІ

І ЗМІШАНІ СТРАТЕГІЇ

Якщо a=b, то в платіжній матриці присутній елемент a_pq, який мінімальний в р - рядку і max в q- стовпці і a_pq= a = b.

Приклад такої матриці

 

	-22	-7		-8
					a23=8=apq
	-9			-13
		-5	-3

 

Очевидно, що елемент a_pq являє собою сідлову точку, що поєднує в собі і властивості т. min (для однієї перспектної) і точку max для іншої.

Такі ігри називаються іграми з сідловою точкою, мал.1.

Для таких ігор характерно, що відмова від мінімаксної стратегії будь-якого з учасників призводить його до програшу.

Мал.1.

Положення, при якому немає сенсу міняти стратегію жодної з сторін, називається ситуацією рівноваги. В іграх з сідловою точкою така ситуація виникає, якщо А та В використають стратегії S_pa і S_qb, що називаються чистими. a_pq=a=b називається чистою ціною гри, а стратегії S_pa і S_qb - оптимальними.

Чисті стратегії застосовуються, коли А та В володіють відомостями про дії один іншого і про їх результати. Якщо такої інформації немає, то принцип рівноваги порушується і гра ведеться безсистемно, тобто наосліп. Тому треба розрізняти ігри з повною інформацією, коли будь-який учасник знає всю передісторію ігри та ігри з неповною інформацією, в яких знання передісторії обмежене (наприклад, можливістю приховати від супротивника хід).

Ми будемо розглядати ігри з повною інформацією та з однією сідловою точкою, бо за наявності двох сідлових точок a_pq і a_zt, можна показати, що a_pq=a_zt.

Хоча на практиці найбільш розповсюджений випадок, коли платіжна матриця взагалі не має сідлової точки та a ¹ b.

Якщо в гру привноситься елемент випадку, тобто стратегія S_ia буде обрана з ймовірністю P_ia, то можна говорити про розподіл ймовірності на множині стратегій сторони А, причому .

А самий розподіл {P_1a, P_2a,…,P_ma}=S_A називається змішаною стратегією, якою володіє А в даній грі.

Аналогічно для B вводиться змішана стратегія S_B={P_1b,P_2b,…,P_nb}, тобто деякий розподіл.

Чисті стратегії являються окремим випадком змішаних, наприклад, стратегію S_PA можна задати S_A={0, …,0,1, …,0}

При виборі змішаних стратегій зберігається принцип min max.

Нехай {S_А} - множина змішаних стратегій А, а {S_В} - множина змішаних стратегій В. Тоді середня величина (мат. сподівання) платежу:

(4.1)

Це виграш А, отже програш В.

Сторона А повинна орієнтуватися на гірше (принцип гарантованості результату). Тоді - оптимальна стратегія S_a. Аналогічно - оптимальна стратегія S_b. Але такі рішення тільки в простих випадках.