Оценка корреляционной функции случайного процесса

Базовой основой для вычисления корреляционной функции скалярного процесса является оценка корреляционной функции

 

где -математическое ожидание.

Такая оценка является асимптотически несмещенной, т.е

Если математическое ожидание неизвестно используют выражение

,

в котором -оценка математического ожидания.

Оценка также является асимптотически несмещенной оценкой

При дискретном количестве наблюдений вычисление интегралов заменяется вычислением сумм

 

Вычисление корреляционных функций можно провести с использованием программ в Matlab.

 

На рисунке приведены графики построения выборочной и истинной корреляционных функций случайного процесса с корреляционной функцией , , .

 

 

На этом графике длина реализации составляет 500 сек. при интервале дискретизации 0.01 сек, т.е обрабатывались 50000 наблюдений процесса.

На следующих рисунках длина реализаций была равной 50 и 5 секунд и, следовательно обрабатывались 5000 и 500 наблюдений процесса.

 

 

Графики показывают, что точность построения корреляционных функций существенно зависит от длины реализации.

Как правило, представляет интерес аналитическое выражение для корреляционной функции.

С этой целью делается предположение о виде корреляционной функции и проводится ее аппроксимация с использованием МНК.

Оценка спектральной плотности

Один из возможных вариантов может быть основан на получении вначале выборочной корреляционной функции с последующим применением преобразования Фурье

Следует, однако, иметь в виду, что выборочная функция известна на конечном интервале и ее точность на границах интервала существенно ухудшается что может привести к значительным ошибкам в оценке спектральной плотности.

Другой возможный вариант связан с использованием периодограммы, определяемой как

Показано[ Cвешников А.А. Прикладные методы теории случайных функций], что

,

и поэтому в первом приближении можем считать, что . Однако, такая оценка не является состоятельной.

Модификацией этого алгоритма является алгоритм, в котором весь интервал разбивается на подинтервалов длиной , вырабатываются на этом интервале оценки

 

и затем они осредняются

Такая оценка является асимптотически несмещенной и состоятельной [Cвешников]

В общем случае при вычислении оценок в выражение для частных оценок вводят некоторую весовую функцию

где весовая функция обращается в нуль при

Метод вариации Аллана.

Иногда оценку дисперсии можно определить как

(*)

Можно показать, что такая оценка будет несмещенной и состоятельной

Предположим теперь, что имеется наборов из

И для каждого из них вычисляется среднее значение

,

Вариация Аллана определяется следующим образом

Отсюда следует, что вариация Алана представляет собой оценку одной второй дисперсии разности (приращений) средних значений , рассчитанных для каждой группы.

Легко показать, что при вариация Аллана совпадает с полученной с помощью выражения (*) оценки дисперсии.

Вводя знак осреднения по ансамблю можем записать

.

 

Для процесса с непрерывным временем определяем

или

,

где

-

среднее на интервале .

Пример Рассмотрим случайный процесс в виде линейного тренда

. Найдем вариацию Аллана.

Поскольку

, то очевидно, что

Пример. Найти вариацию Аллана для белого шума интенсивности .

Так как представляют собой независимые случайные величины с дисперсией , то дисперсия приращений будет равна .

Пример. Найти вариацию Аллана для винеровского процесса

где -белый шум единичной интенсивности

В этом случае дисперсии независимых между собой случайных величин

определяются как . Таким образом .

В работах по вариациям Аллана вводят еще две составляющие: так называемый фликкер шум для которого вариация Алана постоянна и шум квантования, длят которого вариация алана зависит от . Эти процессы можно рассматривать как случайные процессы со спектральными плотностями и .

 

 

 

Выражение при наличии всех упомянутых составляющих запишется в виде

Иногда вариации Аллана изображают в логарифмическом масштабе с типовыми наклонами

.

Достоинством вариаций Аллана является их использование для нестационарных процессов

 

Если процессы стационарны можно показать, что имеется соледующая взаимосвязь между вариацией Алана и спектральной плотностью

 

 

Действительно, можно записать

 

 

Последнее слагаемое может быть представлено как

 

 

где корреляционная функция исследуемого процесса.

 

Тогда

Решение задач сглаживания

Специфика задач сглаживания заключается в выработке оптимальных оценок в момент времени с использованием всей совокупности полученных к текущему моменту времени измерений.Выделяют три типа задач сглаживания;

- сглаживание на закрепленном интервале;

-сглаживание в фиксированной точке;

-сглаживание с постоянным запаздыванием.

В задаче сглаживания на закрепленном интервале фиксируется общее количество измерений и отыскиваются оценки для каждого момента времени с использованием всей совокупности измерений.

В задаче сглаживания в фиксированной точке фиксируется момент времени на которую вырабатывается оценка с использованием всей совокупности измерений.

В задаче сглаживания с постоянным запаздыванием производится выработка оценки на момент времени, отстоящий на фиксированное число шагов от текущего момента времени

Особенности использования информации приведены на рисунке