Интеграл Фурье в комплексной форме

Комплексная форма интеграла Фурье имеет вид

, (12)

где . (13)

Функция , определенная по формуле (13), называется преобразованием Фурье или спектральной плотностью.

Тогда по смыслу есть спектральная плотность амплитуд комплексного спектра.

Функция , определенная по формуле (12),называется обратным преобразованием Фурье. Напомним, что равенство (12) выполняется в точках непрерывности данной функции .

В математической литературе часто называют изображением, а - оригиналом и записывают или .

 

1.6. Зависимость между a(ω), b(ω), F(ω)

 

Сравнив (11) и (13), получаем:

 

. (14)

 

Если учесть, что , , то легко можно получить

, (15)

Пример 4. Определить и построить спектральную плотность амплитуд прямоугольного импульса

 

Решение. Найдем спектральную плотность

Спектр , .

Для более точного построения графика найдем нули :

.

 

 

Рис. 8

СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

Область сходимости степенного ряда

Функциональный ряд вида

, (16)

где, а - действительные числа называется степенным рядом, а числа - коэффициентами этого ряда.

Ряд(16) абсолютно сходится на интервале радиуса R с центром в точке x=a, т.е. при всех x удовлетворяющих неравенству │х-а│<R. Если R=0, то ряд сходится в одной точке x=a, если R= ∞ - на всей числовой оси. Для отыскания интервала сходимости следует составить ряд из абсолютных величин членов ряда (16) и исследовать его сходимость с помощью признаков Даламбера или Коши.

На концах интервала сходимости при x=a R ряд может как сходиться, так и расходиться, поэтому эти значения x следует подставить в ряд (16) и исследовать сходимость полученных числовых рядов. Таким образом, область сходимости степенного ряда состоит из его интервала сходимости и, возможно, граничных точек этого интервала.

Пример 5. Найти область сходимости ряда

Решение. Составим ряд из абсолютных величин и применим признак Даламбера:

Следовательно, ряд абсолютно сходится на интервале (-1; 3), а радиус сходимости R=2.

Подставив x=3 в заданный ряд, получим числовой ряд , который согласно интегральному признаку сходимости расходится.

При x=-1 получаем знакопеременный ряд , который по признаку Лейбница сходится условно. Следовательно, область сходимости заданного ряда – полуинтервал [-1; 3).

Пример 6. Найти область сходимости степенного ряда .

Решение. Применяя радикальный признак Коши к ряду, составленному из абсолютных величин, получим:

.

При получаем ряды, для которых не выполняется необходимый признак сходимости. Следовательно, область сходимости ряда – интервал .

Пример 7. Найти область сходимости ряда .

Решение. Применим признак Даламбера:

 

, следовательно, ряд сходится на всей числовой оси.

 

Ряд Тейлора

Рядом Тейлора для функции f(x) в окрестности точки x=a называется степенной ряд вида:

. (17)

В случае, когда a=0 ряд (17) называют рядом Маклорена. Из (17) очевидно, что необходимым условием разложения функции в ряд Тейлора является ее бесконечная дифференцируемость в точке x=a и ее окрестности.

Для разложения функции в ряд Тейлора можно использовать (17) или применять известные разложения, например:

,

, (18)

,

, . (19) (19)

При этом нередко приходится выполнять некоторые преобразования: представлять заданную функцию в виде суммы или разности более простых функций, вводить новые переменные, интегрировать и дифференцировать ряды. Однако следует помнить, что ряды (18) сходятся на всей числовой оси, а (19) только на интервале (-1; 1) и могут использоваться только при .

Пример 8. Разложить в ряд Маклорена функцию

.

Решение. Представим функцию в виде суммы двух простейших дробей:

.

Применяя к каждой дроби разложение (19), получим

, ,

, .

Следовательно

= + .

Радиус сходимости этого ряда .

Ряды Тейлора находят широкое применение в приближенных вычислениях. Например, при вычислении определенного интеграла разлагают в ряд Тейлора подынтегральную функцию, затем интегрируют полученные степенные функции и суммируют несколько первых слагаемых, обеспечивая заданную точность вычисления.

Пример 9. Вычислить с точностью до 0,001 интеграл .

Решение. Применяя первую из формул (18), получим

Тогда

 

Сумма знакочередующегося ряда не превышает первого члена ряда, поэтому все члены ряда, начиная с меньшего 0,001, отбрасываем:

.

 

Расчетные задания

 

Задача 1.

Периодический сигнал f(t) разложить в тригонометрический ряд Фурье. Вычертить графики сигнала f(t) и частичных сумм S₁(t), S₂(t) ряда Фурье.

 

1.1. f(t) = | t | – 1 на [-2; 2], f(t + 4 ) = f(t).

 

1.2. f(t) = 2 + | t | на [-2; 2], f(t + 4 ) = f(t).

 

1.3. f(t) = | 1 – t² | на [-1; 1], f(t + 2 ) = f(t).

 

1.4. f(t) = 1 – | t | на [-3; 3], f(t + 6 ) = f(t).

 

1.5. .

 

1.6 f(t) = t² + t на [-2; 2], f(t + 4 ) = f(t).

 

1.7 .

 

1.8. f(t) = (t – 1 ) ²на [-1; 1], f(t + 2 ) = f(t).

 

1.9. .

 

1.10. f(t) = t²+ 1на [-2;2], f(t + 4) = f(t).

 

1.11. .

 

1.12. .

 

1.13. .

 

1.14. f(t) = 1 – 2 t на [-2; 2], f(t + 4 ) = f(t).

 

1.15. .

 

1.16. .

 

1.17. .

 

1.18. .

 

1.19. .

1.20. .

 

1.21. .

 

1.22. f(t) = t - t² на [-2; 2], f(t + 4 ) = f(t).

 

1.23. .

 

1.24.

 

1.25 f(t)= t ² – 2 t + 2 на [-3; 3], f(t + 6 ) = f(t).

 

Задача 2.

Найти аналитическое выражение периодического тока I(t) определенного осциллограммой (см. рисунок). Записать ряд Фурье в действительной форме для I(t).

 

 

Задача 3.

Продолжая функцию f(t) четным или нечетным образом, разложить ее в ряд Фурье в № 3.1 – 3.12 по синусам, в № 3.12 – 3.25 по косинусам.

 

3.1. f(t) = t ² + t на [-1; 0].

 

3.2. .

 

3.3. .

 

3.4. .

 

3.5. .

3.6. .

 

3.7. f(t) = t² + 1, если 0 t 2.

 

3.8. .

 

3.9. .

 

3.10. f(t) = - t ² + 1, если 1 t 2.

 

3.11. .

 

3.12. f(t) = -t ² + t – 2, если 0 t 1.

 

3.13. .

 

3.14. .

 

3.15. .

 

3.16. f(t) = t ² + t, если -1 t 0.

 

3.17. .

 

3.18. f(t) = (t – 1 ) ², если 0 t 1.

 

3.19. .

 

3.20. .

 

3.21. f(t) = t ² + 1, если 0 t 2 .

 

3.22. .

 

3.23. f(t) = -t² + t – 2, если 0 t 2.

 

3.24. .

 

3.25. f(t) = -t ² + 2, если 0 t 1.

 

Задача 4. Сигнал f(t) представить рядом Фурье в комплексной форме. Воспользовавшись полученным разложением, записать ряд Фурье в действительной форме. Построить графики спектров {|Cn|} и {An}.

 

4.1. .

4.2. f(t) = ch 2t, если - t < , f(t + ) = f(t).

4.3. f(t) = sh 4t, если - t < , f(t + ) = f(t).

4.4. f(t) = ch , если - t < , f(t +2 ) = f(t).

4.5. f(t) = sh , если - t < , f(t + 2 ) = f(t).

 

4.6. f(t) = ch 2 t + e^2t, если 0 t < , f(t + ) = f(t).

 

4.7. f(t) = e^-t, если-1 t < 1, f(t + 2 ) = f(t).

 

4.8.

 

4.9. f(t) = t – 1, если -1 t <1, f(t + 2 ) = f(t).

 

4.10. f(t) = t – t ², если -1 t <1, f(t + 2 ) = f(t).

 

4.11. f(t) = e^t, если - t < , f(t + 2 ) = f(t).

 

4.12. f(t) = 2 + | t |, если -1 t <1, f(t + 2 ) = f(t).

 

4.13. .

 

4.14. f(t) = sh 2 t – e ^{2 t} , если 0 t < , f(t + ) = f(t).

 

4.15. f(t) = sin t, если - t < , f(t + ) = f(t).

 

4.16. f(t) = t ² – 2 t + 2, если -2 t <2, f(t + 4 ) = f(t).

 

4.17. .

 

4.18. f(t) = cos t, если 0 t < , f(t + ) = f(t).

 

4.20 f(t) = cos , если 0 t <3 , f(t + 3 ) = f(t).

 

4.21 f(t) = 1 – | t |, если -1 t <1, f(t + 2 ) = f(t).

 

4.22 f(t) = cos , если 0 t <4 , f(t + 4 ) = f(t).

4.23. .

 

4.24. .

 

4.25. f(t) = 2 t, если -2 t< 2, f(t + 4 ) = f(t).

 

Задача 5. Для импульса f(t) найти спектральную плотность F() и записать интеграл Фурье в комплексной и действительной формах.

 

5.1. .

5.2. .

 

5.3. .

5.4. .

5.5. .

5.6. .

5.7. .

5.8. .

5.9. .

 

5.10. .

5.11. .

5.12. .

5.13. .

5.14. f(t) = e^{-a | t |} (a >0).

 

5.15. f(t) = te^{-a| t |} (a >0).

5.16. .

5.17. .

5.18. .

5.19. .

5.20. .

5.21.

5.22. .

 

5.23. .

5.24. .

 

5.25. .

 

Задача 6. Найти область сходимости ряда.

6.1.

6.2.

 

6.3.

6.4.

6.5.

6.6.

6.7.

6.8.

6.9.

6.10.

6.11.

6.12.

6.13.

6.14.

6.15.

6.16.

6.17.

6.18.

6.19.

6.20.

6.21.

6.22.

6.23.

6.24.

6.25.

 

Задача 7. Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням .

 

7.1.

7.2.

7.3. .

7.4. .

7.5.

7.6.

7.7.

7.8. .

7.9.

7.10.

7.11.

7.12.

7.13. .

7.14. .

7.15.

7.16.

7.17. .

7.18. .

7.19. .

7.20.

7.21.

7.22. .

7.23.

 

7.24.

 

7.25.

Задача 8. Вычислить интеграл с точностью до 0,001.

 

8.1.

8.2.

8.12.

8.13.

8.3.

8.4.

8.5.

8.6.

8.7.

8.8.

8.9.

8.10.

8.11.

8.14.

8.15.

8.16.

8.17.

8.18.

8.19.

8.20.

8.21.

8.22.

8.23. 8.25.

8.24.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

 

1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. М., 1978. Т. 2. С. 326-366.

2. Романовский П. И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа. М., 1964. С. 9-56.

3. Кожевников Н. И., Краснощекова Т.И., Шишкин Н.Е. Ряды и интеграл Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа. М., 1964. С. 5-11, 28-34.

4. Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы. М., 1986. С. 31-39б 43-58.

5. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике. М., 2007.

 

 

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

к практическим и индивидуальным занятиям по разделам

«Степенные ряды» и «Ряды Фурье» курса «Математика» по направлению 211000.62 «Конструирование и технология электронных средств», профилю «Проектирование и технология радиоэлектронных средств» и направлению 200100.62 «Приборостроение», профилю «Приборостроение»

очной формы обучения

 

 

Составители

Кретова Лариса Дмитриевна

Ускова Наталья Борисовна

Бондарев Алексей Владимирович

 

В авторской редакции

 

 

Подписано к изданию 25.11.2013.

Уч.-изд. л. 2,2.

 

ФГБОУ ВПО "Воронежский государственный

технический университет"

394026 Воронеж, Московский просп., 14