Матрицы. Действия над матрицами. Свойства операций над матрицами. Виды матриц.

Уч. год

 

1. Определители. Определение.

ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ, или детерминант, – в математике запись чисел в виде квадратной таблицы, в соответствие которой ставится другое число («значение» определителя). Очень часто под понятием «определитель» имеют в виду как значение определителя, так и форму его записи. Определители позволяют удобно записывать сложные выражения, возникающие, например, при решении линейных уравнений в аналитической геометрии и в математическом анализе.

2. Способы вычисления определителей.

Правило треугольника. Определителем матрицы третьего порядка можно вычислить по формуле

Схематически это правило можно изобразить следующим образом

Правило Саррюса. Для вычисления определителя третьего порядка, допишем два первых столбца и перемножим диагональные элементы, взяв произведение со знаком «плюс», если диагональ является главной или параллельна её и, взяв произведение со знаком «минус», если диагональ является побочной или параллельной ей, получим

 

3. Свойства определителей.

4. Алгебраические дополнения.

Алгебраическое дополнение Алгебраическим дополнением Aijк элементу aij определителя n-го порядка называется число

Aij = (-1)i + j · Mij
(то есть, на примере,
A11 = (-1)1 + 1·M11 = (-1)2·1003 = 1·3 - 0·0 = 3 - 0 = 3)

Минор и алгебраическое дополнение матрицы.

Навигация по странице:

Минор матрицыАлгебраическое дополнение матрицыСвойства алгебраического дополнения матрицы

Определение.

Минором Mij к элементу aijопределителя n-го порядка называется определитель (n - 1)-го порядка, полученный из исходного определителя вычеркиванием i-той строки и j-того столбца.

Пример 1.

Найти миноры матрицы AA = 571-410203

Решение:

M11 = 571-410203 = 1003M11 = 1003 = 1·3 - 0·0 = 3 - 0 = 3M12 = -4023 = -4·3 - 0·2 = -12 -0 = -12M13 = -4120 = -4·0 - 1·2 = 0 - 2 = -2M21 = 7103 = 7·3 - 1·0 = 21 - 0 = 21M22 = 5123 = 5·3 - 1·2 = 15 - 2 = 13M23 = 5720 = 5·0 - 7·2 = 0 - 14 = -14M31 = 7110 = 7·0 - 1·1 = 0 - 1 = -1M32 = 51-40 = 5·0 - 1·(-4) = 0 + 4 = 4M33 = 57-41 = 5·1 - 7·(-4) = 5 + 28 = 33

Определение.

Алгебраическим дополнением Aijк элементу aij определителя n-го порядка называется число

Aij = (-1)i + j · Mij

Свойства алгебраического дополнения матрицы

Сумма произведений элементов строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения к элементам этой строки (столбца) равна определителю матрицы:nΣaij·Aij = det(A)j = 1

Сумма произведений элементов строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения к элементам другой строки (столбца) равна нулю

5. Теорема разложения.

Теорема разложения

Воспользуемся операторным током и запишем его решение в виде дроби:

.

Если в операторной области решение можно представить в виде отношения двух рациональных дробей, причём (n и m – степени) и если ввести краткое обозначение этих дробей N(P) и M(P), то это отношение дробей можно представить в виде:

,

где: р₁, р₂, р₃… р_m – корни уравнения М(p) = 0; А₁, А₂…А_к,… А_м – постоянные интегрирования.

Постоянную интегрирования А₁ можно определить из условия устремления р, к р₁.

Тогда в правой части вместо суммы останется А₁, которую можно определить пределом:

,

где: .

По аналогии для А_к получим:

.

С учётом полученного выражения для А_к, операторный ток примет вид:

.

Так как изображению (табл. 3.1) соответствует оригинал , формула теоремы разложения для оригинала тока примет вид:

.

Дорешаем задачу (разд. 3.3). Числитель и знаменатель операторного тока соответственно равны:

N(p)= U₀, M(p) = p(r + Lp).

Определим корни уравнения M(p) = 0:

• первый корень равен: p₁ =0;

• второй – p₂ = -r/L.

Найдем производную по р от знаменателя:

.

Решение для тока примет вид:

 

6. Матрицы. Определение.

Матрица - это математический объект, представляющий собой таблицу элементов, состоящую из строк и столбцов.

пояснения из конспектов (основные определения матриц):

Числовой матрицей размером m x n называют прямоугольную таблицу чисел, где m - это строки, n - столбцы, А - сама матрица.

Матрица n x n - квадратная матрица n-ого порядка.

Транспонированная матрица - матрица, полученная из исходной матрицы A заменой строк на столбцы.

Матрица - строкой - это матрица, состоящая из одной строки.

Диагональная матрица - квадратная матрица, у которой все элементы, не стоящие на главной диагонали, равны 0.

Скалярная матрица - диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны.

Единичная матрица - скалярная матрица, у которой диагональ матрицы равна единице.

Нулевая матрица - матрица, у которой все элементы равны 0.

Трапециевидная матрица - матрица, у которой все элементы, лежащие ниже и левее ломанной, равны 0, а элементы - отличные от 0.

 

7. Основные типы матриц.

Виды матриц

Введем понятие матриц: квадратных, диагональных, единичных и нулевых.

Определение матрицы квадратной: Квадратной матрицей n-го порядка называется матрица размера n×n.

В случае квадратной матрицы вводятся понятие главной и побочной диагоналей. Главной диагональю матрицы называется диагональ, идущая из левого верхнего угла матрицы в правый нижний ее угол. Побочной диагональю той же матрицы называется диагональ, идущая из левого нижнего угла в правый верхний угол. Понятие диагональной матрицы: Диагональной называется квадратная матрица, у которой все элементы вне главной диагонали равны нулю. Понятие единичной матрицы: Единичной (обозначается Е иногда I) называется диагональная матрица с единицами на главной диагонали. Понятие нулевой матрицы: Нулевой называется матрица, все элементы которой равны нулю. Две матрицы А и В называются равными (А=В), если они одинакового размера (т.е. имеют одинаковое количество строе и одинаковое количество столбцов и их соответствующие элементы равны). Так, если то А=B, если a11=b11, a12=b12, a21=b21, a22=b22

 

8. Действия над матрицами (сложение, умножение, транспонирование, элементарные преобразования) и их свойства.

Матрицы. Действия над матрицами. Свойства операций над матрицами. Виды матриц.

Матрицы (и соответственно математический раздел - матричная алгебра) имеют важное значение в прикладной математике, так как позволяют записать в достаточно простой форме значительную часть математических моделей объектов и процессов. Термин "матрица" появился в 1850 году. Впервые упоминались матрицы еще в древнем Китае, позднее у арабских математиков.

Матрицей A=A_mn порядка m*n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m - строк и n - столбцов.

Элементы матрицы a_ij, у которых i=j, называются диагональными и образуют главную диагональ.

Для квадратной матрицы (m=n) главную диагональ образуют элементы a₁₁, a₂₂,..., a_nn.

Равенство матриц.

A=B, если порядки матриц A и B одинаковы и a_ij=b_ij (i=1,2,...,m; j=1,2,...,n)

Действия над матрицами.

1. Сложение матриц - поэлементная операция

2. Вычитание матриц - поэлементная операция

3. Произведение матрицы на число - поэлементная операция

4. Умножение A*B матриц по правилу строка на столбец (число столбцов матрицы А должно быть равно числу строк матрицы B)

A_mk*B_kn=C_mn причем каждый элемент с_ij матрицы C_mn равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элемеенты j-го столбца матрицы B, т.е.

Покажем операцию умножения матриц на примере

5. Возведение в степень

m>1 целое положительное число. А - квадратная матрица (m=n) т.е. актуально только для квадратных матриц

6. Транспонирование матрицы А. Транспонированную матрицу обозначают A^T или A'

Строки и столбцы поменялись местами

Пример