Экономико-математическая школа

Евгений Евгеньевич Слуцкий (1880-1948) – выдающийся экономист и математик, внес большой вклад в теорию потребительского поведения. Он анализировал связь функции полезности с движением цен и денежных доходов потребителя («замещение по Слуцкому»).

Слуцкий проанализировал, как изменяется спрос (соответственно полезность) в зависимости от 2-х факторов: от относительных цен и дохода. Он делает вывод: если бюджет потребителя нормальный, то спрос на каждое благо увеличивается вместе с возрастанием дохода и уменьшается с увеличением цен на это благо.

Слуцкий впервые ввел понятие «устойчивого бюджета», полезность которого является наибольшей среди близких к нему состояний. Он сформулировал важное условие равновесия как равенство предельных норм замещения соотношению цен соответствующих благ.

Леонид Витальевич Канторович (1912-1986) родился в Санкт-Петербурге в семье врача. Его выдающиеся способности проявились рано — в 14 лет он поступил в Ленинградский государственный университет. Закончив ЛГУ за 4 года, он поступил в аспирантуру. В 1932 г. он становится доцентом, а в 1935 г. — профессором ЛГУ. В 1935 г. ему присвоено звание доктора физико-математических наук без защиты диссертации. В 1958 г. он избран членом-корреспондентом АН СССР по экономике, а в 1964 г. — академиком.

Серьезные занятия экономикой начались для Канторовича с того, что в 1938 г. к нему за консультацией обратились несколько инженеров из лаборатории фанерного треста. Смысл их проблемы заключался в том, что при обработке различного сырья на разных лущильных станках получалась различная производительность и стояла задача максимизации выпуска продукции при заданном соотношении между ее видами. В современной терминологии эту проблему можно сформулировать как задачу максимизации линейной функции при наличии линейных ограничений. В простом случае решение легко найти перебором экстремальных точек допустимого множества, однако даже в задаче фанерного треста, при пяти станках и восьми видах сырья, это потребовало бы решения около миллиарда систем линейных уравнений.

Для решения предложенной ему задачи Канторович в январе 1939 г. разработал специальный метод, при котором с каждым ограничением исходной задачи связывалась специальная оценка, называемая разрешающим множителем. Оптимальный план задачи определялся в результате итеративного процесса, в ходе которого происходила последовательная корректировка разрешающих множителей. Таким образом, Канторович открыл новый раздел математики — линейное программирование, изучающий задачи нахождения экстремума линейной функции на допустимом множестве, задаваемом линейными ограничениями и неравенствами, и предложил алгоритм решения таких задач.

Результаты своих исследований Канторович изложил в брошюре «Математические методы организации и планирования производства», опубликованной в 1939 г. В ней, наряду с задачей фанерного треста, получившей впоследствии наименование станковой, рассматривались и другие проблемы: наиболее полное использование механизмов, максимальное уменьшение отходов, наиболее рациональное использование топлива, наилучшее выполнение плана строительства, наилучшее распределение посевной площади, наилучший план перевозок. Метод Канторовича был пригоден для решения всех этих задач.

Идеи Канторовича долго не признавались экономистами. Тем не менее Канторович описал ряд важных с точки зрения экономической науки свойств этих множителей. Если продукт не дефицитен, соответствующий множитель равен нулю. Таким образом, множители выступают показателями дефицитности продукции. Они также являлись показателями эквивалентности для различных деталей, и с помощью множителей можно было определять, как влияют величины запасов сырья или выпуска деталей, выступающие в задаче в качестве ограничений, на оптимальное значение целевой функции.

До этого экономическая наука знала два вида эквивалентности разнородных потребительных стоимостей — по стоимости и по полезности. Разрешающие множители давали третий вид эквивалентности — по влиянию на целевую функцию, и вполне естественно, что впоследствии остро встал вопрос о его соотношении с первыми двумя.

В своей работе Канторович рассмотрел возражения против применения математики в технико-экономических расчетах. Эти возражения были связаны с тем, что многие обстоятельства учесть математически невозможно, для применения метода разрешающих множителей нужно иметь много данных, они неточны, эффект от расчетов составляет всего 4-5%, применение метода порой невозможно из-за организационных препятствий. Канторович же полагал, что с помощью его метода многое нужно учесть, что требуемые данные нужны и для нормальной плановой работы, поэтому их неточность не имеет большого значения. При массовом применении эффект от их использования был бы очень велик, даже если бы он составлял 1%.

По мнению Канторовича, если будет доказана эффективность применения оптимального плана, то необходимые организационные изменения будут сделаны.

В 1940 г. он опубликовал математический вариант некоторых своих результатов. Из частных задач прежде всего следует выделить транспортную задачу. Работа, содержавшая ее решения, была подготовлена Л.В. Канторовичем и М.К. Гавуриным в 1940 г., однако из-за негативного отношения экономистов к математике в этот период ее долгое время не удавалось опубликовать. Абстрактный вариант транспортной задачи был опубликован Канторовичем в 1942 г. За разработку метода линейного программирования он был удостоен Нобелевской премии по экономике в 1975г.