Незалежні повторні випробування

План

1. Повторення формул Бернуллі, Лапласа, Пуассона та випадків їх використання.

2. Розв’язання задач на знаходження ймовірності подій у схемі незалежних повторних випробувань за Формулою Бернуллі.

3. Розв’язання задач на використання потрібної формули в залежності від кількості випробувань.

4. Розв’язання задач на знаходження найімовірнішої частоти та її ймовірності.

 

Формула Бернуллі: ,

де n – кількість випробувань Бернуллі, k – число „успіхів”.

Формула локальної теореми Муавра-Лапласа:

(φ (х) – функція Гаусса; парна; при х > 4 φ(х) = 0; n > 50)

Формула Пуассона:

(p < 0,1; n > 50 та npq < 9)

Найімовірніша частота:

Якщо np + p – ціле, то найімовірніша частота має два значення: k ₁= np – q та k ₂= np + p.

Якщо np + p – дробове, то найімовірніша частота має одне значення: k ₀ = [ np + p ].

Формула інтегральної теореми Муавра-Лапласа:

(Φ (х) – функція Лапласа; непарна; при х > 5 Φ(х) = 0,5; n > 50)

Формула для обчислення ймовірності того, що абсолютна величина відхилення випадкової величини від її математичного сподівання не перевищить деякого числа:

.

Формула для обчислення ймовірності того, що абсолютна величина відхилення долі від ймовірності не перевищить деякого числа:

Задача 1. Ймовірність виготовлення на автоматичному верстаті стандартної деталі дорівнює 0,89. Визначити ймовірність того, що з 5 навмання вибраних деталей 3 виявляться стандартними.

Розв’язання.

n = ____________, k = ____________, р = ______________, q = ____________

= __________________________________________________

_______

Відповідь: _____________________________________________________________.

 

Задача 2. Ймовірність влучення в ціль при одному пострілі дорівнює 0,7. Скласти таблицю розподілу кількості влучень у ціль при 5 пострілах. Побудувати полігон розподілу ймовірностей для отриманого розподілу.

Розв’язання.

n = ____________, р = ______________, q = ____________

k – кількість влучень у ціль

k
Р

 

Задача 3. За статистичними даними в середньому 95% кількості виробів, що виготовляє цех, не мають дефектів. Яка найімовірніша кількість виробів з дефектом виявиться серед 25 випадковим чином відібраних зразків?

Розв’язання.

n = ____________, k = ____________, р = ______________, q = ____________

____________________ ____________________

Відповідь: _____________________________________________________________.

Задача 4. Банк відправив у свою філію 700 пластикових карток. Імовірність пошкодження чіпа пластикової картки в дорозі дорівнює 0,015. Знайти імовірність того, що при транспортуванні буде ушкоджено 5 пластикових карток.

Розв’язання.

n = ____________, k = ____________, р = ______________

Перевірити виконання умов використання формули Пуассона.

_______

= __________________________________________________

_______

Відповідь: _____________________________________________________________.

Задача 5. Ймовірність появи подій А для кожного окремого випробування дорівнює 0,35. Знайти найімовірніше число появ події А при 70 незалежних повторних випробуваннях та його ймовірність.

Розв’язання.

n = ____________, k = ____________, р = ______________, q = ____________

____________________ ____________________

____________________________________________________

_______

Відповідь: _____________________________________________________________.

Задача 6. У великій партії виробів містяться 62% виробів першого ґатунку. Знайти ймовірність того, що серед 32 випадковим чином відібраних виробів буде 19 першого ґатунку.

Розв’язання.

n = ____________, k = ____________, р = ______________, q = ____________

_____________________________________________________________

_______

Відповідь: _____________________________________________________________.

Задача 7. Школа приймає до перших класів 120 дітей. Визначити ймовірність того, що серед них виявиться 56 хлопчиків, якщо ймовірність народження хлопчика дорівнює 0,517.

Розв’язання.

n = ____________, k = ____________, р = ______________, q = ____________

Перевірити виконання умов використання формули локальної теореми Муавра-Лапласа.

_______

= _______________________________________________

_______

Відповідь: _____________________________________________________________.

 

Задача 8. Схожість зерна, що зберігається на складі, дорівнює 85%. Вибрали навмання 100 зерен. Потрібно визначити ймовірність того, що серед них:

а) кількість якісних зерен виявиться від 72 до 93 штук включно;

б) кількість якісних зерен буде відрізнятись від найбільш ймовірної кількості їх за абсолютною величиною не більш, ніж на 15 штук;

в) доля (k/n) якісних зерен буде відрізнятись від 0,85 (85%) за абсолютною величиною не більш, ніж на 0,13.

Розв’язання.

n = ____________, р = ______________, q = ____________

а) k ₁= ____________, k ₂= ____________

= ______________

_______

б)

= ________________________

_______

в)

= ___________________________

_______

Задача 9. Ймовірність появи події в кожному з незалежних випробувань дорівнює 0,6. Знайти кількість випробувань n, за якої з ймовірністю 0,7698 можна чекати, що відносна частота (доля) появи події буде знаходитись у межах від 0,58 до 0,62.

Розв’язання.

р = ______________, q = ____________, Р = ___________, n –?

Знайдемо e. _____________________________________________________________

_____________________________________

Відповідь: _____________________________________________________________.

 

Задача 10. Ймовірність дефекту при виробленні механізмів дорівнює 0,4. Навмання вибирають 500 механізмів. Встановити величину найбільшого відхилення долі виготовлених механізмів з дефектом від ймовірності 0,4, яку можна гарантувати з ймовірністю 0,9973.

Розв’язання.

n = ____________, р = ______________, q = ____________, e –?

_____________________________________

Відповідь: _____________________________________________________________.