Тура позициялық есеп. Кері позициялық есеп.

Тура позициялық есепті келесі түрде формулировка жасайды: манипулятордың берілген жалпыланған координаттары бойынша оның ұстағышының орнын және бағытын -ді табу керек. Ұстағыштың орнын және бағытын бір текті түрлендіру матрицалары түрінде іздейміз:

- бір текті матрицалары, -інші буынның координаттар жүйесінен -інші буынның координаттар жүйесіне өткізетін көрсетеді. Сонда,

(2.1)

матрицасы қойылған есептің шешімі болып табылады.

(2.2)

матрицасын еңгізіп, (2.1) үшін келесі рекуррентті қатынас аламыз:

(2.3)

(2.3) қатынасы ұстағыштың орны туралы тура есептің шешімін компакты түрде жазып қана қоймай, сонымен қатар манипулятордың барлық буындарының орнын және бағытын таба алады, себебі матрицасы -інші буынның орнын және бағытын анықтайды.

(2.3) қатынасына кіретін матрицаларының түрі буындардағы координаттар жүйесін таңдау тәсіліне тәуелді.

Денавит-Хартенберг көзқарасын пайдаланған кездегі матрицалардың түрін анықтайық. Координаттар жүйесін құру тәсіліне байланысты, -інші координаттар жүйесін -інші координаттар жүйесімен беттестіру үшін, келесі келесі операцияларды ретімен орындау қажет.

1. осінің бойымен бұрышына бұру ( және - остері параллель).

2. осінің бойымен шамасына жылжыту ( және - остері беттеседі).

3. осінің бойымен шамасына жылжыту ( және - координаттар басы беттеседі).

4. осінің бойымен бұрышына бұру ( және координаттар жүйелері беттеседі).

Осы операциялардың әрбірін, сәйкес бір текті матрицалар арқылы көрсетуге болады:

(2.4)

(2.5)

(2.6)

(2.7)

мұндағы және төмендегі өрнектермен анықталады

 

Сонда аламыз

Ары қарай келесі белгілеулерді қабылдайық:

Оң жағындағы матрицаларды көбейтіп төмендегі матрицаны аламыз

(2.8)

, өрнектерін пайдаланып, матрицасына кері матрица (яғный -інші координаттар жүйесінен -інші координаттар жүйесіне өткізетін матрица) аламыз.

(2.9)

Сонымен, (2.3) қатынасы (2.8) өрнегімен бірігіп позициялық тура есепті шешеді.

 

Кері позициялық есепті, немесе орын туралы кері есепті, келесі түрде формулировка жасайды. Берілген ұстағыштын орны және бағыты бойынша немесе жалпыланған координаттарын табу керек.

Егерде

(2.20)

немесе

(2.21)

деп белгілесек, онда іздеп отырған жалпыланған координаттар төмендегі қатынастар арқылы ізделінеді

немесе

Сонымен, кері позициялық есепті шешу жалпы жағыдайда белгісізі бар, алты теңдеулі сызықты емес тригонометриялық жүйені шешуге алып келеді. Белгілі, мұндай түрегі жүйені шешкенде:

бірде-бір шешімі болмауы мүмкін. Бұл дегеніміз, жүйенің ұстағышының берілген орны мен бағытын, жалпыланған координаттардың ешқандай мәндері қанағаттандыра алмайды;

бірғана шешімі болуы мүмкін;

бірден көп шешімі болуы мүмкін. Бұл дегеніміз, ұстағыштын берілген орнын және бағытын қанағаттандыратын манипулятордың бірнеше конфигурациялары бар деген сөз.

Кері позициялық есепті шеше білу манипуляторды басқару үшін өте маңызды. Шынындада, егерде манипулятордың программалық қозғалысы ұстағыштың траекториясы түрінде берілсе, онда уақыттың әрбір моментінде (2.20) қатынасы орындалатын, кинематикалық жұптарды басқаратын -ның мәндерімен қамтамасыз ету керек. Бірақта, өкінішке орай, мұдай жүйелерді анық түрде шешетін жалпылама тәсіл жоқ, дәл осы қажетті, себебі манипуляторды басқару диалогты (on-line) режимде іске асырылады. Сандық тәсілдерді қолдану бірқатар қиындықтарға алып келеді, мысалы сәйкес итерациялық схеманың расходимость болу мүмкіндігі.