Формування біометричного еталону

 

Для формування біометричного еталону застосуємо методику розрахунку похибку вимірювань.

Проведемо вимірювання біометричної ознаки А кілька разів. Ми отримаємо не співпадаючі результати: а₁, а₂,..., а_i,..., а_n, де n - число вимірювань. Різниця між числами a_i може бути досить помітна, хоча вимірювання проводяться в однакових умовах, тим же самим методом і одним і тим же дослідником.

Через випадковий характер похибки шукана величина залишається невідомою.

Розрахунок випадкових похибок заснований на теорії ймовірностей і математичній статистиці.

Перш за все, в математичній статистиці доводиться, що за відсутності систематичних похибок (або після їх усунення) найкращим наближенням вимірюваної величини А є так зване середнє статистичне результатів вимірювань

 

.

(3.3)

 

Якщо число n досить велике, то у багатьох отриманих результатів вимірювання а_i можуть збігатися всі значущі цифри. Тоді середнє статистичне зручніше підраховувати за такою формулою:

,

(3.4)

 

де n_k - кількість повторень значення а_k в серії з n вимірювань.

Підсумовування відбувається за всіма спостережуваним значенням а_k, що розрізняються. Очевидно, що

.

(3.5)

 

Наприклад, в експерименті 3 рази було отримано значення вимірюваної величини 2,1; 5 разів - значення 2,3 і 2 рази - значення 2,2. Тоді середнє статистичне можна обчислити так:

 

а = (3-2,1 + 5-2,3 +2-2,2) / (3 + 5 + 2) = 2,22.

 

При будь-якому кінцевому числі вимірювань n неможливо гарантувати, що обчислене за формулами (3.3) або (3.4) значення в точності дорівнює шуканій біометричній ознаці А. Справа в тому, що, хоча в кожній конкретній серії вимірювань ми отримуємо n певних чисел а_i (і = 1,... n), самі результати вимірювань за своїм змістом є випадковими. У цьому ми можемо переконатися, повторивши серію з п вимірів. Ми отримаємо вже інші числа a_i (і = 1,... п). Середнє статистичне , що розраховується за формулами (3.3) або (3.4), залежить від усіх а_і. У цій ситуації і середнє статистичне також є випадковою величиною. Це твердження можна проілюструвати, повторивши серії з п вимірів кілька разів. Підраховуючи щоразу середнє статистичне за вищенаведеними формулами, ми отримаємо не співпадаючі числові значення для різних серій вимірювань, хоча ці числа будуть групуватися в околиці невідомої величини А. Отже, похибка отриманого результату - різниця (А - ) - також є випадковою величиною.

Одна з важливих теорем математичної статистики стверджує, що при необмеженому збільшенні числа вимірювань п середнє статистичне необмежено наближається до шуканої величини А.

З цього випливає, що підвищити точність результату А ≈ можна шляхом збільшення числа вимірів п. Але з іншого боку, неможливо виконати нескінченну кількість вимірів і досягти рівності А = . Тому необхідно отримати кількісне значення похибки (А - ).

Математична статистика пропонує в якості середнього значення випадкової похибки використовувати наступну величину:

.

(3.6)

 

Цю величину іноді називають середньоквадратичним відхиленням середнього значення. Число S₀ характеризує точність визначення шуканої величини А шляхом обчислення середнього статистичного . Точніше кажучи, S₀ є середньою мірою відхилення середнього статистичного від істинного значення А. Однак запис результату вимірювань у вигляді

 

(3.7)

 

призводить до серйозних непорозумінь. Справа в тому, що повторюючи серії з п вимірювань і обчислюючи щоразу нові значення середнього статистичного , ми будемо отримувати числа, що потрапляють всередину інтервалу ( - S_0; + S₀), так і лежать поза його (причому під тут розуміється середнє статистичне, отримане в першій серії вимірювань). Більш докладне дослідження показує, що випадають з вказаного інтервалу близько третини отриманих значень середнього статистичного в проведених серіях вимірювань. Це природно, оскільки величина S₀ є оцінкою середньої, а не максимальної похибки. Величину S₀ часто називають середньоквадратичної похибкою наближеної рівності А ≈ .

Теорія допускає необмежено велику величину максимальної похибки. У той же час слід взяти до уваги, що дуже великі похибки практично неймовірні, тобто не зустрічаються у вимірах.

Згідно з математичною статистикою, для коректного представлення результату вимірювань слід спочатку задатися його надійністю або, інакше кажучи, довірчою ймовірністю .

Коректне поняття про ймовірність викладається в спеціальній літературі. У цьому розділі поясняється лише процедура обчислення випадкової похибки, відповідної вибраної довірчої ймовірності .

Величина береться такою, щоб додаткова ймовірність (1 - ) була настільки мала, що подія з імовірністю (1 - ) практично не відбувалася б при одноразовому випробуванні. На практиці вели чину довірчої ймовірності вибирається близькою до одиниці, наприклад: 0,9; 0,95; 0,99.

Випадкові похибки прийнято представляти у вигляді довірчого інтервалу, довжина якого визначається величиною довірчої ймовірності. У якості центру довірчого інтервалу для вимірюваної величини А береться її середнє статистичне , обчислене за результатами серії вимірювань А. Межі цього довірчого інтервалу виражаються добутком середньоквадратичного відхилення (3.6) і безрозмірного коефіцієнта Стьюдента .

Величина коефіцієнта Стьюдента залежить від раніше обраної довірчої ймовірності і цілочисельного параметра v, званого числом ступенів свободи. При побудові довірчого інтервалу для вимірюваної величини А число ступенів свободи v береться на одиницю менше кількості вимірів п, проведених в однакових умовах.

Результат вимірювання фізичної величини А представляється у вигляді:

 

.

(3.8)

 

Сенс запису (3.8) такий: вимірювана величина А з імовірністю знаходиться всередині інтервалу (; ). Інакше кажучи, побудований інтервал накриває значення невідомої величини А з імовірністю .

Таким чином, повторення серії п вимірювань дасть значення середнього статистичного , яке практично достовірно потрапляє в раніше побудований довірчий інтервал. Практична достовірність забезпечується великою величиною довірчої ймовірності . Ймовірність протилежного результату дорівнює (1 - ), тобто цей результат припускається практично неможливим.

Добуток

 

(3.9)

 

слід розглядати як випадкову погрішність визначення шуканої величини А, але не максимальну, а відповідну надійності . Якщо близька до одиниці, то похибка практично не відрізняється від максимально можливої, яка може реально зустрітися в експериментах.

Можна сказати, що у формулі (3.8) коефіцієнт Стьюдента показує, у скільки разів ймовірна випадкова похибка (яка відповідає обраній довірчій ймовірності) більше середньоквадратичного відхилення S₀.