: n1, n2, nk 1, 2, P3, Pk. S1, S2, S3,. Sm. ij ( j, Si) bij j Si .
( ), .
ij , Si j (i=1.2.3..m, j=1.2.3..n).
, :
x1,1+ x1,2 +x1,3 + . + x1,k ≤ T
x2,1+ x2,2 +x2,3 + . + x2,k ≤ T
x3,1+ x3,2 +x3,3 + . + x3,k ≤ T (4)
xm,1+ xm,2 +xm,3 + . + xm,k ≤ T
, :
a11x11+a21x21+. + am1xm1 ≤ n1
a12x12+a22x22+ +am2xm2 ≤ n2
. (5)
a1kx1k+a2kx2k++amkxmk ≤ nk
, ij≥0, (i=1.2.3..m, j=1.2.3..k) (6)
L= b1kx1k+b2kx2k++bmkxmk →min (7)
, :
=(x11,x12,x13,.,xmk), (4) (6), .
3.
5 . . , , . , . . 5%, 8%, 10% 12%. , 1%. , 2 . . , 4 . .
, , , .
.
, ?
?
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- .
?
.
.
1. , . .
2
:
|
|
: , , -,
1. .
2. .
3. - .
˳:
1. .., .., .., .. - : . . - : 2006, 2010.- 540.
2. . . : / . . , . . , . . -. .: , 2008. - 296 .
3. . . : : / .. . : - 2000, 2006. - 344 .
4. .. . .: , 1993. 336 .
1. .
.
() , .
f(x) gi(x)≤bi, f gi , bi .
, , , .
. .
, , , ..
:
1. = (1,2,3.n) , . ( , , 㳺)
2. ֳ ( , , , ). ֳ . . , ᒺ , , , .
3. ( ), . ֳ , 䳺 - , , . , . , . . .
2. .
f gi , .
. , f gi , (). , ()
|
|
- .. . (1939 . ).
10 . -. 1951 . . .
, . .
, ().
, , , , , .
, .
. .
, , , , , (). ( ), ( ), ( ) .
ϳ , , , -, .
, , , .
ǒ : 䳺, , , .
³, . , , , . , , . , , .
3. - .
.
ֳ : ᒺ , ? , , , .
, , , , 1936 . .
, n.
: . , . i, j, ij ,
i - j- .
|
|
, .. | |||||||
j | N | ʳ | |||||
x11 | x12 | x13 | x1n | y1 | X1 | ||
x21 | x22 | x23 | x2n | y2 | X2 | ||
x31 | x32 | x33 | x3n | y3 | X3 | ||
I | ... | ||||||
N | xn1 | xn2 | xn3 | xnn | yn | Xn | |
v1 | v2 | v3 | vn | v | - | ||
, . . | m1 | m2 | m3 | mn | m | - | |
, . . | X1 | X2` | X3 | Xn | - | X |
. . 1- 㳿, . 11 㳿, 1- . x12 㳿. 11, x21, 31,..., n1 - .
, . , 1- v1 () m1. , , (, 1). , :
1=11+21+31++n1+v1+m1 = (1)
i :
X (2)
, ᒺ .
1 = 11+12+13+ +1+y1 =
-
i= (3)
(2) (3), , :
(4)
(4) , .
I , .
II , . , , , .
III .
IV .
.
(5)
- ;
ij
, .
Z = Z + Z
(5) :
(6)
(4) xij:
i= (7)
:
(8),
г (8) :
, (8*)
:
(9)
= . :
(10)
(10) :
(11)
i :
(12)
, Y (8). . . , , , .
|
|
, 䒺 . : λmax<1.
.
?
?
.
.
.
?
, .
.
2.
3
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: , , .
1. .
2. .
3. .
˳:
1. .., .., .., .. - : . . - : 2006, 2010.- 540.
2. . . : / . . , . . , . . -. .: , 2008. - 296 .
3. . . : : / .. . : - 2000, 2006. - 344 .
4. .. . .: , 1993. 336 .
1. ().
1. ( ) f gi, , , 䒺, , , :
f(x)= c1x1 + c2x2 + . + cnxn →extr (max/min) (1)
a11x1 + a12x2 + a13x3 + .. +a1nxn{ ≤ = ≥ }b1
a21x1 + a22x2 + a33x3 + ..+ a2nxn{ ≤ = ≥ }b2
ak1x1 + ak2x2 + ak3x3 + .+ aknxn{ ≤ = ≥ }bk (2)
am.1x1 + am.2x2 + am.3x3 + am.nxn { ≤ = ≥ } bm
xi≥0 i= 1,m (3)
, .
2. , (2) (3).
3. , (2) ≤ (3), max f, (2) ≥ (3), min f.
䒺 .
1. :
2. :
3. :
, :
f(x)=c1x1 + c2x2 + c3x3 + +cnxn →max
z(x) = - f(x) = -(c1x1 + c2x2 + c3x3 + +cnxn) →min
(2) (3) . n- , , . , .
, , . , , .
2. .
:
- (-) ;
- (-) ;
- 1, 2, , n;
; ;. - - ;
- ( - ) , - , :
- :
:
,
,
:
.
:
f(x)=(c,x) →max (4)
|
|
= (5)
≥0 (6)
(,)
( )
.
RangA=k ( ), ().
г , , .
䒺 .
, , .
3. .
:
F(x)=(c,x) →max (7)
x1P1 + x2P2 + x3P3 + + xnPn= P0 (8)
X≥0 (9)
P1= (a11,a21,31.am1), P2= (a12,a22,32.am2), .. Pn= (a1n,a2n,3n.anm),
P0=(b1,b2, b3. bm) m- .
4. =(1,2,3.n) , j, xj , .
j m- , , m.
5. 1, 2, 3, , n Rn. λ11+ λ22+ λ33+...... + λnn, λi≥0 ∑ λi=1.
6. U , n 1, 2 , Xn U, U , [ λ11+ λ22+ λ33+...... + λnn] U, λi≥0 ∑ λi=1.
7. , n .
1. n .
2. , .
8. , .
3. , .
, .
4. ( ). =(1,2,3.., ....... n), , , j, j, .
:
1. .
2. - .
3. .
4. , .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
?
.
.
.
?
.
2.
4
: .
:
1. n=2.
2. n≥2 (n-m=2).
3. .
˳:
1. .., .., .., .. - : . . - : 2006, 2010.- 540.
2. . . : / . . , . . , . . -. .: , 2008. - 296 .
3. . . : : / .. . : - 2000, 2006. - 344 .
4. .. . .: , 1993. 336 .
1. n=2.
: k
ak1x1 + ak2x2 + ak3x3 + .+ aknxn= bk (k=1,.m)
n 1,2,3.., ....... n , k
ak1x1 + ak2x2 + ak3x3 + .+ aknxn ≤ bk (k=1,.m), n , . , , . .
n=2.
1. .
21 + 32≤12
21 - 2≤4
1,2≥0
) z =31 + 2→max
b) z =1 + 52→max
c) z =41 + 62→max
2. .
1. .
( , , ). . () , .
.
( ), z .
z .
, .
2. N=(c1,c2). z.
3. N=(c1,c2) .
4. .
N , .
5. .
, () z .
2.
, n m , n-m=2.
: 䒺 , :
(1)
(2)
(3)
, (2) - n-m=2.
. m n (n>m) (), . (n-m) ().
(2) ,
(4)
- . (2) :
(5)
xm+1,xm+2 , (5) .
- m , (5) :
(6)
, -
; ;.
m .
ϳ (6) (1)
,
, (1)-(3) :
(7)
(8)
(9)
, , .
3. .
3. .
.
.
≤ ≥ = ?
?
?
.
2.
5
: -.
: , - .
1. -
2. -.
3. .
˳:
1. .., .., .., .. - : . . - : 2006, 2010.- 540.
2. . . : / . . , . . , . . -. .: , 2008. - 296 .
3. . . : : / .. . : - 2000, 2006. - 344 .
4. .. . .: , 1993. 336 .
1. - .
, ( ) ( ). , ( , , ).
:
;
(- ).
.
Z=∑cixi →max
1e1+ 2e2+ 3e3 + .. + mem + m+1Pm+1 + .. + nPn=P0,
ei , Pk = (a1k, a2k,.. amk) (k=m+1,m+2,. n), P0 = (b1, b2, bm)
m i , ,
b1e1+ b2e2+ b3e3 + .. + bmem =P0.
: X=(b1,b2,b3, .. bm, 0.0), . .
1.
i | 0 | c1 | c2 | m | cm+1 | cn | ||||
P1 | P2 | Pm | Pm+1 | Pn | ||||||
P1 | c1 | b1 | a1m+1 | a1n | ||||||
P2 | c2 | b2 | a2m+1 | a2n | ||||||
... | ||||||||||
m | Pm | m | bm | amm+1 | amn | |||||
Δj | Δm+1 | Δn |
. :
Δj=∑ciaij cj, (j=1,2, . n) Δ0=∑cibi. .
, .
2. -.
1.
Pj, ,
Δj<0, (j=1,2,3..n) ( )
Δj>0, (j=1,2,3..n) ( ),
, f(x) ( f(x)→max), ( f(x)→min) ; :
) Pj, , , ;
) Pj, , .
2.
Pj,
Δj≥0, (j=1,2,3..n) ( )
Δj≤0, (j=1,2,3..n) ( ),
*=((1)*, (2)*,......... (n)*) .
- , .1 ( )), .2 . .1 ( )), , . , . , 䒺 Δj. k- , max| Δj | = Δk.
Δj≤0
. r, ,
Q= min(bi/aik) (i=1,2..m),
i=r. ark .
r ark, . () .
3. .
- , , . , , , n , m .
- , >0, () , , . , . , , . , , .
.
1.
1, 4, 5 2, 4, 5, =(0,0,0,1,1) , 1=0 2=0. z=0, .
, ,
k, s , . .
, :
1. ;
2. ;
3. . , , .
2.
6
: - ()
: , - .
4. -.
5. .
6. .
˳:
1. .., .., .., .. - : . . - : 2006, 2010.- 540.
2. . . : / . . , . . , . . -. .: , 2008. - 296 .
3. . . : : / .. . : - 2000, 2006. - 344 .
4. .. . .: , 1993. 336 .
4. -.
, , , , , . 䒺 , 䒺.
, , , , .
2.
5. .
, , , Pj, .
- . 䒺 , m .
- (f(x)→max) + (f(x)→min), 쳺 .
- Δj . , , , .
, .
, .
6. .
5 . . , , . , . . 5%, 8%, 10% 12%. , 1%. , 2 . . , 4 . .
, , , .
.
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, ?
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