Методика работы над сюжетной задачей на примере задачи из курса алгебры 8 класса

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 12

 

1. Внеклассная работа по математике.

2. Методика работы с сюжетной задачей.

3. Приложение: Теорема о трех перпендикулярах.

 

Вопрос1

 

 

 

 

Вопрос 2

 

МЕТОДИКА РАБОТЫ НАД СЮЖЕТНОЙ ЗАДАЧЕЙ НА ПРИМЕРЕ ЗАДАЧИ ИЗ КУРСА АЛГЕБРЫ 8 КЛАССА

Сюжетной задачей называют такую задачу, в которой данные и связь между ними включены в фабулу. Содержание сюжетной задачи чаще всего представляет некоторую ситуацию, более или менее близкую к жизни. Эти задачи важны главным образом для усвоения учащимися математических отношений, для овладения эффективным методом познания - моделирование, для развития способностей, интереса учащихся к математике.

Большое значение при обучении математике имеет формирование общего приема решения задач. Но анализ практики показывает, что основное внимание уделяется ознакомлению со специальными способами решения отдельных типов задач. Это часто приводит к тому, что учащиеся не приобретают умения самостоятельно анализировать и решать различные типы задач. Поэтому проблема овладения общим приемом решения задач продолжает оставаться актуальной и должна разрабатываться в методике обучения математике.

Общий прием решения задач включает: знание этапов решения, методов (способов) решения, типов задач, обоснование выбора способа решения на основании анализа текста задачи, а также владение предметными знаниями: понятиями, определениями терминов, правилами, формулами, логическими приемами и операциями.

К этапам решения можно отнести:

1) анализ текста задачи;

2) перевод текста на язык математики;

3) установление отношений между данными и вопросом;

4) составление плана решения задачи;

5) осуществление плана решения;

6) проверка и оценка решения задачи.

Анализ текста задачи.

Работа над текстом задачи включает семантический, логический и математический анализ.

1. Семантический анализ направлен на обеспечение понимания содержания текста и предполагает:

выделение и осмысление:

отдельных слов, терминов, понятий, как житейских, так и математических,

грамматических конструкций ("если… то", "после того, как…" и т.д.),

количественных характеристик объекта, задаваемых словами "каждого", "какого-нибудь", "любое", "некоторое", "всего", "все", "почти все", "одинаковые", "столько же", "поровну" и т.д.;

восстановление предметной ситуации, описанной в задаче, путем упрощенного пересказа текста с выделением только существенной для решения задач информации;

выделение обобщенного смысла задачи - о чем говорится в задаче, указание на объект и величину, которая должна быть найдена (стоимость, объем, площадь, количество и т.д.)

2. Логический анализ предполагает:

умение заменять термины их определениями;

выводить следствия из имеющихся в условии задачи данных (понятия, процессы, явления).

3. Математический анализ включает анализ условия и требования задачи.

Анализ условия направлен на выделение:

а) объектов (предметов, процессов);

б) величин, характеризующих каждый объект;

в) характеристик величин (числовые значения, известные и неизвестные данные, отношения между известными данными величин).

Анализ требования направлен на выделение:

неизвестных количественных характеристик величин объектов или объекта.

Перевод текста на язык математики.

В результате анализа задачи текст задачи записывают кратко с использованием условной символики. После того как данные задачи специально вычленены в краткой записи, следует перейти к анализу отношений и связей между этими данными.

Для этого осуществляется перевод текста на язык графических моделей различного вида: чертеж, схема, график, таблица, символический рисунок, формула, уравнение и др. Перевод текста в форму модели позволяет обнаружить в нем свойства и отношения, которые часто трудно выявить при чтении текста.

Выполненный чертеж (рисунок) по тексту задачи позволяет фиксировать ход рассуждений при ее решении, что способствует формированию общих подходов к решению задач.

Поэтому к выполнению чертежей нужно предъявлять требования: они должны быть наглядными, четкими, соответствовать тексту задачи; на них должны быть отражены по возможности все данные, входящие в условие задачи; выделенные на них данные и искомые должны соответствовать условию задачи и общепринятым обозначениям.

Формирование умения выполнять чертеж задачи будет успешным, если учащиеся будут уметь читать соответствующий чертеж.

В связи с этим учащимся нужно предлагать упражнения на составление текста задачи по чертежу, рисунку.

Установление отношений между данными и вопросом.

Реализация этого компонента общего приема решения задач предусматривает установление отношений между:

данными условия,

данными вопроса,

данными условия и вопросом задачи.

На основе анализа условия и вопроса задачи определяется способ решения задачи (вычислить, построить, доказать), выстраивается последовательность конкретных действий.

При этом устанавливается достаточность, недостаточность или избыточность данных.

Выделяются четыре типа отношений между объектами и их величинами: равенство, часть/целое, разность, кратность, сочетание которых определяет разнообразие способов решения задач.

Примером такого отношения является формула а b=c, имеющая большое число разнообразных проявлений (связь пройденного пути, времени и скорости равномерного движения; связь цены, стоимости и количества изделий и т.д.).

План решения.

На основании выявленных отношений между величинами объектов выстраивается последовательность действий - план решения. Особое значение имеет составление плана решения для сложных, составных задач.

Осуществление плана решения включает:

решение задачи - выполнение действий;

запись решения задачи;

выделение способов решения.

Запись решения задачи может осуществляться в виде записи последовательных определенных действий (с пояснениями и без) и в виде выражения (развернутого или сокращенного).

Проверка и оценка решения задачи с точки зрения адекватности плана решения, способа решения, ведущего к результату: рациональность способа, нет ли более простого.

Различные типы задач требуют использования разных методов и приемов решения. Рассмотрим этапы работы над задачей на конкретном примере из курса алгебры 8 класса.

Задача: Если туристы будут проходить в день на 5 км больше, то они пройдут за 6 дней расстояние больше 90 км. Если же они будут проходить в день на 5 км меньше, то за 8 дней они пройдут расстояние, меньше 90 км. Сколько километров в день проходят туристы?

Анализ условия и требования задачи.

Что дано в задаче? 1) если туристы будут проходить в день на 5 км больше, то они пройдут расстояние, больше 90 км; 2) если туристы будут проходить в день на 5км меньше, то за 8 дней они пройдут расстояние, меньше 90 км.)

Что нужно найти в задаче? (сколько километров в день проходят туристы)

Давайте запишем условие задачи в виде таблицы.

№	По условию: Сколько в день проходят туристы	Сколько времени затрачено в пути	Пройденное расстояние	Сколько в день проходят туристы
1 способ	На 5 км больше	6 дней	Больше 90 км	?
2 способ	На 5 км меньше	8 дней	Меньше 90 км	?

Вопросы для составления таблицы.

Сколько способ прохождения данного расстояния в задаче? (два способа)

Рассмотрим 1 способ.

Сколько дней в пути будут туристы? (6 дней)

Какое расстояние пройдут?(больше 90 км)

Сколько в день проходят туристы? (неизвестно)

А что известно в задаче, о том сколько в день проходят туристы? (они проходят на 5 км больше)

Занесем данные в таблицу.

Рассмотрим 2 способ.

Сколько дней в пути будут туристы? (8 дней)

Какое расстояние пройдут? (меньше 90 км)

Сколько километров в день проходят туристы? (неизвестно)

А что известно в задаче о том, сколько в день проходят туристы? (они проходят на 5 км меньше)

Занесем данные в таблицу.

Поиск способа решения задачи.

Какое расстояние пройдут туристы в первом случае? (Дети отвечают, а учитель записывает схему поиска)

- больше 90 км.(учитель записывает в кружочек)

За сколько дней они пройдут это расстояние?

- за 6 дней.(учитель записывает в кружочек)

Что можно найти по этим данным?

- если известно расстояние и время, из формулы можно найти скорость движения, т.е. сколько в день проходят туристы.

А что известно в задаче о том, сколько в день проходят туристы?

- на 5 км больше (учитель записывает в кружочек и ставит две стрелки от предыдущих кружочков)

Какое расстояние пройдут туристы во втором случае?

- меньше 90 км (учитель записывает в кружочек).

За сколько дней они пройдут это расстояние?

- за 8 дней (учитель записывает в кружочек).

Что можно найти по этим данным?

- из формулы можно найти скорость движения, т.е. сколько в день проходят туристы.

А что известно в задаче о том, сколько в день проходят туристы?

- они проходят на 5 км меньше (учитель записывает в кружочек и проводит две стрелки из предыдущих кружочков)

Зная расстояние, время и на сколько меньше или больше в день проходят туристы, что можно найти?

- сколько в день проходят туристы.(учитель ставит две стрелки от двух случаев и записывает в кружочке знак вопроса)

Схема поиска

При помощи, какой математической модели мы можем решить данную задачу?

- при помощи неравенства.

Что мы обозначим за неизвестную переменную х?

- то, что нужно найти в задаче, т.е. сколько в день проходят туристы.

Рассмотрим 1 случай.

Сколько в день проходят туристы в первом случае?

- (х + 5), т.к. они проходят на 5 км больше.

Какое расстояние они пройдут за 6 дней?

- больше 90 км.

А как по-другому найти расстояние, зная сколько в день проходят туристы и что они пройдут это расстояние за 6 дней?

- 6 (х + 5).

Тогда с одной стороны это расстояние будет 6(х + 5), а с другой стороны, по условию задачи, они проходят расстояние больше 90 километров.

Можем ли мы составить неравенство?

- да, 6 (х + 5) > 90.

Рассмотрим 2 случай.

Сколько километров в день проходят туристы?

- (х – 5), т.к. они проходят на 5 км меньше.

Какое расстояние они пройдут за 8 дней?

- 8 (х – 5).

Тогда с одной стороны, это расстояние будет 8 (х – 5), а с другой стороны, по условию задачи, они проходят расстояние меньше 90 км.

Можем ли мы составить неравенство?

- да, 8 (х – 5) < 90.

Что у нас получилось в итоге? (система неравенств)

ì 6 (х + 5) > 90,

í

î 8 (х – 5) < 90.

Решив данную систему, что мы найдем?

- мы найдем х, а значит, мы найдем сколько километров в день проходят туристы.

Результатом поиска решения задачи является план решения:

1. Обозначим за х км сколько в день проходят туристы.

2. Выразим через х – расстояние, пройденное за один день в первом случае и во втором случае.

3. Запишем в виде выражения расстояние, пройденное туристами за все время для первого и второго случая.

4. На основании того, что в первом случае расстояние больше 90км., а во втором случае расстояние меньше 90 км, составим систему неравенств.

5. Решим систему неравенств и сделаем проверку.

Осуществление плана решения и его оформление.

Пусть х км – в день проходят туристы, тогда (х + 5) км – в день проходят туристы в первом случае, а 6 (х +5) км – расстояние, пройденное туристами за 6 дней, а по условию задачи расстояние, пройденное туристами в первом случае больше 90 км.

Тогда (х – 5) км в день проходят туристы во втором случае, а 8 (х – 5) км расстояние, пройденное туристами за 8 дней, а по условию задачи расстояние, пройденное туристами во втором случае меньше 90 км.

Составим систему неравенств:

ì 6 (х + 5)> 90, ì 6 х + 30 > 90, ì 6 х > 60, ì х > 10,

í Û í Û í Û í

î8 (х – 5) < 90; î8 х – 40 < 90; î 8 х < 130; î х < 16,25.

 

10 16,25 х

Проверка:

6 (10 +5) = 90, т.к. 10 не включено в интервал (неравенство строгое), значит данное выражение больше 90.

6 (16, 25 + 5) = 127,5 больше 90.

8 (10 – 5) = 40 меньше 90,

8 (16,25 – 5) = 90, т.к. 16,25 не включено в интервал (неравенство строгое), значит данное выражение меньше 90.

Найденные значения совпадают с данными в задаче, значит задача, решена правильно.

Ответ: Туристы пройдут в день больше 10 км и меньше 16,25.

Анализ проведенного решения.

При помощи, какой математической модели мы решали данную задачу?

- при помощи неравенства, а точнее системы неравенств.

Как мы решали данную задачу?

Обозначили за х км – сколько в день проходят туристы.

Выразили через х – расстояние, пройденное за один день туристами в первом и во втором случае.

Записали в виде выражения расстояние в первом и во втором случае.

На основании того, что в первом случае расстояние больше 90 км, а во втором случае меньше 90 км, составили систему неравенств

Решили систему неравенств и сделали проверку.

Можно ли было решить задачу иначе? (нет).

Текстовые задачи являются важным средством обучения математике. С их помощью учащиеся получают опыт работы с величинами, постигают взаимосвязи между ними, получают опыт применения математики к решению практических задач. Использование арифметических способов решения задач развивает смекалку и сообразительность, умение ставить вопросы, отвечать на них, то есть развивает естественный язык, готовит школьников к дальнейшему обучению. Использование исторических задач и разнообразных старинных (арифметических) способов их решения не только обогащает опыт мыслительной деятельности учащихся, но и позволяет им осваивать важный культурно-исторический пласт истории человечества, связанный с поиском решения задач. Это важный внутренний (связанный с предметом), а не внешний (связанный с отметками, поощрениями и т.п.) стимул к поиску решения задач и изучению математики.

Решение сюжетных задач дает положительный результат при условии, что решаются они на каждом уроке, учитель использует разные способы решения, не ограничивается только одним учебником, а использует учебники разных авторов, организует конкурсы, блиц-турниры и другие формы поддержки интереса к решению сюжетных задач.

А также сюжетные задачи позволяют использовать учителю на уроке множество новых педагогических технологий.

 

 

Вопрос 3:

 

 

Теорема 4 О ТРЕХ ПЕРПЕНДИКУЛЯРАХ. Если прямая, проведенная на плоскости черезоснование наклонной, перпендикулярна еепроекции, то она перпендикулярна наклонной. И обратно: Если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной.

Доказательство: Пусть АВ - перпендикуляр плоскости , АС - наклонная и с - прямая в плоскости , проходящая через основание С. Проведем прямую СA1, параллельную прямой АВ. Она перпендикулярна плоскости . Проведем через прямые АВ и СA1 плоскость . Прямая сперпендикулярна прямой СA1. Если она перпендикулярна прямой СВ, то она перпендикулярна плоскости , а значит, и прямой АС. АНАЛОГИЧНО. Если прямая с перпендикулярна наклонной АС то она, будучи перпендикулярна и прямой СA1 перпендикулярна плоскости , а значит, и проекции наклонной СВ. Теорема доказана.